變式數(shù)學(xué)，讓思維更活躍

張麗

所謂變式數(shù)學(xué)，指的是將數(shù)學(xué)知識(shí)有目的地進(jìn)行包裝處理，轉(zhuǎn)變教材中的命題角度，使學(xué)生從多個(gè)層面深化對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解。在變式數(shù)學(xué)應(yīng)用時(shí)，應(yīng)該注重遵循目的性、引導(dǎo)性、參與性、適應(yīng)性以及適時(shí)性五個(gè)方面的原則。變式數(shù)學(xué)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用能夠有效地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

一、借助變式數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)化歸思想

所謂化歸，指的就是將不明確、不了解的問題以簡化、轉(zhuǎn)化的方式轉(zhuǎn)成已掌握的、已明確的問題。通過對(duì)已掌握、已明確問題的分析解決，學(xué)生對(duì)不了解、不明確的問題有了新的理解并嘗試解決。變式數(shù)學(xué)的應(yīng)用，就是對(duì)化歸思想的延伸和拓展。要想有效地實(shí)現(xiàn)對(duì)變式數(shù)學(xué)的高效應(yīng)用，化歸思想發(fā)揮著重要作用。

其中，換元法是化歸思想最直接的、重要的體現(xiàn)。例如，在解答二元一次方程時(shí)，在教師的引導(dǎo)之下，學(xué)生對(duì)于換元法會(huì)有初步的了解。學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)換元法就是將二元一次方程中的對(duì)應(yīng)區(qū)域設(shè)置成字母，從而展開組合變化，在確保計(jì)算準(zhǔn)確性的同時(shí)得出答案。在換元法的應(yīng)用過程中，要確保邏輯性和準(zhǔn)確性。如題目“方程[x2-2x+9=4x2-2x+5]，那么[3x2-2x+5-7=____]”。

在解答這道題目的過程中，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用換元法加以解決，即首先假設(shè)[x2-2x+5=a]，之后將[x2-2x+9]轉(zhuǎn)變成為[x2-2x+5+4]，此時(shí)也就可以將[x2-2x+9=4x2-2x+5]使用換元法變成a2 +4=4a，那么a=2，也就可以直接得出[x2-2x+5=a=2]，代入[3x2-2x+5-7]則是3a－7，因此最后得出結(jié)果為-1。其他類似的知識(shí)點(diǎn)也可以通過換元法解答出來。

變式數(shù)學(xué)在初中數(shù)學(xué)課堂中的主要應(yīng)用目的在于使學(xué)生更加靈活深刻地理解數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容，從而培養(yǎng)其獨(dú)立思考的能力。因此，教師在應(yīng)用變式數(shù)學(xué)時(shí)，也就應(yīng)該明確其目的——基于變式思維角度和變更問題情境之上，圍繞數(shù)學(xué)問題核心知識(shí)點(diǎn)，設(shè)計(jì)出由簡單到復(fù)雜等循序漸進(jìn)的數(shù)學(xué)問題，使學(xué)生通過解答這些數(shù)學(xué)問題實(shí)現(xiàn)自身思維的不斷發(fā)展。變式數(shù)學(xué)當(dāng)中的“式”，指的是問題的表現(xiàn)形式，就是基于數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際學(xué)情，以目的性為原則營造出良好的課堂教學(xué)氛圍和情境。教師在運(yùn)用變式數(shù)學(xué)過程中，也只有遵循目的性原則，才能夠?qū)?shù)學(xué)教材中的一般知識(shí)點(diǎn)和核心知識(shí)點(diǎn)梳理出來，并對(duì)核心知識(shí)點(diǎn)展開進(jìn)一步的拓展延伸。

