數(shù)學(xué)開放性作業(yè)，讓學(xué)生學(xué)會深度思考

劉亞男

［摘? 要］ 精心設(shè)計數(shù)學(xué)開放性作業(yè)的目的是讓學(xué)生學(xué)會深度思考。文章以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的知識點(diǎn)為例，通過設(shè)計“觀點(diǎn)辯論”型作業(yè)，幫助學(xué)生在辨析中弄清本質(zhì)；設(shè)計“聯(lián)系區(qū)別”型作業(yè)，幫助學(xué)生在比較中尋找關(guān)聯(lián)；設(shè)計“探究操作”型作業(yè)，幫助學(xué)生在動手中發(fā)現(xiàn)奧秘；設(shè)計“梳理總結(jié)”型作業(yè)，幫助學(xué)生在反思中查漏補(bǔ)缺。

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)開放性作業(yè)；作業(yè)改革；深度思考

數(shù)學(xué)開放性作業(yè)是指這類數(shù)學(xué)作業(yè)的答案不唯一，沒有固定的書寫格式，以學(xué)生視角允許他們發(fā)表不同的觀點(diǎn)，教會學(xué)生準(zhǔn)確表達(dá)和深度思考，培養(yǎng)他們的創(chuàng)造性思維。因此，數(shù)學(xué)開放性作業(yè)既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)新課標(biāo)的要求，又體現(xiàn)了“作業(yè)十項管理”中的“創(chuàng)新作業(yè)類型方式”。

筆者結(jié)合人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材為學(xué)生量身定制了高質(zhì)量的“觀點(diǎn)辯論”型、“聯(lián)系區(qū)別”型、“探究操作”型、“梳理總結(jié)”型等數(shù)學(xué)開放性作業(yè)，使其成為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)性作業(yè)的補(bǔ)充，讓他們在數(shù)學(xué)開放性作業(yè)中有個性化的表達(dá)。

[?]一、設(shè)計“觀點(diǎn)辯論”型作業(yè)，在辨析中弄清本質(zhì)

“觀點(diǎn)辯論”型作業(yè)是指教師圍繞學(xué)生易混淆的數(shù)學(xué)概念或公式，以學(xué)生的口吻出示不同的觀點(diǎn)，讓他們選擇自己認(rèn)為正確的觀點(diǎn)，并自圓其說地闡述理由。此類型作業(yè)聚焦某個數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，讓學(xué)生展現(xiàn)自己的思考過程，在追根溯源中直達(dá)數(shù)學(xué)本質(zhì)。

如在教學(xué)“扇形統(tǒng)計圖”后，筆者讓學(xué)生完成以下作業(yè)。

有人說：我們已經(jīng)學(xué)過條形統(tǒng)計圖和折線統(tǒng)計圖了，不用再學(xué)習(xí)扇形統(tǒng)計圖了。你是否同意這個觀點(diǎn)？結(jié)合具體例子寫出你的理由。

該項作業(yè)是基于學(xué)習(xí)扇形統(tǒng)計圖必要性的追問，教師借助“有人說”的口吻，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合不同統(tǒng)計圖的特點(diǎn)和各自優(yōu)缺點(diǎn)，在分析、比較中選擇能直觀、有效表示信息的統(tǒng)計圖，進(jìn)一步加深學(xué)生對這三種統(tǒng)計圖特點(diǎn)的認(rèn)識。

又如在教學(xué)“數(shù)學(xué)廣角——集合”后，筆者讓學(xué)生完成以下作業(yè)。

音樂興趣小組中會彈琴的有25人，會唱歌的有30人，既會唱歌又會彈琴的有16人，兩樣都不會的只有3人。音樂興趣小組一共有多少人？

小紅說：音樂興趣小組一共有25+30+16+3=74（人）。

小華說：音樂興趣小組一共有25+30-16+3=42（人）。

小東說：音樂興趣小組一共有25+30+16-3=68（人）。

你同意誰的說法？請你結(jié)合維恩圖寫出理由。

該項作業(yè)是基于集合知識的基礎(chǔ)題，題目沒有給出維恩圖和兩個集合的元素，只給出了兩個集合及它們的交集、補(bǔ)集的元素個數(shù)，讓學(xué)生求出兩個集合并集的元素個數(shù)。旨在脫離具體的元素，從集合元素個數(shù)的角度，讓學(xué)生進(jìn)一步理解集合概念的含義和交集、并集、補(bǔ)集。

