關(guān)于高中數(shù)學建模教學的實踐

山東省鄒平市第一中學 李 猛

數(shù)學課程標準明確指出，建模能力是學生核心素養(yǎng)之一，借助建模教學能鍛煉學生創(chuàng)造性思維，最重要的是對所學知識形成深入理解，為更好地應(yīng)用知識分析和解決問題奠定基礎(chǔ)，實現(xiàn)預(yù)期課程教學目標。

一、借助問題情境

情境教學是課堂教學常見方式，高中數(shù)學教師可運用問題情境開展建模教學，促使學生在探索、思考、提問、分析以及建模等一系列過程中高效解決問題，并對所學知識產(chǎn)生深入理解，鍛煉思維能力。學生思維在問題情境驅(qū)動下相對開放，他們在此過程中提出各種抽象復(fù)雜且創(chuàng)新性問題，這對數(shù)學教師綜合素養(yǎng)和知識技能等提出較高的要求。教師需要積極思考該如何引領(lǐng)學生學習，因此需要在為學生傳授知識和技能的同時不斷延伸自身知識儲備深度與廣度。

對此，教師可從以下方面借助問題情境開展建模教學。首先，借助問題情境導(dǎo)入新知。教師在數(shù)學建模教學中應(yīng)為學生創(chuàng)設(shè)愉悅、和諧的課堂環(huán)境并積極鼓勵學生大膽想象和思考，使不同思維和意見觀點在良好課堂氛圍中發(fā)生碰撞并產(chǎn)生智慧火花，不斷提升學生思維層次。例如，在學習均值不等式定理相關(guān)知識時，教師設(shè)置以下問題：“某超市在中秋節(jié)開展促銷活動，為吸引客源，共涉及以下三種降價銷售方案：①首次打a折，第二次打b折銷售；②首次打b折銷售，第二次打a折銷售。③兩次銷售均打折，請問，上述三種打折銷售方案哪種最為劃算?！睂W生經(jīng)思考和相互討論后得出以下解題要點：即對ab與大小進行比較。上述題目緊貼學生現(xiàn)實生活，教師為學生設(shè)置抽象概括且符合學生實際情況的問題情境，以生動形象方式為學生呈現(xiàn)生硬抽象的均值不等式定理。大部分高中數(shù)學應(yīng)用題在解答中都需運用均值不等式，故而，創(chuàng)設(shè)緊貼生活的問題情境導(dǎo)入新知識能調(diào)動學生探究知識積極性，更能活躍學生數(shù)學思維。其次，挖掘純數(shù)學問題生活原型，不斷增強學生建模意識。現(xiàn)實生活生產(chǎn)蘊含大量數(shù)學問題，將數(shù)學知識和技能結(jié)合現(xiàn)實生活生產(chǎn)能增強學生靈活運用知識能力。例如，某制造廠今年一共生產(chǎn)近5萬噸產(chǎn)品，如果每年平均產(chǎn)量高于上一年10%，請問從今年起在幾年內(nèi)能實現(xiàn)總產(chǎn)量30萬噸目標？教師在講解題目時要先指導(dǎo)學生分析前幾年產(chǎn)量，即今年為5萬噸，明年則是5+5×10%＝5×1.1，那么后年則為5×1.1+5×1.1×10%＝5×1.12，學生在觀察中歸納總金額公比q＝1.1后構(gòu)建等比數(shù)列模型。雖然上述解答過程較為緩慢，然而能促使學生深入理解問題，提升建模能力。

二、借助信息技術(shù)

事實上，現(xiàn)實生活中涵蓋大量數(shù)學知識，學習數(shù)學知識目的之一也在于更好地解決實際問題，尤其會應(yīng)用幾何圖形、函數(shù)、方程等知識，故而運用“互聯(lián)網(wǎng)+建?！蹦苤苯咏档皖}目難度，提高解題效率。檢驗和完善解題模型是數(shù)學建模思想下重要思維環(huán)節(jié)之一，類似于常規(guī)學習總結(jié)與檢驗，有利于幫助學生充分把握自身在數(shù)學建模活動中出現(xiàn)的解題錯誤和認知不足，促使學生高效理解和掌握不同類型解題模型使用條件，并在歸納總結(jié)、反思、糾正等一系列活動中建立正確建模認識，為提升建模素養(yǎng)做好鋪墊。例如，在學習數(shù)列相關(guān)知識時，教師結(jié)合現(xiàn)實生活常見的銀行存款本息計算設(shè)計問題，需要學生結(jié)合真實銀行存款月利率與本息計算公式對某個周期內(nèi)本息總和進行計算，在此過程中應(yīng)用數(shù)列知識。教師在教學過程中運用信息技術(shù)為學生建立模型并基于此凸顯數(shù)列模型思想，促使學生運用等比數(shù)列求和規(guī)律分析和解決實際問題。與此同時，鼓勵學生獨立思考問題，再以小組形式相互討論分析，遇到疑惑之處可運用平板和互聯(lián)網(wǎng)中的學生端口發(fā)送給教師，隨即教師為學生實時答疑解惑，還可在學生小組討論時參與其中，提升學生學習效率。

