基于Alpha-stable的粒子群算法變異策略研究及氣動(dòng)優(yōu)化應(yīng)用

樊華羽,李典,郝海兵,梁益華

(中國航空工業(yè)集團(tuán)西安航空計(jì)算技術(shù)研究所,陜西 西安 710065)

航空科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展對(duì)飛行器氣動(dòng)力優(yōu)化設(shè)計(jì)技術(shù)提出了更高的需求。借助各種優(yōu)化算法，可以實(shí)現(xiàn)翼型、翼身組合體甚至全機(jī)減阻降噪設(shè)計(jì)與分析，為各種新型的飛行器研制提供支撐。

氣動(dòng)力優(yōu)化設(shè)計(jì)[1]的關(guān)鍵技術(shù)之一就是優(yōu)化算法。根據(jù)優(yōu)化機(jī)制和行為的不同，這些優(yōu)化算法可以分為兩類：經(jīng)典優(yōu)化算法和智能優(yōu)化算法。相比之下，以粒子群算法(particle swarm optimization,PSO)[2]和差分演化算法(differential evolution algorithm,DE)[3]為代表的智能優(yōu)化算法由于良好的并行效率、全局性以及魯棒性，得到了更多的關(guān)注。其中，PSO算法簡(jiǎn)潔易行、參數(shù)少、優(yōu)化能力強(qiáng)，是氣動(dòng)優(yōu)化領(lǐng)域廣泛使用的算法之一。然而，該算法依然存在固有的缺陷，在進(jìn)化后期，算法側(cè)重于開采能力，容易陷入局部極值點(diǎn)，收斂速度慢，精度較差。為此，研究人員進(jìn)行了一系列的研究工作并相繼提出了多個(gè)改進(jìn)的PSO算法。文獻(xiàn)[4]針對(duì)PSO算法容易陷入早熟的缺點(diǎn)，對(duì)PSO算法引入田口算法思想，進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，取得較好效果，但其是對(duì)單波束和半功率寬度進(jìn)行優(yōu)化，而沒有用在多波束賦形方向，且該算法優(yōu)化目標(biāo)數(shù)較少。魏法等[5]從自適應(yīng)操作粒子結(jié)構(gòu)以及采用反梯度加權(quán)的方式平衡粒子群優(yōu)化算法的全局搜索與局部搜索能力，通過對(duì)陣列相位、幅度優(yōu)化實(shí)現(xiàn)低旁瓣、窄波束寬度和高增益效果。明振興等[6]通過粒子群算法中的慣性權(quán)重線性化，使用余弦函數(shù)改進(jìn)算法中的學(xué)習(xí)因子，使算法能夠兼顧全局與局部尋優(yōu)性能，并將改進(jìn)后的粒子群算法應(yīng)用于LED光源陣列的優(yōu)化。周飛紅[7]對(duì)粒子群算法引入爆炸因子，讓粒子群能夠通過爆炸的方式增強(qiáng)搜索能力，有利于算法跳出局部最優(yōu)解，提高算法的搜索能力。李真等[8]將粒子群優(yōu)化算法結(jié)合灰狼算法，根據(jù)自然界中的優(yōu)勝劣汰法則，對(duì)每代種群中的最差粒子進(jìn)行進(jìn)化，提高粒子群算法的優(yōu)化性能。綜上所述，無論何種改進(jìn)的PSO算法，出發(fā)點(diǎn)都是如何在提高算法收斂速度的同時(shí)提高全局收斂性，避免算法陷入局部最優(yōu)，但是這些算法的調(diào)參方法和應(yīng)用能力各有優(yōu)劣。

本文針對(duì)飛行器氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中廣泛使用的PSO算法的不足之處開展改進(jìn)研究。在綜合分析各種改進(jìn)算法的基礎(chǔ)上，提出了一種基于Alpha-stable動(dòng)態(tài)變異的新型粒子群優(yōu)化算法，使用多個(gè)測(cè)試函數(shù)對(duì)該算法的低、中、高維設(shè)計(jì)變量下的尋優(yōu)能力進(jìn)行了分析，最終將其應(yīng)用到實(shí)際的氣動(dòng)優(yōu)化領(lǐng)域，分析研究了RAE2822二維翼型的減阻設(shè)計(jì)。

