深入研究一節(jié)教材 精心設(shè)計(jì)導(dǎo)學(xué)方案
——以青島版“二次函數(shù)”的概念為例

?山東沂南第四中學(xué) 李樹(shù)臣?山東威海高區(qū)一中 韓 燕

1 引言

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(簡(jiǎn)稱《課標(biāo)(2011年版)》)提出的提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)目標(biāo)的落實(shí)，是通過(guò)每一節(jié)課堂教學(xué)逐步實(shí)現(xiàn)的.因此，教師應(yīng)研讀每一節(jié)教材，把握每一節(jié)教材的編寫意圖，設(shè)計(jì)好教學(xué)方案，才能保證每一節(jié)課的教學(xué)質(zhì)量.

據(jù)了解，很多老師的教案沒(méi)有體現(xiàn)出教材的編寫意圖，導(dǎo)致教學(xué)出現(xiàn)了“偏差”.這部分老師對(duì)教材研究的“力度”不夠，若長(zhǎng)此以往，將很難保證實(shí)現(xiàn)《課標(biāo)(2011年版)》的理念.

本文中以《課標(biāo)(2011年版)》下青島版“二次函數(shù)”一節(jié)課的研究和教學(xué)設(shè)計(jì)為例，旨在說(shuō)明教師首先應(yīng)認(rèn)真研讀教材，把握教材編寫的意圖，才能編寫出符合教材要求的導(dǎo)學(xué)方案.

2 研讀教材的收獲

數(shù)學(xué)教材凝聚了編寫者的心血，他們?cè)诰帉戇^(guò)程中，認(rèn)真學(xué)習(xí)、反復(fù)推敲《課標(biāo)(2011年版)》的每一條理論要求，耐心打磨教材中的每一句話(一個(gè)字)，在比較、斟酌中篩選教材中的每一個(gè)例題、練習(xí)題.

課堂教學(xué)的主要依據(jù)是教材.教師在教學(xué)前應(yīng)反復(fù)閱讀，認(rèn)真研讀，充分理解教材的編寫意圖.這對(duì)于指導(dǎo)教學(xué)具有現(xiàn)實(shí)意義.

教師只有反復(fù)研讀每一節(jié)(課)教材，才能把握教材的編寫意圖，明確教材的主要內(nèi)容，從而確定教學(xué)目標(biāo)，找出教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)，設(shè)計(jì)出切實(shí)可行的教學(xué)方案.

青島版教材九下“5.3二次函數(shù)”主要內(nèi)容有5個(gè)問(wèn)題、一個(gè)例題、兩個(gè)練習(xí)和6個(gè)習(xí)題.通過(guò)研究，可以把其分為三個(gè)主要環(huán)節(jié).

環(huán)節(jié)1：二次函數(shù)的建立.

整個(gè)二次函數(shù)的建立過(guò)程分三個(gè)層次：

第一層次：?jiǎn)栴}情境導(dǎo)入.

教材在二次函數(shù)概念引入前，設(shè)計(jì)了三個(gè)問(wèn)題：(1)用鐵絲圍矩形問(wèn)題；(2)小球沿光滑斜坡滾動(dòng)問(wèn)題；(3)企業(yè)產(chǎn)值問(wèn)題.

要求學(xué)生分別寫出這三個(gè)問(wèn)題中變量之間的函數(shù)表達(dá)式.

編寫意圖:初中階段學(xué)生主要學(xué)習(xí)一次函數(shù)(正比例函數(shù))、反比例函數(shù)和二次函數(shù)，在學(xué)習(xí)前面兩類函數(shù)時(shí)已經(jīng)有了下述認(rèn)知：(1)函數(shù)是刻畫變量與變量之間依賴關(guān)系的模型；(2)函數(shù)是聯(lián)結(jié)兩類對(duì)象的橋梁；(3)函數(shù)是“圖形”.對(duì)函數(shù)內(nèi)容的呈現(xiàn)過(guò)程如圖1所示.

