巧用逆向思維 妙解數(shù)學(xué)難題

◎翟翠莉

(廣西桂林市國龍外國語學(xué)校，廣西 桂林 541004)

逆向思維是對(duì)司空見慣的、似乎已成定論的事物或觀點(diǎn)反過來思考的一種思維方式[1].實(shí)踐表明，運(yùn)用逆向思維解答初中數(shù)學(xué)習(xí)題有時(shí)能夠?qū)崿F(xiàn)簡化解題步驟、減小運(yùn)算量、提高解題正確率的重要目標(biāo)，因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)將逆向思維納入教學(xué)內(nèi)容，通過教學(xué)活動(dòng)的合理設(shè)計(jì)，使學(xué)習(xí)者認(rèn)識(shí)到逆向思維的重要性以及在解題中的便利性，養(yǎng)成善于運(yùn)用逆向思維解答數(shù)學(xué)習(xí)題的良好習(xí)慣，促進(jìn)其解題能力以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績的進(jìn)一步提升.

一、巧用逆向思維，解決函數(shù)求值問題

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)，其中求值類問題在初中數(shù)學(xué)測(cè)試中較為常見.解答該類問題的常規(guī)思路是先從給出的已知條件入手進(jìn)行推理，再逐漸向要求解的問題靠攏.而部分習(xí)題需要運(yùn)用逆向思維來切入，即從要求解的問題入手通過分析構(gòu)建與已知條件的聯(lián)系，從而順利解答.因此，教師在教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)注重通過列舉生活中的案例，使學(xué)習(xí)者加深對(duì)逆向思維的認(rèn)識(shí)，掌握逆向思維在解答初中數(shù)學(xué)習(xí)題時(shí)的表現(xiàn)形式，如從問題出發(fā)、從給出的選項(xiàng)出發(fā)分析問題等都屬于逆行思維的表現(xiàn)形式.同時(shí)，教師可以在課堂上展示經(jīng)典例題，并與學(xué)習(xí)者一起分析習(xí)題考查的知識(shí)點(diǎn)、難在哪里以及如何運(yùn)用逆向思維進(jìn)行破題等，引導(dǎo)學(xué)習(xí)者主動(dòng)思考.另外，為防止學(xué)習(xí)者知難而退，教師在講解例題時(shí)應(yīng)注重多給予學(xué)習(xí)者引導(dǎo)與啟發(fā)，降低例題的理解難度，提升學(xué)習(xí)者聽課體驗(yàn)[2].下面用此例題對(duì)此進(jìn)行說明.

A.31 B.61 C.-21 D.-31

該題考查等價(jià)轉(zhuǎn)化以及運(yùn)用逆向思維解題的能力，難度較大.如從給出的已知條件入手正向推導(dǎo)，學(xué)習(xí)者不易找到解題思路.而基于已知條件進(jìn)行變形，從要求解的代數(shù)式出發(fā)，通過拼湊逐漸向已知條件靠攏，解題的針對(duì)性會(huì)大大增加.當(dāng)然期間還需要構(gòu)造方程.為提高學(xué)習(xí)者的解題自信，教師應(yīng)做好教學(xué)引導(dǎo)，幫助學(xué)習(xí)者更好地理解解題的關(guān)鍵點(diǎn)，使其通過認(rèn)真聽講從而明白解題思路，掌握解題方法.

因?yàn)閍，b，c分別為兩個(gè)函數(shù)圖像的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，故令(x-a)(x-b)(x-c)=0，則x3-(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x-abc=0，對(duì)照x3-4x2+1=0，可得a+b+c=4，ab+ac+bc=0，abc=-1，將其代入①可得16×(4-0)-3=61.故本題選擇B項(xiàng).

解題點(diǎn)評(píng)：遇到看似較為陌生、難以解答的習(xí)題，應(yīng)考慮采用逆向思維，從要求解的問題出發(fā)分析如何將要求解的問題與已知條件關(guān)聯(lián)起來，迅速找到思考方向.

二、巧用逆向思維，解決函數(shù)圖像平移問題

函數(shù)圖像平移問題是初中數(shù)學(xué)中常見的一類問題.解答該類問題可運(yùn)用平移規(guī)律進(jìn)行分析.但是部分習(xí)題具有一定難度，要求學(xué)習(xí)者不僅要理解平移規(guī)律，還要深刻理解函數(shù)圖像與x軸之間的關(guān)系，并注重逆向思維的靈活應(yīng)用.為此，教師應(yīng)做好引導(dǎo)工作.一方面，教師要為學(xué)習(xí)者展示逆向思維的具體應(yīng)用.如題干中給出平移后的函數(shù)表達(dá)式，要求平移前的函數(shù)表達(dá)式，此時(shí)就可以采用逆向思維反向思考平移方向[3].另一方面，由于初中數(shù)學(xué)習(xí)題類型較多，所以教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)習(xí)者靈活運(yùn)用逆向思維，尤其是對(duì)于選擇題，可從給出的選項(xiàng)入手逐一分析，再驗(yàn)證推理得出的結(jié)果是否符合題干描述，從而做出正確判斷.下面用此例題對(duì)此進(jìn)行說明.