1 基于Alpha-stable變異的粒子群算法

在粒子群優(yōu)化算法中，粒子通過(1)～(2)式來更新自己的位置與速度。

(1)

(2)

式中:i=1,2,…,N;j=1,2,…,n;x表示粒子所在位置;v表示粒子速度；ω為慣性權(quán)重因子，是一個(gè)在[0.4,0.9]之間動(dòng)態(tài)變化的參數(shù)，它決定了粒子繼承當(dāng)前速度的程度，常見的動(dòng)態(tài)變化策略主要有線性遞減與線性微分等；c1,c2為學(xué)習(xí)因子，主要用來調(diào)節(jié)粒子群步長的參數(shù)；r1,r2為(0,1)之間的隨機(jī)數(shù)；下標(biāo)i和j表示第i個(gè)粒子和第j維；上標(biāo)t為進(jìn)化代數(shù)。

1.1 Alpha-stable分布的概率密度函數(shù)

概率密度函數(shù)是常用且極為重要的表示函數(shù)分布的工具，圖像中一般表現(xiàn)為尾端趨近于冪律分布，頭端偏離冪律分布。由于Alpha-stable分布的概率密度函數(shù)是存在且連續(xù)的，所以可以用Alpha-stable分布的特征函數(shù)的連續(xù)傅里葉變換來定義

(3)

式中:sign(t)是t的符號(hào);φ表示為

(4)

在Alpha stable分布中有3個(gè)特例:

1) 當(dāng)α=2,β=0時(shí)，表示高斯分布，其概率密度函數(shù)為

2) 當(dāng)α=1,β=0時(shí)表示柯西分布，其概率密度函數(shù)為

3) 當(dāng)α=0.5,β=1時(shí)表示Levy分布，其概率密度函數(shù)為

圖1 高斯分布、柯西分布和Levy分布的概率密度函數(shù)圖

除了高斯分布、柯西分布分布Levy分布以外，一般的穩(wěn)定密度函數(shù)沒有已知的封閉表達(dá)式，且其他任何穩(wěn)定分布的密度函數(shù)都不太可能有封閉表達(dá)式。Zolotarev的研究表明[9]，僅在極少數(shù)情況下，可以用某些特殊函數(shù)表示。

將Alpha-stable分布X∈Sα(0,1,0)在α∈(0,2]內(nèi)選擇6個(gè)不同的α得到如圖2所示的變化圖。此時(shí)β=0，密度函數(shù)呈現(xiàn)關(guān)于0的對(duì)稱分布。

在Alpha-stable分布中，圖2a)呈現(xiàn)出鐘型的對(duì)稱穩(wěn)定分布，可以看出當(dāng)α減小時(shí)，函數(shù)圖形會(huì)呈現(xiàn)3種變化：峰值變高、峰值兩側(cè)的區(qū)域變低、尾部變重。在圖2b)中可以了解當(dāng)α減小時(shí)尾部概率是如何增加的。通過改變穩(wěn)定性系數(shù)α的大小，就可以改變成不同的Alpha-stable分布。

圖2 函數(shù)圖

1.2 穩(wěn)定性系數(shù)α的變化策略與分析

由于粒子群算法容易陷入局部最優(yōu)，通常在粒子群算法中加入一個(gè)確定的變異因子以避免過早陷入局部最優(yōu)。本文選擇通過Alpha-stable分布產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)對(duì)粒子群算法中的個(gè)體進(jìn)行變異操作。不同的穩(wěn)定性系數(shù)α的變化過程決定不同的變異策略，本節(jié)通過測(cè)試函數(shù)來驗(yàn)證3種不同的變異策略下ASPSO優(yōu)化算法的尋優(yōu)能力。設(shè)置1為前期加速的上凸二階函數(shù)型變異策略，設(shè)置2為無加速一階函數(shù)型變異策略，設(shè)置3為后期加速的下凹二階函數(shù)型變異策略，3種不同的變異策略趨勢(shì)見圖3。