教材在這個(gè)基礎(chǔ)上，安排了“二次函數(shù)”的內(nèi)容，本節(jié)“沿襲”學(xué)習(xí)前面兩類函數(shù)的研究過(guò)程.《課標(biāo)(2011年版)》對(duì)“二次函數(shù)”的第一條要求是“通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析，體會(huì)二次函數(shù)的意義”.結(jié)合《課標(biāo)(2011年版)》提出的“現(xiàn)實(shí)性”要求，教材從“貼近學(xué)生的現(xiàn)實(shí)”出發(fā)，精心選取了上面的三個(gè)問(wèn)題，其中問(wèn)題(1)和(3)取材于“生活現(xiàn)實(shí)”，問(wèn)題(2)取材于物理學(xué)科.

三個(gè)問(wèn)題立足于學(xué)生的“生活現(xiàn)實(shí)”，有助于學(xué)生從“現(xiàn)實(shí)情境”中抽象出數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)一步感悟“數(shù)學(xué)與生活”的關(guān)系，加深對(duì)模型思想的認(rèn)識(shí).這種設(shè)計(jì)符合“認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)涵著大量與數(shù)量和圖形有關(guān)的問(wèn)題，這些問(wèn)題可以抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的方法予以解決”的《課標(biāo)(2011年版)》要求.

第二層次：抽象本質(zhì)特征.

教材在這個(gè)階段的文字?jǐn)⑹龊芎?jiǎn)練，僅有三行字，形成了第(4)個(gè)問(wèn)題：

經(jīng)過(guò)整理，以上三個(gè)問(wèn)題中的函數(shù)表達(dá)式分別是：

①y=x2+30x；②S=2t2；③W=1 200x2+2 400x+1 200.

觀察這些函數(shù)表達(dá)式，你發(fā)現(xiàn)它們具有什么共同特征？

設(shè)計(jì)意圖：史寧中教授指出“抽象是從許多事物中舍棄個(gè)別的、非本質(zhì)屬性，得到共同的、本質(zhì)屬性的思維過(guò)程，是形成概念的必要手段”.抽象能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，抽象能力是在學(xué)生經(jīng)歷抽象的過(guò)程中形成和發(fā)展起來(lái)的.這個(gè)層次的意圖就在于培養(yǎng)學(xué)生從三個(gè)表達(dá)式的眾多屬性中抽象出“共同特征”的能力，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

第三層次：引入二次函數(shù)概念.

一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常數(shù)，且a≠0)的函數(shù)叫做二次函數(shù).

你能分別說(shuō)出上述三個(gè)二次函數(shù)表達(dá)式中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)嗎？

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)概念的教學(xué)既是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，又是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心.其根本任務(wù)是準(zhǔn)確地揭示概念的內(nèi)涵與外延，使學(xué)生在思考問(wèn)題、進(jìn)行推理論證時(shí)能有據(jù)可依，并能創(chuàng)見(jiàn)性地解決問(wèn)題.數(shù)學(xué)概念都有非常精確的含義，在第二個(gè)層次中，學(xué)生對(duì)三個(gè)二次函數(shù)表達(dá)式的本質(zhì)特征有了認(rèn)識(shí)后，教材及時(shí)給出了二次函數(shù)的定義.這里采用的是“形式定義”法，這種定義雖然能從其中分離出概念的內(nèi)涵，按規(guī)則作外延分類，但又不是從內(nèi)涵或外延出發(fā)而構(gòu)造相應(yīng)的模式，它的著眼點(diǎn)在于被定義概念的本質(zhì)結(jié)構(gòu).

環(huán)節(jié)2：二次函數(shù)中自變量的取值范圍.

教材在這個(gè)環(huán)節(jié)設(shè)置了第(5)個(gè)問(wèn)題：

(5)你能說(shuō)出二次函數(shù)y=ax2+bx+c中變量x的取值范圍嗎？你能分別說(shuō)出問(wèn)題(1)(2)(3)中自變量取值的范圍嗎？