三、借助小組合作

小組合作是課堂教學主要方式，能較好地體現(xiàn)學生主體作用，匯集多元思維，幫助學生深入理解所學知識，提升學習效率和質(zhì)量。在建模教學中應(yīng)用小組合作學習能增強學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題能力，在合作中實現(xiàn)核心素養(yǎng)目標。

以“貨船進出港時間問題”教學為例，該知識點重點為引導(dǎo)學生觀察和詳細分析數(shù)據(jù)并在此基礎(chǔ)上建立三角函數(shù)模型，促使學生敢于想象和表達。表1為某港口在某季節(jié)每日時間與水深關(guān)系。

表1 時間與水深關(guān)系

問題①選取一個函數(shù)對該港口的水深與時間函數(shù)關(guān)系進行近似描述并給出整點水深近似數(shù)值。問題②若一條貨船吃水深度為4米，在安全規(guī)定下要求船底與洋底間距離具有1.5米安全間隙，請問該條船在何時才能駛?cè)敫劭冢吭诟劭谕Ａ舳嗌贂r間？問題③若某條船吃水深度為4米，設(shè)置1.5米的安全間隙，于2：00時卸貨，其中該船吃水速度以每小時0.3米速度不斷減少，請問該船在何時需停止卸貨并將船駛向深水域？

具體建模教學活動如下。（1）活動要求：將全體學生分為5個小組討論分析上述三個問題，每個小組選派一名學生上臺匯報討論成果并闡述心得體會。（2）觀察／分析以及模擬圖象。A小組：“我們認為該函數(shù)為具有周期性變化特征的函數(shù)。”D小組：“為何會產(chǎn)生此猜想？”B小組：“將時間和水深分別設(shè)為橫坐標與縱坐標并在直角坐標系中畫出散點圖，如圖1所示?！?/p>

圖1 時間與水深散點圖

教師：大家觀察散點圖后是否能繪制出對應(yīng)函數(shù)圖像？F組：“該函數(shù)圖像為一條平移變換后形成的復(fù)合型三角函數(shù)圖象，如圖2所示。”教師：請闡述理由。F組：“運用平滑曲線連接后發(fā)現(xiàn)振幅與初相都發(fā)生不同程度變化?！苯處煟和评淼煤芎侠恚绻虢鉀Q第一個問題需作出相應(yīng)函數(shù)解析式。

圖2 時間與水深復(fù)合型三角函數(shù)圖形

（3）猜想驗證、推理論證以及建立模型。在此之前已順利作出三角函數(shù)模型圖象，隨即讓學生回憶之前所學三角函數(shù)模型并寫出。隨即有學生寫出：三角函數(shù)模式y(tǒng)＝A sin（ωx+φ）+h。教師：通過數(shù)據(jù)與圖象并在討論中計算該題目函數(shù)模型。由A組學生解析：從函數(shù)圖象和數(shù)據(jù)得知：A＝2.5，h＝5，T＝5，φ＝0，由得故而可運用表示港口水深y與時間x關(guān)系。建立函數(shù)模型目的在于解決問題，數(shù)學教師可鼓勵學生積極大膽猜想并運用數(shù)據(jù)對函數(shù)圖象進行模擬，在合作交流中有效推導(dǎo)、計算、驗證函數(shù)模型，以此強化學生邏輯推理能力。

四、結(jié)語

總之，建模在學生學習和教師教學中發(fā)揮著不可小覷的作用。通過開展建模教學能簡化學生理解知識難度，并強化邏輯思維和創(chuàng)新思維，提升學生數(shù)學綜合素養(yǎng)和數(shù)學教學質(zhì)量，對學生未來發(fā)展有著重要現(xiàn)實意義。