圖3 不同設(shè)置的Alpha變化策略

通過7種標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)在30維下的函數(shù)測(cè)試結(jié)果來比較哪種變異策略更具有優(yōu)勢(shì)。算法的種群規(guī)模均取100。慣性權(quán)重在[0.4,0.9]之間隨代數(shù)線性遞減。穩(wěn)定性系數(shù)α的取值從1增加到2。所有算法的加速常數(shù)c1=c2=15。分別用3種算法搜索運(yùn)行30次，每次運(yùn)行迭代1 000次，統(tǒng)計(jì)30次優(yōu)化的平均目標(biāo)函數(shù)值和搜索到的最小目標(biāo)函數(shù)值。

表1 不同變化策略下的測(cè)試函數(shù)結(jié)果對(duì)比

通過表1可以看出3種設(shè)置下的Alpha變化策略對(duì)粒子群優(yōu)化算法的影響。一開始都是使用較小的α值，此時(shí)的變異方式為柯西變異，此種變異方式能夠幫助提高粒子群優(yōu)化算法的全局搜索能力，隨著α值逐漸增大到2，變異方式也從柯西變異變化為傳統(tǒng)的高斯變異，此種變異方式能夠提高算法末期的搜索精度。那么表1中可以明確看出在設(shè)置1與設(shè)置2下，由于α值的增速過大，Alpha-stable變異過快地從柯西變異過渡為高斯變異，即過快地從尋找全局最優(yōu)轉(zhuǎn)換為局部尋優(yōu)，不能較為優(yōu)秀地幫助粒子群完成優(yōu)化任務(wù)?？偟膩碚f，3種不同的設(shè)置方式下都能夠得到較優(yōu)秀的測(cè)試結(jié)果。其中測(cè)試結(jié)果差異較大的函數(shù)為Rosenbrock函數(shù)和Griewank函數(shù)。Rosenbrock函數(shù)是病態(tài)的，在極值周圍梯度極小。Griewank函數(shù)是典型的非線性多模態(tài)函數(shù)，具有大量的局部極小值點(diǎn)。正是因?yàn)檫@2個(gè)函數(shù)本身的特點(diǎn)，對(duì)較為激進(jìn)的變異策略較敏感，使得設(shè)置1和設(shè)置2情況下的測(cè)試結(jié)果沒有設(shè)置3的數(shù)值優(yōu)秀。設(shè)置3的變異策略在開始階段使用較小的α值，采用變異能力較強(qiáng)的柯西變異增強(qiáng)了粒子群算法在初始階段的的全局搜索能力，避免陷入局部最優(yōu)；隨著算法進(jìn)程α值逐漸增大，最終增大為2，此時(shí)的變異方式為傳統(tǒng)的高斯變異，提升算法末期的局部搜索能力，增強(qiáng)算法的搜索精度。通過動(dòng)態(tài)調(diào)整Alpha-stable函數(shù)的穩(wěn)定性系數(shù)α，完成變異范圍以及幅度的變化，從而使優(yōu)化算法能在搜索最優(yōu)解時(shí)具有更好的精度以及全局搜索能力。最終選擇設(shè)置3作為本文優(yōu)化算法中的變異策略，穩(wěn)定性系數(shù)α的變化過程見圖4，本文命名在此變異策略下的粒子群算法為基于Alpha-stable分布的粒子群算法(ASPSO)。

圖4 α值的變化過程

2 算法驗(yàn)證

2.1 低維優(yōu)化問題尋優(yōu)能力檢驗(yàn)

在低維優(yōu)化問題的尋優(yōu)能力檢驗(yàn)中，3個(gè)優(yōu)化算法的參數(shù)設(shè)定為：設(shè)計(jì)變量為30維，種群規(guī)模均取為100?；綪SO算法的慣性權(quán)重在[0.4,0.9]之間隨代數(shù)線性遞減。ASPSO算法的穩(wěn)定性系數(shù)α的取值從1增加到2，變異策略為1.2節(jié)中所驗(yàn)證的設(shè)置3下凹型曲線。所有算法的加速常數(shù)c1=c2=1.5。分別用3種算法搜索運(yùn)行30次，每次運(yùn)行迭代1 000次，統(tǒng)計(jì)30次優(yōu)化的平均目標(biāo)函數(shù)值和搜索到的最小目標(biāo)函數(shù)值。