例2在坐標(biāo)平面上移動(dòng)二次函數(shù)y=-(x-2018)(x-2020)-2的圖像，使其和x軸交于兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)的距離為兩個(gè)單位，則以下移動(dòng)方式可行的是( ).

A.向上平移兩個(gè)單位 B.向下平移兩個(gè)單位

C.向上平移一個(gè)單位 D.向下平移一個(gè)單位

該題為選擇題，可采用逆向思維，從給出的選項(xiàng)入手，運(yùn)用函數(shù)圖像平移規(guī)律逐一進(jìn)行判斷.需要注意的是要搞清楚題干中的函數(shù)表達(dá)式與一般表達(dá)式之間的關(guān)系.針對(duì)該題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有“上移”和“下移”，再結(jié)合函數(shù)平移規(guī)律可知，上下平移僅影響函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)部分，因此，該題不需要將函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為一般形式，直接運(yùn)用平移規(guī)律判斷即可，否則就會(huì)陷入復(fù)雜的運(yùn)算中.同時(shí)，結(jié)合所學(xué)以及經(jīng)驗(yàn)可以判斷出y=-(x-2018)(x-2020)和x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為2018和2020.

A項(xiàng)，向上平移兩個(gè)單位后得到的二次函數(shù)為y=-(x-2018)(x-2020)，圖像和x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為2018和2020，兩點(diǎn)距離為兩個(gè)單位，符合題意；B項(xiàng)，向下平移兩個(gè)單位得到的二次函數(shù)為y=-(x-2018)(x-2020)-4，圖像和x軸兩個(gè)交點(diǎn)的距離一定小于兩個(gè)單位，不符合題意；同理C，D兩項(xiàng)也不符合題意.故本題選擇A項(xiàng).

解題點(diǎn)評(píng)：要解決初中二次函數(shù)圖像平移類問題，學(xué)習(xí)者應(yīng)具備良好的逆向推理意識(shí)，要么將平移后得到的圖像作為推理的切入點(diǎn)；要么根據(jù)習(xí)題類型，采用有針對(duì)性的逆向推理方法.如遇到選擇題可分析其給出的選項(xiàng)，通過排除找到正確的選項(xiàng).

三、巧用逆向思維，解決不等式組相關(guān)問題

求解一元一次不等式組是初中生必備的能力[4].在學(xué)習(xí)初中數(shù)學(xué)的過程中，學(xué)習(xí)者通常習(xí)慣于直接求解所給不等式組的解集，但是部分習(xí)題卻給出不等式組解集，要求學(xué)習(xí)者判斷不等式組中有關(guān)參數(shù)的取值范圍，并以此為基礎(chǔ)解相關(guān)方程[5].該類問題的難度較大，能很好地檢驗(yàn)學(xué)習(xí)者對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解程度.解答該類問題需要逆向運(yùn)用解不等式組的思路，并結(jié)合數(shù)軸準(zhǔn)確判斷未知參數(shù)的取值范圍.另外，解分式方程時(shí)不僅要在解上滿足要求，還需保證分式方程有意義，這就要求學(xué)習(xí)者在解題時(shí)考慮全面，尤其在判斷最終結(jié)果時(shí)不能顧此失彼.為提高學(xué)習(xí)者解答不等式組類難題的正確率，教師在講解相關(guān)例題時(shí)應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)習(xí)者積極動(dòng)腦分析，認(rèn)真揣摩解題思路，體會(huì)逆向思維的具體應(yīng)用過程.下面用此例題對(duì)此進(jìn)行說明.

A.1 B.2 C.3 D.4

根據(jù)題意先解關(guān)于x的一元一次不等式組，采用逆向思維，再結(jié)合給出的解集得到a的取值范圍，而后解分式方程進(jìn)行分析.正確運(yùn)用逆向思維是提高解題正確率的關(guān)鍵.眾所周知，解一元一次不等式組的常規(guī)做法是先分別求出各一元一次不等式的解集，而后按照相關(guān)法則確定最終解集，而運(yùn)用逆向思維時(shí)應(yīng)注重反過來思考相關(guān)法則，尤其應(yīng)重點(diǎn)分析等號(hào)能否取到.