教師巧妙地模擬班級學(xué)生的思維路徑出示了幾種解答過程，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)重難點(diǎn)處展開辨析，借助畫出維恩圖，呈現(xiàn)自己真實(shí)的思考過程，學(xué)會用集合思想解決實(shí)際問題，加深對集合思想的理解。

[?]二、設(shè)計“聯(lián)系區(qū)別”型作業(yè)，在比較中尋找關(guān)聯(lián)

“聯(lián)系區(qū)別”型作業(yè)是指教師給出兩組或幾組具有關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，讓學(xué)生用文字或畫圖等方式表征出它們之間的聯(lián)系和區(qū)別。此類型作業(yè)是小切口引出深分析，可能是同一知識點(diǎn)不同題型之間的關(guān)聯(lián)，也可能是不同知識點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)。

如在教學(xué)“多位數(shù)乘一位數(shù)”后，筆者讓學(xué)生完成以下作業(yè)。

請你先用不同方法計算12×3，16×4和24×9，再試著說出這三道兩位數(shù)乘一位數(shù)的乘法題的聯(lián)系和區(qū)別。

該項作業(yè)是基于同一個單元中不同的兩位數(shù)乘一位數(shù)乘法之間的比較，學(xué)生可以指出同一道乘法題不同方法之間的聯(lián)系和區(qū)別，通過畫圖、口算和豎式等多元表征的轉(zhuǎn)化，理解每一位上的數(shù)表示的含義，將動作表征和符號表征緊密聯(lián)系起來。學(xué)生還可以指出三道兩位數(shù)乘一位數(shù)的乘法題之間的聯(lián)系和區(qū)別，發(fā)現(xiàn)它們的算理和算法都是相同的，區(qū)別在于是否進(jìn)位。

又如在教學(xué)“小數(shù)的加法和減法”后，筆者讓學(xué)生完成以下作業(yè)。

小數(shù)加減法和整數(shù)加減法有哪些聯(lián)系和區(qū)別？（提示：可以舉例來說明）

該項作業(yè)是基于不同年級的上位知識和下位知識之間的比較，學(xué)生不僅要會正確口算和用豎式計算小數(shù)加減法，還要站在較高的視角尋找比較相關(guān)知識的角度，比如從研究小數(shù)加減法的過程角度、從計算的算理和算法角度、從混合運(yùn)算的運(yùn)算順序角度、從加法和乘法運(yùn)算定律角度等來比較。

[?]三、設(shè)計“探究操作”型作業(yè)，在動手中發(fā)現(xiàn)奧秘

“探究操作”型作業(yè)是指教師為學(xué)生提供可探究、可操作的學(xué)習(xí)素材，學(xué)生運(yùn)用已有的知識和生活經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)奧秘，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得既有趣又有深度。此類型作業(yè)是對所學(xué)知識的補(bǔ)充和拓展，需要學(xué)生動手、動腦、動口，有時還需要小組分工合作，共同完成一項探究任務(wù)。

如在教學(xué)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”后，筆者讓學(xué)生完成以下作業(yè)。

設(shè)計花壇

有一塊邊長是10米的正方形空地，現(xiàn)在要在空地上設(shè)計一個花壇，使花壇的面積是空地面積的1/2。請你在下面的正方形中盡可能多地畫出你的設(shè)計圖。（注：在學(xué)生的練習(xí)紙上畫36個這樣的正方形）

該項作業(yè)是一道運(yùn)用分?jǐn)?shù)知識的綜合實(shí)踐題，需要學(xué)生從不同的角度探索解決問題的策略，運(yùn)用所學(xué)知識解決生活實(shí)際問題。對于這道開放題，學(xué)生通常能想到5種或6種不同的設(shè)計方案，教師需要引導(dǎo)學(xué)生探究出更多的設(shè)計方案，并對畫圖策略進(jìn)行分類：“映射”型、“有序排列”型、“化直為曲”型、“運(yùn)用分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)”型、“圖形的組合（拆分）”型、“間隔取”型、“旋轉(zhuǎn)”型、“整體認(rèn)知”型等。

