借助三角形外心 巧妙求解代數(shù)式

江蘇省海安高級(jí)中學(xué)

葉枝鳳

平面向量是歷年高考數(shù)學(xué)的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，是高考的熱點(diǎn)與重點(diǎn)問(wèn)題之一，由于其同時(shí)兼?zhèn)洹靶巍钡奶卣髋c“數(shù)”的性質(zhì)，問(wèn)題設(shè)置新穎多樣，內(nèi)涵豐富背景創(chuàng)新，變化多端思維各異，是數(shù)學(xué)學(xué)科中知識(shí)與能力充分交匯與融合的理想場(chǎng)所，具有很好的選拔性與區(qū)分度，倍受命題者青睞.

1 問(wèn)題呈現(xiàn)

此題以三角形為載體，結(jié)合確定的三角形以及外心，通過(guò)含參數(shù)的平面向量的線性關(guān)系式的建立，進(jìn)而求解對(duì)應(yīng)參數(shù)的一次代數(shù)關(guān)系式的值.破解此類(lèi)問(wèn)題，關(guān)鍵就是要抓住平面向量中的“形”的特征、“數(shù)”的性質(zhì)或“形”與“數(shù)”的和諧統(tǒng)一，從平面幾何角度加以直觀處理，平面向量角度加以轉(zhuǎn)化，坐標(biāo)角度加以運(yùn)算等，從而解決相應(yīng)的問(wèn)題.

2 問(wèn)題破解

思維視角一：平面幾何思維.

解法1：(平面幾何法)如圖1所示，取AB的中點(diǎn)D，在AC上取一點(diǎn)E，使AC=3AE，連接OD，OE，DE，其中OA交DE于點(diǎn)F，則AD=1，AE=1，OD⊥AB.而∠BAC=60°，則知△ADE為正三角形，從而DE=1，∠ODE=30°.

圖1

在△ABC中，由余弦定理，可得

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)平面向量“形”的特征，以及平面向量的線性關(guān)系式，通過(guò)三角形圖形的直觀，結(jié)合余弦定理與正弦定理的應(yīng)用，利用三角形面積的轉(zhuǎn)化確定對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)之間的比值，從而把平面向量的線性關(guān)系式轉(zhuǎn)化為以A為起點(diǎn)的三個(gè)共線的向量之間的線性關(guān)系式問(wèn)題，利用共線向量的性質(zhì)建立關(guān)系式來(lái)求解.

思維視角二：平面向量思維.

圖2

結(jié)合余弦定理的向量式，有

所以，4x+3y=2.

結(jié)合余弦定理的向量式，有

所以，4x+3y=2.

圖3

在△ABC中，由余弦定理，可得

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)平面向量“形”與“數(shù)”的和諧統(tǒng)一性，建立相應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系，先確定點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用三角形外心的性質(zhì)，綜合解三角形中的余弦定理和正弦定理，以及勾股定理來(lái)確定外心O的坐標(biāo).利用坐標(biāo)運(yùn)算代入平面向量的線性關(guān)系式，建立相應(yīng)參數(shù)的一次方程組，通過(guò)求解參數(shù)值，進(jìn)而得以求出一次代數(shù)關(guān)系式的值.不同的建系法都可以達(dá)到破解的目的，只是相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)發(fā)生了變化.

3 解后反思

借助平面向量“形”的特征與“數(shù)”的性質(zhì)的雙重身份，破解此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，可以從“形”的角度入手，利用幾何直觀，通過(guò)平面幾何特征或圖形直觀等形式來(lái)處理；可以從“數(shù)”的角度入手，利用代數(shù)視角，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算或平面向量的運(yùn)算等形式來(lái)解決；還可以從“形”與“數(shù)”的和諧統(tǒng)一性，通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算等形式來(lái)破解等.涉及平面向量的相關(guān)問(wèn)題，能有效達(dá)到問(wèn)題設(shè)置的多知識(shí)融合，思維方式的多角度切入，破解技巧的多方法處理等，是充分考查數(shù)學(xué)知識(shí)，提升數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的好陣地.