設(shè)計(jì)意圖：在引入二次函數(shù)定義后，明確自變量的取值范圍對(duì)學(xué)生理解二次函數(shù)以及后面利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題也具有積極的意義.另外，二次函數(shù)是用數(shù)學(xué)式子給出的，在二次函數(shù)y=ax2+bx+c的表達(dá)式中，每個(gè)字母符號(hào)都具有自己的意義.單就二次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=ax2+bx+c來(lái)說(shuō)，自變量x的取值范圍是沒(méi)有限制的，x可以取任意實(shí)數(shù).但對(duì)于從實(shí)際問(wèn)題中抽象出來(lái)的具體二次函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=ax2+bx+c中的自變量必須確保實(shí)際問(wèn)題有意義，這就客觀導(dǎo)致了自變量的取值不能“自由任性”，要受到一定的限制，這是學(xué)生學(xué)習(xí)中容易出現(xiàn)問(wèn)題的地方.基于上面兩點(diǎn)，教材給出了問(wèn)題(5)，學(xué)生通過(guò)思考、討論問(wèn)題(5)可以達(dá)到上面的目的.

圖2

例題如圖2，從半徑為15的圓形鐵片上，挖去一個(gè)半徑為x的圓.寫出剩余部分的面積y與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并指出自變量x可以取值的范圍.

設(shè)計(jì)意圖：這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，設(shè)計(jì)這個(gè)題目的目的是讓學(xué)生進(jìn)一步明確二次函數(shù)與數(shù)學(xué)的關(guān)系，學(xué)會(huì)建立二次函數(shù)表達(dá)式，體會(huì)建立函數(shù)模型的過(guò)程，并且加深對(duì)自變量取值是有限制條件的認(rèn)識(shí).

3 二次函數(shù)的教學(xué)方案

有了上面對(duì)教材的研究，可以將“二次函數(shù)”這一課的宏觀教學(xué)方案設(shè)計(jì)如下：

(一)學(xué)習(xí)目標(biāo).

(1)結(jié)合具體情境，通過(guò)用表達(dá)式表示簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題中變量之間的函數(shù)關(guān)系，體會(huì)二次函數(shù)的意義.

(2)經(jīng)歷二次函數(shù)概念的形成過(guò)程，體會(huì)二次函數(shù)也是一種數(shù)學(xué)模型.

(3)會(huì)把一個(gè)二次函數(shù)化成一般形式.

(二)重點(diǎn)難點(diǎn).

重點(diǎn)：理解二次函數(shù)的有關(guān)概念，能應(yīng)用二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題.

難點(diǎn)：將簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的模型.

(三)教學(xué)過(guò)程要點(diǎn).

(1)回顧函數(shù)的概念，到目前我們學(xué)了哪些函數(shù)？你能說(shuō)出它們的概念嗎？

(2)自主探究.

思考下列問(wèn)題，并與同學(xué)們交流.

①把一根長(zhǎng)為60 cm的鐵絲，圍成一個(gè)矩形.寫出矩形的面積S(單位：cm2)與它的一邊長(zhǎng)x(單位：cm)之間的函數(shù)表達(dá)式.

圖3

②一個(gè)小球由靜止開(kāi)始，沿圖3所示的光滑斜坡向下滾動(dòng)，經(jīng)過(guò)5 s到達(dá)斜坡的底部.實(shí)驗(yàn)測(cè)得小球滾動(dòng)的距離s(單位：m)與時(shí)間t(單位：s)對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)如表1所示：

表1 小球滾動(dòng)的距離與時(shí)間對(duì)應(yīng)表

分析表1中的數(shù)據(jù)，并根據(jù)數(shù)據(jù)回答下面問(wèn)題：

(ⅰ)當(dāng)t增加時(shí)，s怎樣變化？

(ⅱ)s與t之間的函數(shù)表達(dá)式可能為.

③某企業(yè)去年的產(chǎn)值為1 200萬(wàn)元.如果三年內(nèi)該企業(yè)年產(chǎn)值平均每年的增長(zhǎng)率為x，你能寫出明年該企業(yè)年產(chǎn)值y(單位：萬(wàn)元)與x之間的函數(shù)表達(dá)式嗎？

(3)抽象歸納.

觀察下面三個(gè)函數(shù)表達(dá)式，它們有什么共同特征？

①y=x2+30x；②S=2t2；③W=1 200x2+2 400x+1 200.

(4)給出二次函數(shù)概念.

(5)例題講解.