表2顯示了在低維優(yōu)化問題上7個(gè)測(cè)試函數(shù)的檢驗(yàn)結(jié)果?？梢钥闯?，不論是這7個(gè)測(cè)試結(jié)果的均值還是標(biāo)準(zhǔn)差，本文建立的ASPSO算法都是要優(yōu)于其他2種算法。為了更突出地顯示ASPSO優(yōu)化算法的優(yōu)化性能，在圖5中，顯示了3種優(yōu)化算法在30維下的Rastrigin函數(shù)全局最優(yōu)值收斂曲線。可以很明顯地看出ASPSO算法甚至能在大量正弦拐點(diǎn)排列很深的局部最優(yōu)點(diǎn)前提下直接搜索到最優(yōu)解0，顯示了其具有的優(yōu)化性能。綜合來說，在低維優(yōu)化問題中，ASPSO優(yōu)化算法優(yōu)于DE算法以及PSO優(yōu)化算法。

表2 低維優(yōu)化問題計(jì)算效果對(duì)比

圖5 3種算法在Rastrigin函數(shù)的低維優(yōu)化全局收斂圖

2.2 中、高維優(yōu)化問題尋優(yōu)能力檢驗(yàn)

將設(shè)計(jì)變量分別擴(kuò)展到60和100維，其他參數(shù)不變，測(cè)試3種算法在中、高維問題中的尋優(yōu)能力。具體參數(shù)設(shè)置跟低維優(yōu)化問題時(shí)相同，每種算法進(jìn)行30次優(yōu)化，每次進(jìn)行1 000次迭代，最后統(tǒng)計(jì)得到這30次優(yōu)化結(jié)果的平均目標(biāo)函數(shù)值與最小函數(shù)值。

Rastrigin函數(shù)60維設(shè)計(jì)變量?jī)?yōu)化問題的全局收斂曲線見圖6。7個(gè)函數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差結(jié)果見表3。Rosenbrock函數(shù)的100維高維問題的收斂曲線見圖7，7個(gè)函數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差值統(tǒng)計(jì)結(jié)果見表4?？梢钥闯鲭S著維數(shù)的增加，3種算法的尋優(yōu)精度都不同程度地降低，尤其是在高維優(yōu)化問題中，尋優(yōu)精度下降得很厲害。但是相比來看，在調(diào)用目標(biāo)函數(shù)次數(shù)相同的情況下，ASPSO在平均值和標(biāo)準(zhǔn)差上都反映出了更高的精度，收斂效果更好，表明了其對(duì)于中、高維問題的較好適應(yīng)能力。

圖6 3種算法在Rastrigin函數(shù)的中維優(yōu)化全局收斂圖

圖7 3種算法在Rosenbrock函數(shù)的高維優(yōu)化全局收斂圖

表3 中維優(yōu)化問題計(jì)算結(jié)果對(duì)比

表4 高維優(yōu)化問題計(jì)算效果對(duì)比

綜上來看，無論是對(duì)低維還是中高維問題，相比基本PSO算法和DE算法，ASPSO算法都能夠以更快的收斂速度、穩(wěn)定性和魯棒性獲得單峰及多峰函數(shù)更高精度的最優(yōu)解。同時(shí)還能夠發(fā)現(xiàn)，以較為難以得到結(jié)果的Rosenbrock函數(shù)為例，在處理同一個(gè)函數(shù)不同維度的最優(yōu)問題時(shí)，DE算法的性能相對(duì)較差，都無法尋優(yōu)。而對(duì)比PSO與ASPSO算法，可以看出，中高維尋優(yōu)中PSO算法有明顯的性能下降，而ASPSO則體現(xiàn)了更為優(yōu)秀的魯棒性。所以相比其他2種算法，ASPSO是一種更加穩(wěn)定且高效的全局優(yōu)化算法。