由3(3-x)+1<-x，解得x>5，由x+a>2，解得x>2-a.由題可知不等式組的解集為x>5，如圖1所示：

圖1

解題點(diǎn)評(píng)：給出不等式解集求不等式組中的某一個(gè)參數(shù)的取值范圍，可先采用常規(guī)方法解出各不等式的解集，而后結(jié)合給出的最終解集逆向思考，再結(jié)合數(shù)軸進(jìn)行驗(yàn)證，構(gòu)建正確的不等式關(guān)系，從而找到要求的參數(shù)的取值范圍，在此基礎(chǔ)上完成問題的解答即可.

四、巧用逆向思維，解決代數(shù)式求值問題

代數(shù)式求值問題在初中數(shù)學(xué)中是非常常見的一類問題.不同習(xí)題考查的知識(shí)點(diǎn)不同，應(yīng)用的解題思維也有所區(qū)別.該類問題的常規(guī)求解思路是對(duì)要求解的代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃闻c整理，使其含有已知條件中的代數(shù)式，而后將已知條件中的代數(shù)式的值代入即可[6].但是部分習(xí)題給出的代數(shù)式較為特殊，采用常規(guī)思路難以構(gòu)建已知條件與要求解代數(shù)式之間的關(guān)系.針對(duì)該類問題學(xué)習(xí)者應(yīng)認(rèn)真分析給出的已知條件，積極聯(lián)系所學(xué)知識(shí)，采用逆向思維構(gòu)建對(duì)應(yīng)方程，加深對(duì)相關(guān)參數(shù)關(guān)系的認(rèn)識(shí).如在整理已知條件時(shí)，得出兩個(gè)參數(shù)和與積的值，此時(shí)可逆向運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造一元二次方程.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，為使學(xué)習(xí)者理解并掌握這一解題思路，深刻體會(huì)逆向思維的具體應(yīng)用，教師應(yīng)重點(diǎn)為學(xué)習(xí)者做好例題講解，通過設(shè)問逐步引導(dǎo)學(xué)習(xí)者向著正確方向思考，確保問題得以順利解決.下面用此例題對(duì)此進(jìn)行說明.

例4已知xy+x+y=28，x2y+xy2=160，則x2+y2的值為________.

該題的已知條件較為簡潔，考查整體思維以及逆向思維的靈活應(yīng)用，難度較大.很多學(xué)習(xí)者看到該題后一時(shí)難以找到正確的解題思路.事實(shí)上，解答該題需要聯(lián)系一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系逆向推理出對(duì)應(yīng)的一元二次方程.同時(shí)，該題較為特殊的是需要采用逆向思維構(gòu)造三個(gè)一元二次方程，并結(jié)合一元二次方程的根的判別式對(duì)求解的參數(shù)進(jìn)行合理取舍，因此，教師講解該題時(shí)應(yīng)要求學(xué)習(xí)者做好聽課記錄，認(rèn)真揣摩解題過程，多問為什么.真正理解與掌握了解題方法，以后遇到類似問題就能夠迅速地找到解題思路了.

由x2y+xy2=160，可得xy(x+y)=160，而xy+x+y=28，將xy和x+y分別看成一個(gè)整體，兩個(gè)等式即可對(duì)應(yīng)一元二次方程的兩根之積和兩根之和，則其對(duì)應(yīng)的一元二次方程為x2-28x+160=0，容易得到x1=8，x2=20.當(dāng)xy=20，x+y=8時(shí)，其對(duì)應(yīng)的一元二次方程為x2-8x+20=0，此時(shí)Δ<0，舍去；當(dāng)xy=8，x+y=20時(shí)，其對(duì)應(yīng)的一元二次方程為x2-20x+8=0，此時(shí)Δ>0，符合題意.∴x2+y2=(x+y)2-2xy=202-2×8=384.

解題點(diǎn)評(píng)：遇到有關(guān)兩個(gè)參數(shù)或代數(shù)式的乘積與和的問題時(shí)應(yīng)冷靜分析，聯(lián)系所學(xué)的一元二次方程中的根與系數(shù)的關(guān)系，通過逆向分析問題構(gòu)建對(duì)應(yīng)的一元二次方程，從整體上求出相關(guān)參數(shù)的積與和，而后聯(lián)系所學(xué)知識(shí)得出最終結(jié)果.