講解例題時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生列出函數(shù)表達(dá)式，再由x表示小圓半徑，從而得到x>0.另一方面，由于小圓圓心可以與大圓的圓心重合，此時(shí)要使小圓在大圓內(nèi)，x應(yīng)滿足x<15.

(6)嘗試應(yīng)用.

①分別說(shuō)出下列二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng).

(ⅰ)y=-x2+58x-112；(ⅱ)y=πx2.

②當(dāng)系數(shù)a，b，c滿足什么條件時(shí)，函數(shù)y=ax2+bx+c是二次函數(shù)？一次函數(shù)？正比例函數(shù)？

③已知正方形的邊長(zhǎng)是3，當(dāng)邊長(zhǎng)增加x時(shí)，面積增加y，寫出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式.

4 兩點(diǎn)啟示

從前面的敘述看，只要在教材研讀方面下了功夫，把握了教材的編寫意圖，編寫教學(xué)方案就顯得很輕松，更重要的是這樣編寫出的教學(xué)方案才是有實(shí)效的.通過(guò)對(duì)青島版“二次函數(shù)”一課的教學(xué)研究，我們至少有以下兩點(diǎn)體會(huì).

(1)加大研讀教材的力度.

首先，教師要樹(shù)立正確的“教材觀”.數(shù)學(xué)教學(xué)必須以教材為藍(lán)本，以教材為根本.要正確理解目前流行的“不是教教材，而是用教材教”“要?jiǎng)?chuàng)造性地使用教材”等“時(shí)髦”觀點(diǎn).教學(xué)中教師一定要重視教材，研讀教材，不能脫離教材.有些老師企圖用所謂的“導(dǎo)學(xué)案”代替教材是很荒唐的做法.

其次，通過(guò)研讀教材正確把握教材的編寫意圖，這是教師編寫教學(xué)方案的基礎(chǔ)，只有這樣才能確保編寫的教學(xué)方案是針對(duì)教材的，確保教學(xué)真實(shí)有效，提高教學(xué)質(zhì)量.

(2)概念教學(xué)應(yīng)貫穿于課堂教學(xué)的始終.

數(shù)學(xué)概念是人腦對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式.數(shù)學(xué)概念是重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，是構(gòu)成數(shù)學(xué)教材的基本結(jié)構(gòu)單位，正是因?yàn)檫@些數(shù)學(xué)概念的存在，才形成了數(shù)學(xué)教材的知識(shí)結(jié)構(gòu).

曹才翰老先生說(shuō)過(guò)，“概念是思維的細(xì)胞，數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也”.數(shù)學(xué)教學(xué)必須做到“概念明確”，因?yàn)樵诮虒W(xué)中只有明確概念，才能把握概念的本質(zhì)屬性.數(shù)學(xué)公式、定理和方法都是反映數(shù)學(xué)對(duì)象和概念間關(guān)系的，學(xué)生只有建立起了正確明晰的概念，才能牢固地掌握基礎(chǔ)知識(shí)，進(jìn)行命題推理.

數(shù)學(xué)概念貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，新授課離不開(kāi)數(shù)學(xué)概念，復(fù)習(xí)課更是離不開(kāi)概念，而一個(gè)個(gè)的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)就是靠概念“串連”在一起的.通過(guò)復(fù)習(xí)欲達(dá)到系統(tǒng)掌握知識(shí)的目的，只要把本單元所涉及的概念串連起來(lái)就能“再現(xiàn)”教材的知識(shí)結(jié)構(gòu).所以，從數(shù)學(xué)教學(xué)的形式和內(nèi)容上看，數(shù)學(xué)概念教學(xué)始終與課堂教學(xué)并存.

概念教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的起始階段和基本出發(fā)點(diǎn)，學(xué)生在深入理解數(shù)學(xué)概念的過(guò)程中能使自己的抽象思維得到發(fā)展.可見(jiàn)，數(shù)學(xué)概念教學(xué)的質(zhì)量，直接影響到學(xué)生思維能力的形成，關(guān)系到其思維能力的發(fā)展.所以，我們要把數(shù)學(xué)概念的教學(xué)融入到教學(xué)的全程之中.