不同拱軸線形下兩鉸拱結(jié)構(gòu)的承載性能研究

程麥理，王弘起，馬越，李大衛(wèi)，應(yīng)仟壹

（1.延安大學建筑工程學院，陜西 延安 716000；2.陜西建工第十三建設(shè)集團有限公司，陜西 延安 716000）

在豎向荷載作用下拱結(jié)構(gòu)是會產(chǎn)生水平支反力的推力結(jié)構(gòu)［1］，兩鉸拱以其承載力高、施工方便、造型美觀等優(yōu)勢在工業(yè)與民用建筑工程、橋梁工程等方面應(yīng)用廣泛。拱結(jié)構(gòu)在荷載作用下的支反力、截面內(nèi)力及拱軸變形是反映其工程承載性能的重要指標，拱軸線形對荷載作用的敏感性差異巨大［2］，拱軸線形建模及承載性能分析是拱結(jié)構(gòu)研究的重要方法。

豎向荷載作用下使拱軸處于無彎矩狀態(tài)的軸線稱為拱的合理拱軸線，因?qū)嶋H工程結(jié)構(gòu)服役期間荷載變化大，合理拱軸線很難統(tǒng)一［1］。對于兩鉸拱拱軸，馮彩霞等［3］以彎曲應(yīng)變能函數(shù)為優(yōu)化目標，結(jié)合拱肋跨中豎向位移研究了兩鉸拱的拱軸線形優(yōu)化；胡常福等［4］通過對兩鉸拱的索拱橋拱軸進行幾何非線性迭代優(yōu)化，解決了考慮幾何非線性超大跨徑索拱橋拱軸線形的選擇問題。拱軸線形優(yōu)化可改善拱軸應(yīng)力分布，提高拱結(jié)構(gòu)承載性能，LIU等［5］通過對豎向荷載作用下拱結(jié)構(gòu)各節(jié)點坐標函數(shù)推導給出拱的壓力線，探討了合理拱軸線的確定及優(yōu)化方法；胡常福等［6］通過對合理拱軸解析，創(chuàng)新性的提出多源荷載下合理拱軸的線形組合法，該法可簡便確定多源荷載下拱軸的合理線形；杜安亮等［7］根據(jù)對分段荷載作用下拱結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析，研究了合理拱軸線的曲線方程及拱軸線形修正方法。在拱結(jié)構(gòu)工程實踐中，拋物線形拱軸力學性能良好，李新平等［8-9］采用彈性中心法建立拋物線無鉸拱的力法正則方程，推導給出了典型荷載作用下拋物線拱內(nèi)力解析計算公式；EROGLU等［10］對具有集中損傷的拋物線拱精確靜力解進行了解析研究。徑向均布荷載作用下，圓弧拱是合理拱軸線，解恒燕等［11］對兩種單桿型圓弧拱進行有限元分析，探究了豎向均布荷載下的幾何非線性屈曲性能。在拱橋結(jié)構(gòu)拱軸線分析方面，喬景川等［12］對鋼管混凝土拱橋采用不同拱軸線形時的內(nèi)力進行分析，探討了拱軸線對結(jié)構(gòu)承載性能的影響；YANG等［13］通過推導鋼箱-混凝土組合拱橋變截面合理拱軸線方程，采用回歸分析方法擬合給出最優(yōu)拱軸線公式。

本文通過對曲線拱軸進行承載理論及有限元分析，研究了全跨均布荷載、半跨均布偏載作用下不同曲線兩鉸拱結(jié)構(gòu)的支座反力、拱軸內(nèi)力及其變形規(guī)律。研究結(jié)果可用于指導拱結(jié)構(gòu)的拱軸線形方案比選及結(jié)構(gòu)設(shè)計。

1 曲線拱軸承載理論

兩鉸拱軸曲線在豎向分布荷載作用下，拱腳支反力及指定截面內(nèi)力是反映曲線拱軸承載性能的主要指標。圖1給出了曲線拱結(jié)構(gòu)在任意分布荷載作用下的分析模型，結(jié)合平面結(jié)構(gòu)靜力分析及數(shù)值解析計算，根據(jù)圖2整體隔離體模型，拱結(jié)構(gòu)支反力可表示為

