高中數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的課例分析
——以圓錐曲線焦點弦?guī)缀涡再|(zhì)的探究為例

鞍山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 (114007)

徐 偉 彭艷貴

研究性學(xué)習(xí)是學(xué)生以某些特定課題為基礎(chǔ)進(jìn)行探索研究的一種學(xué)習(xí)方式，在高中數(shù)學(xué)范圍進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)符合教育目標(biāo)的基本要求，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力，促進(jìn)學(xué)生核心能力與綜合素養(yǎng)的發(fā)展，因此，有效開展研究性學(xué)習(xí)是重要的.從數(shù)學(xué)研究的傳統(tǒng)來看，數(shù)學(xué)家的研究大體分為純粹數(shù)學(xué)理論研究和應(yīng)用數(shù)學(xué)研究兩個方向.與應(yīng)用數(shù)學(xué)研究相應(yīng)，高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)開展數(shù)學(xué)建?；顒?數(shù)學(xué)建模在數(shù)學(xué)應(yīng)用等方面的教育價值雖得到普遍認(rèn)可，但從高中教學(xué)的實際情況來看，建?；顒拥拈_展并不普遍.其中的原因，一方面是教師的指導(dǎo)能力和研究條件等還不能滿足需要；另一方面是由于高考應(yīng)試的原因?qū)е赂咧薪虒W(xué)進(jìn)度較快，教與學(xué)的壓力較大，特別的，建模活動對能力的培養(yǎng)對應(yīng)試能力提高是否有促進(jìn)作用對于高中師生而言可能還存有疑問.類比于數(shù)學(xué)家從事純粹數(shù)學(xué)理論研究課題的確定方式，可以從教學(xué)中的理論知識和例習(xí)題中挖掘問題供開展研究性學(xué)習(xí)用.這樣做有幾點明顯的好處：(1)不需要過多的額外教學(xué)資源；(2)有利于理解教學(xué)內(nèi)容；(3)從研究活動所獲得的能力有助于常規(guī)解題能力的提高，可有效避免大量“刷題”所帶來的低效學(xué)習(xí)；(4)有助于學(xué)生了解數(shù)學(xué)研究傳統(tǒng)，理解數(shù)學(xué)家提出問題的方法和追求不變性、不變量等結(jié)果簡明的價值判斷；(5)提高學(xué)生綜合的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

作為教師最好有過數(shù)學(xué)研究的親身經(jīng)歷，特別的，有初等數(shù)學(xué)的研究經(jīng)歷，或者有編擬例習(xí)題或試題的經(jīng)歷，如此，教師才能熟悉研究性學(xué)習(xí)活動中的數(shù)學(xué)研究方式方法，從而有利于活動的開展.教師需要對所研究的課題有一定的了解，能夠初步預(yù)見可能的研究結(jié)果，從而把研究性學(xué)習(xí)活動限制在可控的范圍內(nèi).一般的研究方法：(1)把已有的概念、命題及例習(xí)題做出推廣，這是常用的數(shù)學(xué)問題提出的方法；(2)溝通兩個知識主題的聯(lián)系；(3)將一個知識主題所獲得的知識應(yīng)用于其它領(lǐng)域，等等.早期的高中教材中有這樣一題：過拋物線y2=2px的焦點的一條直線和這拋物線相交，兩個交點的縱坐標(biāo)為y1,y2，求證：y1·y2=-p2.此題在人教B版(2004)高中教材選修2-1(解析幾何)中改為：過拋物線y2=2px(p>0)焦點的一條直線與這條拋物線相交與A,B兩點.求證：這兩個交點到x軸的距離的乘積是常數(shù).如此改動是有其深意的，它弱化了問題的代數(shù)意義而突出了問題的幾何特征.新人教B版(2020)選擇性必修一教材中仍原樣保留了該習(xí)題.

文[1]中一位中學(xué)數(shù)學(xué)教師指出：多數(shù)學(xué)生做該題時，并沒有認(rèn)識到該題所涉及的結(jié)論實質(zhì)上是拋物線焦點弦的一個幾何性質(zhì).因此，盡管做了此題，學(xué)生也不能從拋物線焦點弦的高度解決一些其他有關(guān)問題，更談不上掌握解決這類問題的規(guī)律.按波利亞的說法，一個好題目，解決它，可以打開一道門戶，指引我們通向一個完整的數(shù)學(xué)理論.對于教師而言，在求解問題時不能僅著眼于運用知識方法解決問題，更應(yīng)在數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)意義上把握對此問題的理解，并在此基礎(chǔ)上開展進(jìn)一步的理論意義上的探究.從教學(xué)和應(yīng)試意義下考慮，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生以此問題為線索，開展專題的研究性學(xué)習(xí)，挖掘拋物線焦點弦的幾何性質(zhì)，并掌握解決這一類問題的方法和規(guī)律.同時，將理論專題研究的結(jié)果作為解后反思、題組(變式)訓(xùn)練的出發(fā)點.

