轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用初探

◎馬淑芳

(江蘇省南通市第二中學(xué)，江蘇 南通 226002)

引 言

基于當(dāng)前的教學(xué)變化與發(fā)展，高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)模式亟待創(chuàng)新與升級(jí).而在高中數(shù)學(xué)解題過程中滲透并深入應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想將幫助學(xué)生明晰轉(zhuǎn)化思想的內(nèi)涵與應(yīng)用特點(diǎn)，繼而促進(jìn)學(xué)生應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想意識(shí)的培養(yǎng)與能力的提高，從而提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力.此外，此舉還將幫助教師挖掘數(shù)學(xué)學(xué)科的精髓，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生擁有清晰的解題思路，最終更新數(shù)學(xué)教學(xué)模式[1].因此，促進(jìn)轉(zhuǎn)化思想即化歸思想在高中數(shù)學(xué)解題中的教學(xué)應(yīng)用，對(duì)于教師的教和學(xué)生的學(xué)都有著十分重要的意義.

一、轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用概況

(一)轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用分類

1.一般與特殊的轉(zhuǎn)化

在數(shù)學(xué)概念范疇內(nèi)，常將數(shù)學(xué)研究的對(duì)象分為“一般”與“特殊”.例如，將平行四邊形視作一般對(duì)象時(shí)，在此基礎(chǔ)上體現(xiàn)出自身種類的特殊性質(zhì)的圖形即為特殊對(duì)象，如菱形、矩形、正方形等，菱形在平行四邊形共性的基礎(chǔ)上增加了“有一組鄰邊相等”的特殊性質(zhì)，矩形在平行四邊形共性的基礎(chǔ)上增加了“有一個(gè)角是直角”的特殊性質(zhì)，正方形則在平行四邊形和矩形共性的基礎(chǔ)上增加了“四條邊都相等、四個(gè)角都相等”的特殊性質(zhì)，以此從一般到特殊，便是一般與特殊之間的轉(zhuǎn)化.這一轉(zhuǎn)化在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用頗多，對(duì)于學(xué)生概念的深化與理解有著十分重要的意義.如將無(wú)法直接獲取數(shù)量關(guān)系或解題策略的特殊題目轉(zhuǎn)化為一般的解題思路與方法，以此剖析出深層的含義；如將特殊的數(shù)列極限的問題轉(zhuǎn)化為一般的函數(shù)極限問題，以此突出函數(shù)的解題思路；如將直接求解的繁雜分點(diǎn)轉(zhuǎn)化為一般的遞進(jìn)推理規(guī)律，以此快速解出最終的答案.綜上所述，特殊與一般之間的轉(zhuǎn)化能有效鍛煉學(xué)生的抽象思維、舉一反三的靈活性思維、由表及里的系統(tǒng)性思維等優(yōu)質(zhì)思維，而后落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

2.正與反的轉(zhuǎn)化

在數(shù)學(xué)解題的范疇內(nèi)，正與反的轉(zhuǎn)化即數(shù)學(xué)思維上正向與逆向之間的轉(zhuǎn)化，具體如下：第一，在數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程中教師應(yīng)突出題目與結(jié)論的邏輯關(guān)聯(lián)；第二，在此關(guān)聯(lián)基礎(chǔ)上，教師可以激發(fā)學(xué)生的靈活性思維，即引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)變自身的思維方向，轉(zhuǎn)為從結(jié)論入手再推理到題目之中，尋找其中的契合點(diǎn)，以此確定結(jié)論；第三，教師通過逆向思維的培養(yǎng)便可以激發(fā)學(xué)生的評(píng)價(jià)性思維或?qū)W生思維中的批判性，從而讓學(xué)生學(xué)會(huì)一分為二地看待問題，有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力，最終提高學(xué)生解決實(shí)際問題的綜合能力.

3.常量與變量的轉(zhuǎn)化

在數(shù)學(xué)概念中，常量與變量是數(shù)學(xué)研究中反映事物量的一對(duì)范疇，前者是反映事物相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)的量，后者是反映事物運(yùn)動(dòng)變化狀態(tài)的量.而在轉(zhuǎn)化思想中，這一對(duì)范疇存在轉(zhuǎn)化的空間與條件，即教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用此特性落實(shí)常量與變量的轉(zhuǎn)化來(lái)研究抽象的事物運(yùn)動(dòng)、變化的規(guī)律或發(fā)掘其中的數(shù)量關(guān)系.這一轉(zhuǎn)化在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用頗多，對(duì)于學(xué)生抽象思維能力的提高有著十分重要的意義，轉(zhuǎn)化思想的深化可以幫助學(xué)生從自身形象思維向抽象思維過渡，從而落實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