其中，F(xiàn)Ax、FAy分別為支點A的水平、豎向支反力；FBx、FBy分別為支點B的水平、豎向支反力；q（x）為作用于拱軸的豎向任意分布荷載；l、f分別為拱軸的跨度和矢高。

對于超靜定的兩鉸拱結(jié)構(gòu)，式（3）中兩支點水平反力耦合，需根據(jù)拱軸曲線方程及具體荷載布置結(jié)合超靜定結(jié)構(gòu)的變形位移協(xié)調(diào)條件進一步確定求解。

圖1 曲線拱分析模型

圖2 整體隔離體模型

對于任意指定截面C，按圖3局部隔離體的截面內(nèi)力規(guī)定方向，其內(nèi)力可表示為

其中，xC、yC為指定截面C的水平、豎向坐標；φC為截面C與y軸的夾角，計算時對于右半拱截面，φC取負值。

圖3 局部隔離體模型

2 典型拱曲線建立

進行拱類結(jié)構(gòu)設(shè)計分析時，通常需明確拱軸曲線方程以實現(xiàn)對拱軸內(nèi)力及變形的計算控制，常用的拱軸曲線方程有圓弧拱、橢圓拱、拋物線拱及懸鏈線拱等［14］。為方便統(tǒng)一，在推導建立拱軸曲線時規(guī)定左拱腳為平面坐標系原點。

根據(jù)標準圓曲線方程，典型圓弧拱軸曲線方程可表示為

橢圓曲線拱軸可利用標準橢圓方程進行推導，得到其方程為

由橢圓曲線線形有效性知，橢圓拱軸曲線方程x取值范圍為0≤x≤l。

拱軸為拋物線時，其包含跨度與矢高的參數(shù)方程為

懸鏈線是一種常用工程曲線，其表征曲線拱軸時方程為

3 算例及模型

3.1 工程算例

某拱形建筑屋面拱肋為兩鉸拱結(jié)構(gòu)，拱軸曲線矢高f=2 m，跨度l=5 m，矢跨比0.4，拱軸系數(shù)m=2（懸鏈線拱軸）。圖4為典型圓曲線拱、橢圓拱、拋物線拱和懸鏈線拱的拱軸曲線。

拱軸采用200 mm×300 mm的矩形截面，材料為C40混凝土，彈性模量E=3.25×104N/mm2。主要對加載工況Ⅰ（全跨均布荷載，荷載集度q=1 kN/m）、工況Ⅱ（半跨均布偏載，荷載集度q=1 kN/m）進行計算，分析探討不同工況下拱軸線形對拱結(jié)構(gòu)的支座反力、典型位置截面內(nèi)力及變形位移的影響規(guī)律。

圖4 拱軸曲線

3.2 有限元模型

為對比各典型拱軸曲線對拱軸內(nèi)力分布規(guī)律及變形特點的影響，本文借助有限元分析軟件Midas Civil建立曲線拱結(jié)構(gòu)的有限元分析模型。根據(jù)工程算例概況，拱軸選用等截面梁單元，單元長度沿拱結(jié)構(gòu)跨長方向投影相等，拱軸線形采用以直代曲方式建立，各曲線拱軸梁單元數(shù)量均為50個。拱結(jié)構(gòu)的左、右拱腳均采用固定鉸支座模擬。荷載工況按工程算例要求設(shè)置，采用梁單元均布荷載。

4 曲線拱承載分析

4.1 支座反力

拱結(jié)構(gòu)在荷載作用下的支座反力是反映拱結(jié)構(gòu)承載性能的一項關(guān)鍵指標，支座反力值是拱腳承載力設(shè)計的重要依據(jù)。表1、表2分別給出了在工況Ⅰ、工況Ⅱ作用下4種典型曲線拱軸拱結(jié)構(gòu)的支座反力。