2.3 多種PSO算法性能對(duì)比

為了能夠更為全面地驗(yàn)證ASPSO優(yōu)化算法的性能與優(yōu)勢(shì)，本節(jié)將選擇多個(gè)先進(jìn)PSO改進(jìn)算法與ASPSO優(yōu)化算法進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。本節(jié)選取的算法有：PSO-DAC(PSO based on dynamic acceleration coefficients)[10]、NDPSO(a normal distribution decay inertial weight PSO)[11]、EXPPSO(exponential decay weight PSO)[12]、SCVPSO(self-conclusion and self-adaptive variation PSD)[13]。PSO-DAC算法是基于動(dòng)態(tài)加速因子的改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法，通過引入動(dòng)態(tài)的加速因子，改善粒子群算法的收斂速度及精度。NDPSO算法以正態(tài)分布曲線作為慣性權(quán)重的衰減策略曲線，引入控制因子對(duì)粒子的位置進(jìn)行改善，使NDPSO算法能夠在優(yōu)化過程中很好地平衡全局搜索與局部搜索能力。EXPPSO算法在速度更新方程中引入約束因子，并對(duì)慣性系數(shù)采用指數(shù)衰減模式，使算法能夠兼顧優(yōu)秀的全局以及局部搜索能力。SCVPSO算法采用動(dòng)態(tài)慣性權(quán)重、反向搜索以及引入新的參數(shù)SCR(self-conclusion rate)等方法綜合性地提高粒子群的優(yōu)化性能。本驗(yàn)證環(huán)節(jié)的算法參數(shù)設(shè)置為：設(shè)計(jì)變量為30維，種群規(guī)模均取為100。非特殊算法的慣性權(quán)重在[0.4,0.9]之間隨代數(shù)線性遞減。其余的采用其特有的慣性權(quán)重遞減方式。所有算法的加速常數(shù)及ASPSO算法中的穩(wěn)定性系數(shù)變化策略保持不變。為了全面驗(yàn)證算法的性能，驗(yàn)證算法選擇單峰測(cè)試函數(shù)與多峰測(cè)試函數(shù)各3個(gè)。測(cè)試結(jié)果見表5?？梢钥闯鱿啾绕渌倪M(jìn)型PSO算法，ASPSO算法具有更為優(yōu)秀的性能。

表5 多種改進(jìn)PSO算法性能對(duì)比

3 優(yōu)化算例分析

3.1 優(yōu)化模型及參數(shù)化方法

為了更好地分析ASPSO算法在實(shí)際應(yīng)用中的優(yōu)化效果，選擇對(duì)RAE2822翼型進(jìn)行工程應(yīng)用減阻優(yōu)化。以其在Ma=0.73,α=2.79°,Re=6.5×106時(shí)的阻力最小為目標(biāo)進(jìn)行氣動(dòng)外形優(yōu)化設(shè)計(jì)[14]，約束條件是優(yōu)化后的翼型升力系數(shù)不小于原始翼型的升力系數(shù)值，并且翼型的最大厚度不減小，同時(shí)俯仰力矩不惡化。綜上，可得到優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型：

式中：X為設(shè)計(jì)變量；Cd表示翼型的阻力系數(shù);Cm表示翼型的力矩系數(shù);Cl表示翼型的升力系數(shù);cmax代表翼型的最大厚度,帶上標(biāo)*的符號(hào)表示原始翼型的氣動(dòng)數(shù)據(jù)。

針對(duì)RAE2822翼型，本節(jié)選用的是結(jié)合六階Bernstein多項(xiàng)式型函數(shù)的CST方法作為翼型參數(shù)化方法。對(duì)翼型上下面各取6個(gè)(共12個(gè))設(shè)計(jì)參數(shù)作為本次優(yōu)化過程中的設(shè)計(jì)變量。

3.2 優(yōu)化結(jié)果及分析

采用基本PSO算法與ASPSO算法2種方法對(duì)單點(diǎn)跨聲速優(yōu)化設(shè)計(jì)進(jìn)行優(yōu)化，比較2種方法的優(yōu)化效果。2種優(yōu)化算法的種群大小均為25，迭代步數(shù)為39，慣性權(quán)重w在[0.4,0.9]之間隨代數(shù)線性遞減。加速系數(shù)c1=c2=15。穩(wěn)定性系數(shù)α變化范圍為1.0至2.0。

