關于三角形內特殊點的幾何不等式

安徽信息工程學院 (241000)

李冠戩

1.引言

幾何不等式是溝通代數(shù)與幾何的重要媒介，它既有幾何的直觀形象，又有代數(shù)的邏輯嚴密.文[1]討論了關于三角形內一點作三邊對稱點得到新三角形的方法.本文借鑒這種方法，分別取該點為外心，垂心，內心，重心，費馬點和勃羅卡點，得到一系列優(yōu)美簡潔的表達式，并研究它們之間的不等關系，推導出一個新的幾何不等式.

首先，介紹一個定理，它是我們一切思路的源頭.文[1]第98頁例6中證明了如下定理：

定理1P為△ABC內一點,點P關于邊AB,BC,CA的對稱點分別為P1,P2,P3,則

(2)∠P1P2P3=∠BPC-∠A,∠P1P3P2=∠CPA-∠B,∠P2P1P3=∠APB-∠C.

2.外接圓半徑的表達式

在這個定理的基礎上，我們分別取P為△ABC的外心，垂心，內心，重心，費馬點和勃羅卡點，得到關于外接圓半徑的表達式.

以下是一些必要的符號和記號.

定義△ABC中，記AB=c，BC=a，CA=b，S,R，r，C，p分別為其面積，外接圓半徑，內切圓半徑，周長及半周長，O，H，I，G，F(xiàn)，P分別為外心，垂心，內心，重心，費馬點和勃羅卡點，記它們關于三邊的對稱點構成的三角形面積分別為SO,SH,SI,SG,SF,SP,外接圓半徑分別為RO,RH,RI,RG,RF,RP.

于是有下面幾個定理成立.

定理2.1 外心O關于三邊的對稱點構成的三角形與原三角形全等.

證明:當P為外心O時，PA=PB=PC=R,∠APB=2∠C,∠BPC=2∠A,∠CPA=2∠B.則由定理1得P1P2=b,P2P3=c,P3P1=a,∠P1P2P3=∠A,∠P1P3P2=∠B,∠P2P1P3=∠C.故此時△P1P2P3與△ABC全等，原命題得證.

(注：證明中用到AH=2RcosA,AI=

3.兩個引理

為了證明將要給出的幾何不等式，我們先證明兩個引理.

引理1 (Gerretsen不等式)設R，r，p分別為△ABC的外接圓半徑，內切圓半徑，半周長，則16Rr-5r2≤p2≤4R2+4Rr+3r2.(2)

4.新的幾何不等式

根據定理2.1和定理2.2，我們推導證明出如下的幾何不等式.

定理3RI≤RF≤RH,RI≤RP≤RH，RI≤RG≤RH.(4)

再證RI≤RG，由定理2.2等價于證明3r∑a2≤4mambmc.

最后證RG≤RH,由定理2.2等價于證明8mambmc≤3R∑a2.