由表1可知，由于建立的各拱軸曲線均為對稱結(jié)構(gòu)，在對稱荷載工況作用下兩支座豎向反力大小相等、方向相同，水平支反力大小相等、方向相反。通過對工況Ⅰ作用下四類拱結(jié)構(gòu)支座反力分析發(fā)現(xiàn)，橢圓拱的豎向支反力最大為3.54 kN，而拋物線拱的豎向支反力最小為3.33 kN；拋物線拱的水平支反力最大為1.88 kN，橢圓拱的水平支反力最小為1.51 kN，橢圓拱的水平支反力是拋物線拱的80.3%。拋物線拱的水平支反力與豎向支反力的比值最大，達到56.5%；橢圓拱的水平支反力與豎向支反力比值最小，為42.7%，即表明該4類拱軸線形在工況Ⅰ荷載作用下支反力合力線傾角在60.5°~66.9°。

表1 工況Ⅰ作用下支座反力

分析表2可知，在工況Ⅱ作用下右支座豎向支反力相較左支座小得多，約為24.1%~28.5%；橢圓拱的左支座豎向支反力最大2.86 kN，拋物線拱最小2.60 kN。各曲線拱的左支座水平與豎向支反力比值約為26.2%~36.2%，右支座水平與豎向支反力比值約為108.7%~127%，亦即左、右支座支反力合力線傾角差異較大，左支座支反力合力線傾角約為73.3°，右支座支反力合力線傾角約為41.0°。對比表1，在工況Ⅱ作用下左支座和右支座的水平支反力均降低約50%，而右支座的豎向支反力降低約80%，左支座的豎向支反力降低約20%，結(jié)果表明拱結(jié)構(gòu)的支座反力與荷載布置方式關(guān)系密切。

表2 工況Ⅱ作用下支座反力

4.2 拱軸內(nèi)力

拱結(jié)構(gòu)在豎向荷載作用下拱軸主要內(nèi)力為軸力及彎矩，剪力通常較小且對拱軸的應(yīng)力分布及變形位移影響較小，不是曲拱結(jié)構(gòu)承載力設(shè)計的控制指標。本文根據(jù)荷載布置工況，主要對不同拱軸曲線拱結(jié)構(gòu)的軸力、彎矩進行分析討論。

4.2.1 拱軸軸力

根據(jù)拱結(jié)構(gòu)的靜力學分析可知，拱類結(jié)構(gòu)在豎向荷載作用下的主要內(nèi)力是軸力，圖5給出了不同曲線拱軸在工況Ⅰ和工況Ⅱ作用下的最大、最小軸力。

由圖5可知，豎向荷載作用下拱軸最大、最小軸力均為壓力。各曲線拱軸在工況Ⅰ作用下最大軸力差異較小，拱軸最小軸力則差異較大，橢圓拱最小軸力為1.51 kN，而拋物線拱最小軸力為1.88 kN，相差達23.9%。在工況Ⅱ作用下，圓曲線拱和橢圓拱軸力最大值相較拋物線拱和懸鏈線拱大，而各拱結(jié)構(gòu)的軸力最小值差異規(guī)律相反。對比圖5A和圖5B，工況Ⅱ作用下各類拱軸拱結(jié)構(gòu)最大軸力相較工況Ⅰ降低約26%，而最小軸力降低約57%，工況Ⅱ總荷載大小相較工況Ⅰ降低50%，即表明拱軸軸力大小不僅與荷載量值有關(guān)，同時也與荷載的分布位置有關(guān)。

圖5 拱軸軸力

4.2.2 拱軸彎矩

拱軸彎矩內(nèi)力相較同等跨度、荷載的簡支梁結(jié)構(gòu)小很多，但其對拱軸截面的應(yīng)力分布極為不利，在進行拱結(jié)構(gòu)設(shè)計分析時，拱軸的彎矩內(nèi)力是關(guān)鍵參量。圖6、圖7分別給出了各曲線拱軸在工況Ⅰ、工況Ⅱ作用下的拱軸彎矩圖。

圖6 工況Ⅰ作用下拱軸彎矩

分析圖6可知，圓曲線拱軸和橢圓拱軸在工況Ⅰ作用下其拱結(jié)構(gòu)跨中為內(nèi)側(cè)受拉彎矩，兩側(cè)拱腳部位附近拱軸為外側(cè)受拉彎矩，而拋物線拱軸和懸鏈線拱軸則為跨中外側(cè)受拉彎矩，兩側(cè)拱腳部位附近拱軸為內(nèi)側(cè)受拉彎矩。對比各拱軸在工況Ⅰ作用下的彎矩幅值可知，4類拱軸線形中懸鏈線拱軸彎矩幅值為0.014 kN·m，橢圓拱軸彎矩幅值為-0.57 kN·m，表明橢圓線形拱結(jié)構(gòu)的彎矩抵抗能力相較其余拱軸線形差。

