常Gauss曲率Bonnet曲面*

李苗苗， 吳英毅

(中國(guó)科學(xué)院大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 北京 100049) ( 2020年8月20日收稿； 2020年10月3日收修改稿)

定理A常Gauss曲率Bonnet曲面Gauss曲率為0。

為方便討論，本文涉及的Bonnet曲面均無(wú)臍點(diǎn)，且dH≠0。

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)M為3中無(wú)臍點(diǎn)的光滑曲面。M上存在單位主方向標(biāo)架場(chǎng){x,e1,e2,e3}，其中x∈M，e3為法向量，e1、e2為曲面的主方向。記曲面的主曲率為a、c(a>c)，高斯曲率為K，平均曲率為H，即標(biāo)架運(yùn)動(dòng)方程為

其中ω1,ω2為e1,e2的對(duì)偶1-形式，則ω13=aω1，ω23=cω2，ω12為曲面的聯(lián)絡(luò)形式，設(shè)ω12=hω1+kω2。上述1- 形式滿足結(jié)構(gòu)方程

由Codazzi方程，

[da-(a-c)hω2]∧ω1=0,

[da-(a-c)kω1]∧ω2=0.

不妨設(shè)

2dH=d(a+c)=(a-c)(uω1+vω2),

(1)

則

因此，

dlog (a-c)=(u-2k)ω1-(v-2h)ω2,

(2)

定義1-形式

θ1=uω1+vω2,θ2=-vω1+uω2,

α1=uω1-vω2,α2=vω1+uω2.

定義*算子

*ω1=ω2, *ω2=-ω1,

則

*θ1=θ2, *θ2=-θ1,

*α1=α2, *α2=-α1.

于是式(1)和式(2)可以改寫為

2dH=(a-c)θ1,

dlog (a-c)=α1+2*ω12.

由于dH≠0，定義度量

其中ds2為M上的誘導(dǎo)度量。

Chern在文獻(xiàn)[2]中證明曲面M為Bonnet曲面的充要條件為

定理1.1[5]若M為Bonnet曲面，則

1)度量

的Gauss曲率為0，

Chen和Peng在文獻(xiàn)[5]中指出可選取M上的等溫坐標(biāo)(u,v)，有

此時(shí)H僅為u的函數(shù)，即H=H(u)。這樣就得到如下各式：

(3)

(4)

Δ0lnF=F2.

(5)

式(5)可改寫為

(lnF)″=F2.

(6)

這樣就得到關(guān)于Bonnet曲面Gauss曲率滿足的微分方程

在等溫坐標(biāo)下，曲面的第一基本型為

ds2=e2φ(du2+dv2),

(7)

經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算可得

(8)

其中協(xié)變導(dǎo)數(shù)hijk(i,j,k=1,2)由

確定。直接計(jì)算h112,h121,h212,h221并代入式(8)，得到

(9)

事實(shí)上可簡(jiǎn)單驗(yàn)證式(9)的可積性條件即為式(6) 。解式(6)，得到

(10)

這里t,λ(λ≠0)為任意常數(shù)。將式(10)代入式(9)中，有

其中s為任意常數(shù)。再由式(7)，K=-φ″e(cuò)-2φ得到

(11)

這樣就得到Bonnet曲面的平均曲率H所滿足的微分方程。反之，由文獻(xiàn)[7]也可以利用式(11)和式(9)的解構(gòu)造滿足條件的Bonnet曲面。這樣就得到如下定理：

定理1.2[5-7]若M為Bonnet曲面, 則存在等溫坐標(biāo)(u,v)，使得M的平均曲率H僅為u的函數(shù)，且M的Gauss 曲率K和平均曲率H滿足方程組

(12)

其中

λ,t為常數(shù)，且λ≠0。

2 定理A的證明

本節(jié)將在Bonnet曲面M的Gauss曲率K為常值時(shí)，對(duì)定理1.2中的方程組進(jìn)行求解，得到若K為常值且K不為0，式(12)無(wú)解。

首先設(shè)K>0，由

令

(13)

其中β為關(guān)于u的函數(shù)。由式(13)，

(14)

于是

(15)

對(duì)式(15)左邊積分有

(16)

設(shè)K<0，由

此時(shí)令

(17)

(18)

進(jìn)一步，

(19)

由式(18)和式(19)，

進(jìn)一步，

(20)

現(xiàn)在將利用式(14)和式(16)以及式(18)和式(20)討論 Gauss曲率K的表達(dá)式。

(21)

注意到式(12)中二式又可以寫成

(22)

將式(21)中的結(jié)果代入到式(22)中得到

這樣就得到了Gauss曲率K的表達(dá)式，這與假設(shè)K為常值矛盾。

(23)

將式(23)中的結(jié)果代入到式(22)中有

這與假設(shè)K為常值矛盾。

(24)

將式(24)中的結(jié)果代入到式(22)中得

這與K為常值矛盾。

(25)

將式(25)中的結(jié)果代入到式(22)中有

這與K為常數(shù)矛盾。

(26)

將式(26)中的結(jié)果代入到式(22)中有

這與K為常值矛盾。

(27)

將式(27)中的結(jié)果代入到式(22)中有

與K為常值矛盾。

綜上可知，若Bonnet曲面Gauss曲率K為常值，則只能為0。這樣就完成了定理A的證明。

現(xiàn)在考慮零Gauss曲率Bonnet曲面的平均曲率，此時(shí)式(12) 為

(28)

(29)

由式(28)有

(lnH2)′=2F.

(30)

H=m(u+t)±1.

m≠0為常數(shù)，H不能使式(29)式成立。

m≠0為常數(shù)，H不能使式(29)式成立。

綜上所述，得到如下結(jié)論：

M為Bonnet曲面，則存在等溫坐標(biāo)(u,v)使M的Gauss曲率K和平均曲率H均為u的函數(shù)，M上的度量有如下形式：

并且K,H滿足方程

其中