可以說，變式數(shù)學(xué)的根本和核心就在于化歸。教師在開展變式數(shù)學(xué)過程中，應(yīng)該注意化歸的方式和實(shí)現(xiàn)途徑。一般來說，在正常數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)過程中，如果僅僅將數(shù)學(xué)問題變化一次，學(xué)生理解學(xué)習(xí)起來還是存在一定難度的。教師應(yīng)該學(xué)會(huì)將數(shù)學(xué)問題變化多次，并且在每一次的變化之后，結(jié)合當(dāng)前學(xué)生已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)和數(shù)學(xué)結(jié)論加以講解，把控?cái)?shù)學(xué)變式的方向和角度，將學(xué)生不理解、不確定的數(shù)學(xué)問題與學(xué)生已理解、已確定的數(shù)學(xué)問題高效地結(jié)合起來，加以深入分析探究，從而引導(dǎo)學(xué)生逐步發(fā)現(xiàn)其中的關(guān)聯(lián)點(diǎn)和不同內(nèi)容，進(jìn)一步明確核心知識(shí)點(diǎn)，且將其核心知識(shí)點(diǎn)作為化歸的方向。通過這種方式，促進(jìn)了學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)的把握，也發(fā)展了學(xué)生的化歸思想。

二、借助變式數(shù)學(xué)，訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維

初中數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)要從數(shù)學(xué)問題的表面逐步深入核心知識(shí)，之后再將核心知識(shí)點(diǎn)抽象概括出來。變式數(shù)學(xué)應(yīng)用和實(shí)施過程與抽象思維在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用有著極大的相似性。教師在教學(xué)過程中可以將數(shù)學(xué)問題進(jìn)行抽象處理，從而洞悉數(shù)學(xué)問題背后所蘊(yùn)含的核心知識(shí)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)指導(dǎo)式的變式教學(xué)。在數(shù)學(xué)變式教學(xué)過程中，學(xué)生自然而然也就可以提升自身抽象思維能力。

例如，對(duì)于初中階段的學(xué)生而言，函數(shù)概念的理解過程相當(dāng)困難。此時(shí)，教師應(yīng)該運(yùn)用形象具體的數(shù)學(xué)案例實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生的引導(dǎo)，使學(xué)生對(duì)于函數(shù)概念的理解更加主動(dòng)積極，且在這個(gè)過程中逐步引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地應(yīng)用數(shù)學(xué)思維展開對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的探析，抽象思維方法的應(yīng)用就是一種不錯(cuò)的教學(xué)方式。在教學(xué)一次函數(shù)時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生比較一次函數(shù)和二次函數(shù)的差異性和相似性，盡管兩者之間具有較大的不同，但是其本質(zhì)還是具有一定的相似性的，即都是自變量對(duì)應(yīng)一個(gè)應(yīng)變量。教師需要通過對(duì)數(shù)學(xué)變式的教學(xué)逐步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維能力。

如，解方程組“1/a+1/b=1/12，14/a+9/b=1”。假設(shè)1/a=x，1/b=y，原方程組可以變?yōu)閤+y=1/12，14x+9y=1，此時(shí)可以得出x=1/20，y=1/30，又因?yàn)?/a=1/20，1/b=1/30，因此得出a=20，b=30，因此原方程組的解是a=20，b=30。通過以上方式的變式教學(xué)，能夠?qū)⒃緩?fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡易化、清晰化，達(dá)到化繁為簡、化難為易的目的，也就充分地展現(xiàn)出數(shù)學(xué)思維的變通性，對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)探索能力和思維能力的發(fā)展都具有重要意義。

此外，在變式數(shù)學(xué)應(yīng)用的過程中，教師要注重遵循引導(dǎo)性和參與性原則。引導(dǎo)性原則能夠讓教師在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問題時(shí)延伸出一系列具有啟發(fā)性的數(shù)學(xué)問題，使學(xué)生通過難度逐漸加深的問題思考探究隱藏在數(shù)學(xué)問題中的核心知識(shí)點(diǎn)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)核心知識(shí)點(diǎn)的全面掌握。參與性原則是指教師在運(yùn)用變式數(shù)學(xué)的過程中，要充分考慮學(xué)生的參與程度和積極性，確保變式數(shù)學(xué)教學(xué)效率的提升。因此，在應(yīng)用變式數(shù)學(xué)時(shí)，教師應(yīng)該給予學(xué)生足夠的思考、質(zhì)疑、分析、討論的時(shí)間，且促進(jìn)學(xué)生之間的相互探討和交流，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中更加主動(dòng)地展開對(duì)變式數(shù)學(xué)知識(shí)的了解，把握數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)的多種形式和呈現(xiàn)方法。