圖7 工況Ⅱ作用下拱軸彎矩

由圖7可知，在半跨均布偏載的工況Ⅱ作用下，各類曲線拱軸彎矩分布表現(xiàn)出顯著的一致性規(guī)律，即左半跨拱軸內(nèi)側(cè)受拉、右半跨拱軸外側(cè)受拉，且拱軸的正負彎矩峰值差異不大。此外，在工況Ⅱ作用下橢圓拱軸在左側(cè)半拱l(fā)/8跨處有反彎點，左支座距l(xiāng)/8跨處拱軸彎矩為外側(cè)受拉，但幅值較小，該特點其余三類拱軸均不具有，這主要是由于橢圓拱結(jié)構(gòu)在靠近拱腳位置的拱軸線切線斜率較大，豎向荷載作用下有外傾趨勢。

對比圖6和圖7，工況Ⅰ作用下拱結(jié)構(gòu)的彎矩分布相對均勻，而工況Ⅱ的偏載作用使得拱軸彎矩正負幅值差異較大，拱軸彎矩內(nèi)力對荷載的布置形式較敏感，在拱結(jié)構(gòu)使用期間盡量避免偏載造成的結(jié)構(gòu)彎矩內(nèi)力分布不均。

4.3 拱軸變形

根據(jù)拱軸形狀及荷載工況模式，重點對工況Ⅰ作用下l/2跨豎向位移，工況Ⅱ作用下l/4跨、l/2跨、3l/4跨的水平和豎向位移進行規(guī)律分析。表3為不同工況下各類曲線拱軸關(guān)鍵截面的位移。

由表3可知，在工況Ⅰ荷載作用下橢圓拱l(fā)/2跨的豎向位移最大為-7.73×10-2mm，拋物線拱l(fā)/2跨的豎向位移最小為0.03×10-2mm。工況Ⅱ作用下，拱軸形態(tài)呈現(xiàn)明顯的水平側(cè)移，其水平位移量值較豎向大。對比不同工況下各類拱軸跨中豎向位移發(fā)現(xiàn)，拋物線拱和懸鏈線拱在工況Ⅱ作用下豎向位移較工況Ⅰ作用下大，而圓曲線拱和橢圓拱在工況Ⅱ作用下豎向位移較工況Ⅰ作用下小。

表3 拱軸關(guān)鍵點位移

5 結(jié)論

本文通過對典型圓曲線拱、橢圓拱、拋物線拱及懸鏈線拱結(jié)構(gòu)進行全跨均布荷載和半跨均布偏載作用分析，探討了各類曲線拱結(jié)構(gòu)的支座反力、截面內(nèi)力及拱軸變形規(guī)律，得到如下結(jié)論：

1）各曲線拱支反力在不同荷載下表現(xiàn)各異。豎向均布荷載作用下橢圓拱豎向支反力最大、水平向支反力最小，而拋物線拱豎向支反力最小、豎向支反力最大；半跨偏載作用下左右支座反力均有降低，右支座水平與豎向支反力比值較左支座大得多。

2）不同豎向荷載工況下拱軸軸力均為壓力。全跨均布荷載及半跨均布偏載作用下，拱軸軸力均為壓力，且偏載作用下橢圓拱軸力最大、拋物線拱軸力最小。

3）不同曲線拱軸彎矩分布規(guī)律差異大。滿跨豎向均載工況下，拋物線拱和懸鏈線拱的彎矩分布規(guī)律與圓曲線拱和橢圓拱彎矩分布規(guī)律相反，但在半跨偏載作用下各曲線拱軸彎矩分布規(guī)律基本一致。

4）拱軸變形形態(tài)與荷載作用方式關(guān)系密切。全跨均布荷載作用下拱結(jié)構(gòu)變形對稱，而在半跨豎向均布偏載作用下拱結(jié)構(gòu)發(fā)生明顯水平側(cè)移，變形有反對稱特點。