4.數(shù)與形的轉(zhuǎn)化

在數(shù)學(xué)概念中，數(shù)形之間的轉(zhuǎn)化被稱為數(shù)形結(jié)合思想，其在轉(zhuǎn)化思想方法中占據(jù)著極為重要的一席，而針對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科中這兩個(gè)最為古老和基本的研究對(duì)象之間的相互轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化思想給予了其更為豐富的應(yīng)用意義.第一，以形助數(shù).例如，針對(duì)實(shí)際數(shù)學(xué)問題中的集合問題，在落實(shí)集合運(yùn)算時(shí)，可以利用數(shù)軸或Venn圖等完成交集、并集、補(bǔ)集的運(yùn)算，以此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和數(shù)據(jù)分析能力，促使集合運(yùn)算數(shù)據(jù)的透明度和準(zhǔn)確性的提升.第二，以數(shù)解形.例如，針對(duì)實(shí)際數(shù)學(xué)問題中的立體幾何問題，可以利用坐標(biāo)的方法將幾何中的點(diǎn)、線、面及其性質(zhì)與關(guān)系落實(shí)清晰后再進(jìn)行直觀的研究，以此促使抽象的幾何問題轉(zhuǎn)化為純粹、直接的代數(shù)運(yùn)算，從而落實(shí)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，最終，提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)思維與解題方法.

5.相等與不等的轉(zhuǎn)化

6.實(shí)際問題與數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化

在數(shù)學(xué)概念范疇內(nèi)，實(shí)際數(shù)學(xué)問題的解決離不開數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建.針對(duì)數(shù)學(xué)問題中常見的方案問題與概率問題，教師在落實(shí)這方面知識(shí)的解題教學(xué)時(shí)需要先引導(dǎo)學(xué)生理解具體的實(shí)際問題內(nèi)容，再根據(jù)具體的問題內(nèi)容設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，從而展開實(shí)際問題的運(yùn)算，成功分析出最佳方案或概率.這一轉(zhuǎn)化在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用頗多，對(duì)于學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力、模型構(gòu)建能力以及規(guī)劃能力等的培養(yǎng)都有著十分重要的意義，有利于學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)思維和提高數(shù)學(xué)能力，最終落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

7.數(shù)學(xué)各分支之間的轉(zhuǎn)化

在數(shù)學(xué)概念范疇內(nèi)，數(shù)學(xué)各分支的知識(shí)滲透或問題解決都需要綜合數(shù)學(xué)知識(shí)的參與與運(yùn)用，因此，轉(zhuǎn)化思想中存在數(shù)學(xué)各分支之間的轉(zhuǎn)化這一分類.例如，針對(duì)數(shù)學(xué)問題中常見的圓錐曲線與方程中的橢圓問題、雙曲線問題、拋物線問題等，教師在落實(shí)相關(guān)解題教學(xué)時(shí)常常需要聯(lián)系具體的數(shù)列知識(shí)、函數(shù)知識(shí)等，將橢圓問題、雙曲線問題、拋物線問題中的求值范圍或趨勢(shì)轉(zhuǎn)化為一般的代數(shù)運(yùn)算，以此幫助學(xué)生構(gòu)建具有交匯性的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，繼而讓學(xué)生搭建起自身的數(shù)學(xué)知識(shí)框架，最終培養(yǎng)學(xué)生的系統(tǒng)性思維，促進(jìn)學(xué)生的綜合性發(fā)展.