拋物線焦點弦問題及其推廣在教材中及以往的高考試題中都有所體現(xiàn)，這就為研究性學(xué)習(xí)提供了素材.一方面，研究此類問題從知識、方法的運用角度講是適當(dāng)?shù)模y度也合適，也能體現(xiàn)出一定的數(shù)學(xué)研究方式方法及價值判斷；另一方面，探究活動所獲得的題型知識和解題能力對應(yīng)試的支持作用也是顯而易見的.

1.以拋物線焦點弦問題的探究為例看研究課題的提出

文[2]給出了拋物線焦點弦的一個性質(zhì):

命題1 過拋物線焦點弦兩個端點的切線的交點必在準(zhǔn)線上，反之亦成立.

(2)設(shè)△ABM的面積為S，寫出S=f(λ)的表達(dá)式,并求S的最小值.

由此可獲知拋物線焦點弦的另一條性質(zhì)：

命題2 過拋物線x2=2py(p>0)的焦點弦兩端點A、B的切線的交點為M，則M與焦點F的連線與弦AB垂直.這里還有一個MA⊥MB的結(jié)論.

再看2007年高考江蘇理科數(shù)學(xué)試卷第19題：在平面直角坐標(biāo)系中,過y軸正方向上一點C(0,c)任作一直線,與拋物線y=x2相交于A、B兩點，一條垂直于x軸的直線，分別與線段AB和直線l:y=-c交于P、Q.

(2)若P為線段AB的中點.求證：QA為此拋物線的切線；

(3)試問(2)的逆命題是否成立？說明理由.

此題提示我們可將命題1推廣，得到：

推廣1 將命題1中的焦點換作一般的定點，即將命題1的推廣作為研究課題，再看看命題2所得結(jié)論能否在推廣的命題中被繼承下來.已知拋物線x2=2py(p>0)，過點M(0,m)(m>0)的直線l交拋物線于A、B兩點，過A、B的拋物線的切線交于點P，當(dāng)直線l繞M點轉(zhuǎn)動時，證明：動點P的軌跡為直線y=-m.反之亦成立.再進(jìn)一步研究直線PM與AB可能的位置關(guān)系.

推廣2 已知拋物線x2=2px(p>0)，如果將y軸上定點進(jìn)一步改為一般的定點M(m,n)(M點在拋物線內(nèi)部)，過點M的直線l交拋物線于A、B兩點，過A、B的拋物線的切線交于點P，當(dāng)直線l繞M點轉(zhuǎn)動時，看動點P的軌跡是否仍是直線及直線位置如何？反之，給定一條直線，由直線上的點向拋物線作兩條切線，問題是切點的連線是否過定點.

2.探究橢圓和雙曲線的焦點弦問題

推廣3 將拋物線焦點弦?guī)缀涡再|(zhì)命題1、命題2及課題1、2的結(jié)果移植到橢圓和雙曲線上，可引導(dǎo)學(xué)生提出下列命題并探究這些命題是否成立.再進(jìn)一步將下面命題當(dāng)做研究對象，以此為基礎(chǔ)展開新的課題探究.

推廣4 將圓的反演變換問題與前述命題1-6結(jié)合起來，研究利用橢圓、雙曲線及拋物線實施反演變換的問題.具體提出以下命題作為研究的素材.

推廣5 對命題7的進(jìn)一步思考，教師可引導(dǎo)學(xué)生提出下列命題.

高中數(shù)學(xué)研究性課題的確立除了考慮與教學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系及課題的難易程度與學(xué)生能力的匹配之外，還要考慮研究結(jié)果的創(chuàng)新性問題.我們認(rèn)為，對課題研究結(jié)果的創(chuàng)新性不宜以學(xué)術(shù)意義上的創(chuàng)新為標(biāo)準(zhǔn)，相對于學(xué)生所接觸的數(shù)學(xué)理論知識、方法和實際能力而言有新意即可.