圖8 減阻優(yōu)化過程 圖9 優(yōu)化前后翼型剖面形狀對(duì)比圖10 優(yōu)化前后壓力分布對(duì)比

圖8顯示了2種優(yōu)化算法的減阻優(yōu)化過程，可以很明顯看出ASPSO的優(yōu)化程度與效率都優(yōu)于基本PSO算法，ASPSO算法在第10次迭代時(shí)就能接近最終優(yōu)化結(jié)果附近。在優(yōu)化結(jié)果上來看，相比PSO算法，ASPSO算法能在保證優(yōu)化程度上擁有更快的收斂速度。表6展示了2種優(yōu)化算法的優(yōu)化結(jié)果與原始翼型的氣動(dòng)參數(shù)對(duì)比，結(jié)果表明2種優(yōu)化算法已滿足基本的優(yōu)化需求。圖9與圖10為優(yōu)化前后的翼型的剖面形狀以及壓力分布。結(jié)合圖9與圖10可知，機(jī)翼的最大厚度后移，同時(shí)上表面翼面頂點(diǎn)的移動(dòng)也使得優(yōu)化后的翼型上翼面更加飽滿，翼面激波有明顯減緩，優(yōu)化后的上翼面壓力分布明顯比原始翼型更加柔和。綜合來看，針對(duì)RAE2822跨聲速翼型的減阻優(yōu)化，其結(jié)果顯示波阻顯著降低，升阻比有明顯提高。相比于基本PSO優(yōu)化算法，ASPSO算法有更優(yōu)秀的適應(yīng)性。在同樣的種群數(shù)量和優(yōu)化代數(shù)下，ASPSO算法具有更快的收斂速度以及更強(qiáng)的全局優(yōu)化能力，優(yōu)化結(jié)果也更理想。

表6 優(yōu)化前后的氣動(dòng)參數(shù)對(duì)比

4 結(jié) 論

本文針對(duì)粒子群算法容易陷入局部最優(yōu)等缺點(diǎn)，通過Alpha stable分布產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)對(duì)其進(jìn)行變異操作，以實(shí)現(xiàn)粒子群優(yōu)化算法優(yōu)化性能的提高。通過測(cè)試函數(shù)驗(yàn)證了3種不同的α值變異策略對(duì)于粒子群優(yōu)化算法的影響。選擇了其中較優(yōu)的變異策略參與進(jìn)粒子群優(yōu)化算法當(dāng)中，使得算法在優(yōu)化初始階段能夠更好地?cái)[脫局部最優(yōu)，在算法末期提高算法精度。

在多個(gè)測(cè)試函數(shù)驗(yàn)證環(huán)節(jié)中，選擇了DE、PSO以及ASPSO 3種優(yōu)化算法在低維以及中、高維優(yōu)化問題中進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，結(jié)果表明ASPSO算法在單目標(biāo)優(yōu)化中優(yōu)于DE及PSO算法。為了更進(jìn)一步驗(yàn)證算法性能，橫向?qū)Ρ榷喾N改進(jìn)策略下的PSO優(yōu)化算法性能，選取了多種先進(jìn)改進(jìn)型PSO優(yōu)化算法參與標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)驗(yàn)證過程，結(jié)果表明ASPSO優(yōu)化算法仍具有相當(dāng)?shù)膬?yōu)越性。綜上所述，函數(shù)測(cè)試結(jié)果表明運(yùn)用Alpha stable分布對(duì)PSO算法進(jìn)行的變異過程的ASPSO優(yōu)化算法具有優(yōu)秀的性能。

最后，通過對(duì)RAE2822翼型進(jìn)行工程應(yīng)用減阻優(yōu)化來驗(yàn)證ASPSO算法在工程應(yīng)用上優(yōu)于傳統(tǒng)PSO算法。相比PSO算法，ASPSO算法的優(yōu)化結(jié)果具有更好的力學(xué)特性，翼面波阻明顯降低，ASPSO算法的優(yōu)化結(jié)果擁有更好的氣動(dòng)性能。