(二)轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用原則

基于上述轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用分類，教師在落實(shí)高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)時(shí)應(yīng)當(dāng)遵守以下應(yīng)用原則，以此強(qiáng)化學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化思想的掌握，提高學(xué)生的知識(shí)遷移能力和思維的靈活性與敏捷性，盡可能地豐富學(xué)生的解題思路，從而有效促進(jìn)學(xué)生解題速度與解題準(zhǔn)確度的提高，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合實(shí)際應(yīng)用能力，促進(jìn)學(xué)生的綜合性發(fā)展[2].第一，簡(jiǎn)單化原則.具體而言，基于轉(zhuǎn)化思想的實(shí)質(zhì)，將復(fù)雜題目簡(jiǎn)單化、抽象題目形象化，因此，教師在落實(shí)學(xué)生的解題教學(xué)時(shí)應(yīng)當(dāng)明確清晰的大方向和大思路，即堅(jiān)持將抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容直觀化、形象化和具體化，最終落實(shí)簡(jiǎn)單化原則.第二，直觀化原則.具體而言，基于上述的解題大思路，教師在落實(shí)解題教學(xué)時(shí)針對(duì)復(fù)雜的圖形問題或幾何問題應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合思想提高問題的直觀性與形象性，從而落實(shí)直觀化原則.第三，熟悉化原則.具體而言，教師在落實(shí)解題教學(xué)時(shí)針對(duì)系統(tǒng)性的內(nèi)容應(yīng)有針對(duì)性地采取相應(yīng)的增強(qiáng)訓(xùn)練，激發(fā)學(xué)生思維中的批判性與評(píng)價(jià)性，豐富學(xué)生解題的突破口分布點(diǎn)，以此落實(shí)熟悉化原則，提高解題速度.第四，和諧化原則.具體而言，教師在落實(shí)解題教學(xué)時(shí)應(yīng)關(guān)注題目中給出的條件與獲得的數(shù)學(xué)結(jié)論，突出題目條件與結(jié)論之間的一致性與和諧性.因此，教師在落實(shí)具體的解題教學(xué)時(shí)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)所給的條件分析其中的內(nèi)在規(guī)律與邏輯聯(lián)系，進(jìn)而落實(shí)熟悉化原則和直觀化原則，在此基礎(chǔ)上提高學(xué)生解決問題的能力；或者引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成質(zhì)疑精神與邏輯推理思維，促使學(xué)生根據(jù)題目?jī)?nèi)容完成遞進(jìn)性、層次化的邏輯判斷，以此落實(shí)和諧化原則[3].第五，正難則反原則.具體而言，教師在落實(shí)解題教學(xué)時(shí)，針對(duì)正向思維難以解決的問題，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生啟動(dòng)逆向思維，即如果從問題的正面入手難以直接獲得結(jié)論的話，那么將反其道而行之，激發(fā)學(xué)生思維中的靈活性與敏捷性，培養(yǎng)學(xué)生的辯證性思維，最終落實(shí)正難則反原則.

(三)轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用意義

首先，基于高中數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)時(shí)需要具備更高程度的數(shù)學(xué)抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、數(shù)據(jù)分析能力以及模型構(gòu)建能力等，以此提高自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng).但是，從目前的高中數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀來(lái)看，部分學(xué)生在開展具體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，對(duì)于具體的數(shù)學(xué)思想方法認(rèn)識(shí)并不準(zhǔn)確，從而導(dǎo)致學(xué)生在開啟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)猶如無(wú)頭蒼蠅似地盲目亂撞，不利于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，反而還導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性被消磨殆盡，無(wú)法高效學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).而轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用將有利于逆轉(zhuǎn)上述的教學(xué)情況，幫助學(xué)生明確解題方向，豐富解題思路，以此提高學(xué)生的解題速度和準(zhǔn)確性，最終促進(jìn)學(xué)生高效學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)解題過程中找到學(xué)習(xí)的滿足感，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性[4].

其次，基于高中生的認(rèn)知發(fā)展水平與心理發(fā)展規(guī)律，在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想將有利于突出學(xué)生的學(xué)習(xí)主體地位.一方面，可以激發(fā)學(xué)生的主體性與主觀能動(dòng)性，從而促使學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)；另一方面，還可以激發(fā)學(xué)生的自律性、自立性與自強(qiáng)性，以此促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中熟練掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)思想如轉(zhuǎn)化思想等，最終提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)實(shí)際問題的能力，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維、邏輯推理思維、系統(tǒng)性思維、靈活性思維等優(yōu)質(zhì)思維，落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

二、轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用策略

(一)轉(zhuǎn)化思想在集合中的應(yīng)用分析

為促進(jìn)轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，教師可以針對(duì)集合落實(shí)關(guān)鍵性的教學(xué)措施.例如，對(duì)于蘇教版必修一第一章《集合》中“集合運(yùn)算的運(yùn)算律”這一部分內(nèi)容，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生分析問題、探究活動(dòng)的內(nèi)容，由此可知，集合運(yùn)算的運(yùn)算律與實(shí)數(shù)的運(yùn)算律如加法交換律a+b=b+a、乘法交換律a×b=b×a、加法結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)、乘法結(jié)合律(a×b)×c=a×(b×c)以及乘法分配律(a+b)×c=a×c+b×c相似.為探究集合運(yùn)算的運(yùn)算律，教師可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用從一般到特殊的轉(zhuǎn)化思想，即根據(jù)已知的實(shí)數(shù)運(yùn)算規(guī)律，教師可以安排學(xué)生假設(shè)不同的集合來(lái)落實(shí)相關(guān)運(yùn)算律的計(jì)算，通過一般規(guī)律的探尋而逐步發(fā)現(xiàn)專屬于集合運(yùn)算的特殊規(guī)律，以此幫助學(xué)生循序漸進(jìn)地落實(shí)數(shù)學(xué)探究過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究意識(shí)與能力，從而突出轉(zhuǎn)化思想的作用，提高學(xué)生的探究速度.同時(shí)，教師在數(shù)學(xué)探究過程中還可以向?qū)W生介紹數(shù)形結(jié)合思想這一轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，即引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用Venn圖比較交集、并集、補(bǔ)集等運(yùn)算規(guī)律，分析集合運(yùn)算律與實(shí)數(shù)運(yùn)算律的相同點(diǎn)與不同點(diǎn).