簡而言之，變式數(shù)學(xué)和抽象思維組合的主要目的在于能夠讓學(xué)生在應(yīng)用數(shù)學(xué)變式的過程中不斷總結(jié)出其中蘊(yùn)含的抽象數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，并加深印象?？梢哉f，變式數(shù)學(xué)能夠使學(xué)生對(duì)于抽象數(shù)學(xué)問題的思考更加深入，這對(duì)于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維具有重要意義。

三、應(yīng)用變式數(shù)學(xué)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)散思維

變式數(shù)學(xué)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，能夠?qū)⑾鄬?duì)枯燥乏味的數(shù)學(xué)知識(shí)以一種更為生動(dòng)有趣的形式展現(xiàn)在學(xué)生眼前，打破傳統(tǒng)思維的束縛，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度和思維展開對(duì)數(shù)學(xué)問題的思考，且逐漸找出解決問題的方法。應(yīng)用變式數(shù)學(xué)，能夠幫助學(xué)生提高自身的創(chuàng)新思維。而創(chuàng)新思維最為核心的就是發(fā)散思維。所謂發(fā)散思維，指的是從一點(diǎn)逐步發(fā)散到多點(diǎn)的思維拓展，發(fā)散思維的運(yùn)用會(huì)因?yàn)橥獠凯h(huán)境和角度的不同而產(chǎn)生不同的結(jié)果。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，發(fā)散思維主要表現(xiàn)為多方式解題，也就是針對(duì)同一道題目有多種不同的解答方法。這不僅可以幫助學(xué)生掌握多種解題方法 ，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)更為靈活高效的應(yīng)用，而且可以提升學(xué)生思維的靈活性。

例如，證明三角形相似性主要有三種方法，分別是角角邊、邊邊邊以及邊角邊。教師可以向?qū)W生講述一種證明方法，即從最簡單的邊邊邊展開。在講述過程中，教師要注意證明過程，之后逐漸發(fā)散到借助其他兩種方法證明。

當(dāng)然，在運(yùn)用變式數(shù)學(xué)展開教學(xué)過程中，教師也應(yīng)遵循適度性和適時(shí)性兩個(gè)原則。所謂適度性，指的就是相比較于傳統(tǒng)的教學(xué)方式而言，變式數(shù)學(xué)的教學(xué)對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有時(shí)具有更大的難度。因?yàn)?，變式?shù)學(xué)應(yīng)用時(shí)會(huì)提升問題的深度和廣度，往往會(huì)使學(xué)生感覺難以下手。因此，在應(yīng)用變式數(shù)學(xué)時(shí)，教師有必要基于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的理解程度和學(xué)習(xí)能力，把握變式數(shù)學(xué)的難度，確保難度的適度性，從而幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)掌握數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)。適時(shí)性原則是指變式數(shù)學(xué)在應(yīng)用中具有適時(shí)這一特點(diǎn)，教師應(yīng)該在學(xué)生思維深度和核心知識(shí)的掌握程度之上加入變式題，使學(xué)生的學(xué)習(xí)更加流暢舒適，從而學(xué)習(xí)到更多的數(shù)學(xué)知識(shí)。教師在運(yùn)用變式數(shù)學(xué)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維時(shí)，要注重引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)自主地轉(zhuǎn)變思維和方法，實(shí)現(xiàn)多角度解題，并借助類比、聯(lián)想多種方式展開對(duì)數(shù)學(xué)問題的深度探索，在掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)解法之上學(xué)習(xí)其他技巧性更高的解題方法。

變式數(shù)學(xué)應(yīng)用的根本目的在于促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的理解和把握，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，引導(dǎo)學(xué)生通過運(yùn)用化歸思想、抽象思維以及發(fā)散思維逐步解決初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的問題，使學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)不僅在理論知識(shí)層面，更要進(jìn)入到思維層面，真正地掌握數(shù)學(xué)思維和方法。變式數(shù)學(xué)應(yīng)用中，還應(yīng)該注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升，這對(duì)于學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和自身的發(fā)展而言都具有重要的作用和意義。

在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中應(yīng)用變式數(shù)學(xué)，教師應(yīng)該遵循變式數(shù)學(xué)應(yīng)用原則，在此基礎(chǔ)上發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，幫助學(xué)生從不同的角度和層面展開對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的不斷提升。

作者單位? ?陜西省寶雞市鳳翔區(qū)紙坊中學(xué)