又如在教學(xué)“圓錐的體積”前，筆者讓學(xué)生完成以下作業(yè)。

“圓錐的體積”研究報告

下面的圓柱和圓錐底面積相等，高也相等。

1. 估一估：這個圓錐的體積是圓柱的幾分之幾？

2. 驗證：用什么辦法來檢驗?zāi)愕墓烙嫞肯认胍幌肽阈枰男┕ぞ吆筒牧?。?zhǔn)備用哪幾個步驟完成你的驗證？然后做一做實(shí)驗，記錄你的實(shí)驗過程和結(jié)論。

3. 根據(jù)你的實(shí)驗，想一想可以怎樣求圓錐的體積。

如果用V表示圓錐的體積，S表示圓錐的底面積，h表示圓錐的高，圓錐的體積公式可以怎么寫？

4. 對于今天的學(xué)習(xí)內(nèi)容，你還能提出什么問題？

該項作業(yè)是一份關(guān)于探究圓錐體積的實(shí)驗報告，學(xué)生基于前期圓柱體積的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，先猜測圓柱和圓錐體積之間的大小關(guān)系；再通過圓柱和圓錐形容器相互倒沙子或水的實(shí)驗，探究等底等高的圓柱和圓錐體積之間的關(guān)系；最后在實(shí)驗中發(fā)現(xiàn)等底等高圓柱和圓錐體積的關(guān)系，推導(dǎo)出圓錐體積的計算公式。

[?]四、設(shè)計“梳理總結(jié)”型作業(yè)，在反思中查漏補(bǔ)缺

“梳理總結(jié)”型作業(yè)是指學(xué)生解完某道題目，學(xué)完某個知識點(diǎn)或某個單元后，嘗試用自己喜歡的方式梳理總結(jié)做過的題目或?qū)W過的內(nèi)容。此類型作業(yè)能提高學(xué)生的總結(jié)和反思能力，讓他們借助“費(fèi)曼學(xué)習(xí)法”構(gòu)建知識框架，有序且全面地畫出思維導(dǎo)圖。

如在教學(xué)“筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)（進(jìn)位）”后，筆者讓學(xué)生完成以下作業(yè)。

回顧兩位數(shù)乘兩位數(shù)（進(jìn)位）豎式的計算過程，寫一寫筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)（進(jìn)位）的計算步驟和需要注意些什么。（提示：可圍繞“乘的順序”“積的位置”“進(jìn)位的處理方法”等展開）

該項作業(yè)是基于一節(jié)課的梳理總結(jié)，當(dāng)學(xué)生合上數(shù)學(xué)課本，嘗試回憶一節(jié)課中學(xué)到了哪些知識，他們會像“小老師”一樣先選擇某個知識點(diǎn)用自己的語言組織出來并寫在紙上，然后把學(xué)到的知識流暢地復(fù)述一遍，如果遇到不會的地方重新鞏固后再寫下來，直到真正理解為止。

又如在復(fù)習(xí)“角的度量”單元前，筆者讓學(xué)生完成以下作業(yè)。

同學(xué)們，我們學(xué)習(xí)了“角的度量”這個單元，本單元知識有認(rèn)識線段、直線和射線，角的度量、角的分類和畫角等內(nèi)容。請你用思維導(dǎo)圖整理本單元的知識點(diǎn)，并收集一道“好題”，闡述好在哪里。

該項作業(yè)是基于一個單元的梳理總結(jié)，當(dāng)學(xué)生學(xué)完一個單元的知識后，借助“思維導(dǎo)圖”，由幾個關(guān)鍵詞構(gòu)建出整體框架，在層層分支中細(xì)化對知識點(diǎn)的理解，厘清知識之間的邏輯關(guān)系，最終在學(xué)生頭腦中形成知識網(wǎng)絡(luò)。學(xué)生繪制思維導(dǎo)圖，能增強(qiáng)他們充分利用右腦超強(qiáng)記憶的能力。在這一過程中，學(xué)生養(yǎng)成了反思習(xí)慣，提高了復(fù)習(xí)效率。

總之，數(shù)學(xué)開放性作業(yè)充分尊重學(xué)生的天性，為每個學(xué)生打開了一扇數(shù)學(xué)思考和表達(dá)的天窗，讓他們敢于表達(dá)和學(xué)會表達(dá)，在表達(dá)中促進(jìn)他們的深度思考和多角度看問題，從而發(fā)展他們思維的概括性、間接性、邏輯性、深刻性、靈活性、獨(dú)創(chuàng)性、批判性和敏捷性，提高他們分析和解決問題的能力。