五、巧用逆向思維，解決求解參數(shù)值問題

求解參數(shù)具體值是初中數(shù)學(xué)的熱門考點(diǎn).雖然采用正向思維能夠解決大部分習(xí)題，但是一些習(xí)題則需要運(yùn)用逆向思維對(duì)給出的已知條件進(jìn)行巧妙轉(zhuǎn)化，以更好地揭示參數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，為順利求解出最終結(jié)果奠定基礎(chǔ)[7].實(shí)踐表明，運(yùn)用逆向思維解答該類問題往往需要學(xué)習(xí)者能夠逆向運(yùn)用相關(guān)計(jì)算公式、規(guī)律等，因此，為使學(xué)習(xí)者熟練運(yùn)用逆向思維解答該類問題，一方面，教師在講解相關(guān)計(jì)算公式、規(guī)律時(shí)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)習(xí)者參與到公式、規(guī)律的推理中，使其搞清楚計(jì)算公式、規(guī)律的來龍去脈，而非死記硬背[8].同時(shí)，教師在課堂上應(yīng)多設(shè)計(jì)判斷正誤類的問題，使學(xué)習(xí)者不僅能夠正向推導(dǎo)和運(yùn)用計(jì)算公式、規(guī)律，還能逆向運(yùn)用.另一方面，教師還應(yīng)通過對(duì)相關(guān)習(xí)題解答過程的講解，使學(xué)習(xí)者更好地掌握運(yùn)用逆向思維解答求參數(shù)值難題的具體思路以及應(yīng)注意的細(xì)節(jié)，避免其在以后的運(yùn)用中走彎路.下面用此例題對(duì)此進(jìn)行說明.

解題點(diǎn)評(píng)：遇到根式相關(guān)的問題時(shí)應(yīng)考慮采用逆向思維，通過相關(guān)計(jì)算公式的逆向運(yùn)用對(duì)給出的代數(shù)式進(jìn)行因式分解，將復(fù)雜問題簡單化，再結(jié)合相關(guān)解題經(jīng)驗(yàn)，抽絲剝繭，逐步突破問題.

六、巧用逆向思維，解決求解參數(shù)范圍問題

求參數(shù)取值范圍類問題是初中數(shù)學(xué)測(cè)試以及中考的常考內(nèi)容.因不同習(xí)題的設(shè)問角度不同，所以考查的知識(shí)點(diǎn)以及應(yīng)用的解題思維也存在一定差別[9]，其中部分習(xí)題就主要考查學(xué)習(xí)者對(duì)于逆向思維的應(yīng)用.該類問題雖然能夠采用正向思維解答出來，但是計(jì)算是非常復(fù)雜的，在測(cè)試中是尤其不可取的.為高效地解答該類問題，應(yīng)從要求解問題的反面出發(fā)，通過逆向思維達(dá)到順利解題的目的.在教學(xué)實(shí)踐中為使學(xué)習(xí)者親身體會(huì)如何運(yùn)用逆向思維解答求解參數(shù)范圍問題，體會(huì)運(yùn)用逆向思維解題的便利，教師應(yīng)為學(xué)習(xí)者做好例題的篩選與講解，尤其要注重預(yù)留空白時(shí)間，要求學(xué)習(xí)者通過思考討論快速找到要求解問題的反面.如至少有一個(gè)條件成立的反面為所有條件均不成立，能夠理解這一點(diǎn)便不難解答出相關(guān)習(xí)題.下面用此例題對(duì)此進(jìn)行說明.

例6若關(guān)于x的方程(x2-2x+k)(x2-3x+k+4)(x2-4x-k+8)=0有實(shí)根，求k的取值范圍.

該關(guān)于x的方程較為復(fù)雜，涉及三個(gè)代數(shù)式.從理論上來講，若三個(gè)代數(shù)式的乘積為零則至少有一個(gè)代數(shù)值的值為零.如采用常規(guī)思路需要考慮很多種可能，計(jì)算復(fù)雜.而采用逆向思維，能大大地簡化解題步驟并減小運(yùn)算量.通過分析不難得知，上述問題的反面為所給方程無實(shí)根，則對(duì)應(yīng)的三個(gè)代數(shù)式的值均不為零.運(yùn)用根的判別式可很快求出k的取值范圍，而后取其反面就是最終答案.

解題點(diǎn)評(píng)：解答初中數(shù)學(xué)習(xí)題時(shí)，當(dāng)需要考慮的方面非常多時(shí)，可采用逆向思維，從要求解問題的反面入手，求解出問題答案，而后對(duì)得出的結(jié)果再取反面，這便是問題的正確答案了.如此能夠大大地減小運(yùn)算量，促進(jìn)解題效率的有效提高.

綜上所述，初中數(shù)學(xué)習(xí)題情境復(fù)雜多變，其中部分習(xí)題如采用常規(guī)方法來解反而會(huì)走彎路，此時(shí)應(yīng)注重逆向思維的靈活應(yīng)用.為使學(xué)習(xí)者更好地認(rèn)識(shí)到逆向思維的重要性，提高其在解題中的應(yīng)用靈活性，教師應(yīng)在做好逆向思維理論基礎(chǔ)知識(shí)系統(tǒng)講解工作的基礎(chǔ)上，優(yōu)選、精講典型例題，使學(xué)習(xí)者認(rèn)真體會(huì)逆向思維與傳統(tǒng)思維方式的不同，把握逆向思維適合應(yīng)用的習(xí)題類型以及運(yùn)用的注意事項(xiàng)，提高其應(yīng)用水平.