(二)轉(zhuǎn)化思想在不等式中的應(yīng)用分析

(三)轉(zhuǎn)化思想在函數(shù)中的應(yīng)用分析

為促進(jìn)轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，教師可以針對(duì)函數(shù)這一部分內(nèi)容落實(shí)關(guān)鍵性的教學(xué)措施.例如，對(duì)于蘇教版必修一《從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程》這一章節(jié)內(nèi)容，教師可以在此滲透數(shù)學(xué)各分支之間的轉(zhuǎn)化思想，即通過函數(shù)觀點(diǎn)分析出一元二次方程的解等同于二次函數(shù)中函數(shù)值取零時(shí)的自變量x的值，以此聯(lián)系數(shù)學(xué)中不同分支的知識(shí)，從而幫助學(xué)生掌握該分類的轉(zhuǎn)化思想.同時(shí)，其中自變量與函數(shù)值的關(guān)系變化還可以聯(lián)系常量與變量的轉(zhuǎn)化，以此促進(jìn)函數(shù)概念教學(xué)的深化.此外，教師在落實(shí)相關(guān)解題教學(xué)時(shí)還可以引入直角坐標(biāo)系，通過直角坐標(biāo)系幫助學(xué)生深化對(duì)函數(shù)與一元二次方程的認(rèn)識(shí)，將“二次函數(shù)中函數(shù)值取零時(shí)的自變量x的值”與坐標(biāo)軸上的交點(diǎn)聯(lián)系起來(lái)，以此滲透數(shù)形結(jié)合的轉(zhuǎn)化思想.

(四)轉(zhuǎn)化思想在概率中的應(yīng)用分析

為促進(jìn)轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，教師可以針對(duì)概率這一部分內(nèi)容落實(shí)關(guān)鍵性的教學(xué)措施.例如，對(duì)于蘇教版選修二中《概率》這一單元內(nèi)容，教師可以通過實(shí)際的概率問題落實(shí)解題教學(xué).例如，分析題目：假設(shè)每個(gè)人血清中含有H病毒的概率為0.4%，求100個(gè)人的混合血清中含有H病毒的概率.根據(jù)題目中的已知條件可以分析出在落實(shí)相關(guān)概率計(jì)算時(shí)直接計(jì)算的難度較高，因此，教師在此便可以滲透實(shí)際問題與數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化思想，為具體的問題設(shè)計(jì)具有針對(duì)性的數(shù)學(xué)模型，同時(shí)還需要落實(shí)“正難則反原則”以啟動(dòng)學(xué)生的逆向思維，針對(duì)“100個(gè)人中至少有一個(gè)人的血清中含有H病毒”這一推斷得出“100個(gè)人的血清中都不含有H病毒”逆向解題思路，以此落實(shí)實(shí)際的計(jì)算，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，讓學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考、仔細(xì)觀察的習(xí)慣，最終促進(jìn)學(xué)生的綜合性發(fā)展.

(五)轉(zhuǎn)化思想在圓錐曲線中的應(yīng)用分析

為促進(jìn)轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，教師可以針對(duì)圓錐曲線與方程這一部分內(nèi)容落實(shí)關(guān)鍵性的教學(xué)措施.例如，對(duì)于蘇教版選修一中《圓錐曲線與方程》這一單元內(nèi)容，教師可以針對(duì)該類題目引入專題化的解題訓(xùn)練，以此培養(yǎng)學(xué)生的系統(tǒng)性思維.例如，根據(jù)已知的雙曲線焦點(diǎn)位置F1、F2與第三點(diǎn)P的距離差的絕對(duì)值的數(shù)量關(guān)系，求取雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.首先，教師可以根據(jù)訓(xùn)練框架與一般的解題思路引導(dǎo)學(xué)生假設(shè)相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)方程；其次，根據(jù)已知的數(shù)量關(guān)系構(gòu)建等式，以此推導(dǎo)出特殊的所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；最后，為加深學(xué)生對(duì)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的理解，教師還可以滲透數(shù)形結(jié)合思想輔助“一般到特殊”的規(guī)律轉(zhuǎn)化，以此深化學(xué)生的綜合性轉(zhuǎn)化思想，提高學(xué)生的解題速度.

三、結(jié) 語(yǔ)

為促進(jìn)轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，教師可以依據(jù)以下方面落實(shí)教學(xué)措施，如深入研究集合、不等式、函數(shù)、概率、圓錐曲線等數(shù)學(xué)知識(shí)，在此基礎(chǔ)上滲透并利用轉(zhuǎn)化思想，以此降低數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)的難度，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維和數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用能力，從而有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).