高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合解題法教學(xué)的有效策略

◎陳海潮

(福建省南安市僑光中學(xué),福建 泉州 362314)

一、引 言

數(shù)學(xué)不僅能夠?qū)臻g圖形進行處理，還能夠解決數(shù)量關(guān)系.數(shù)學(xué)是一門揭示社會規(guī)律以及自然規(guī)律的學(xué)科，具有非常強的實用性.數(shù)學(xué)伴隨著學(xué)生的終身成長，在高中課程學(xué)習(xí)中更是占據(jù)著非常重要的地位，學(xué)好數(shù)學(xué)對培養(yǎng)學(xué)生的思維，以及讓學(xué)生更好地解決現(xiàn)實生活中的問題具有重要作用.近幾年，高中數(shù)學(xué)不斷地進行創(chuàng)新改革，這對高中數(shù)學(xué)教師提出了挑戰(zhàn)，如何提高高中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，如何提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，都成為教師深入思考的問題.高中新課程標準指出，要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，要把解決數(shù)學(xué)問題和數(shù)學(xué)結(jié)合思想進行融合.這樣不僅可以提高學(xué)生的解題效率，還可以讓學(xué)生在數(shù)形結(jié)合思想的促進下強化數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，由此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

二、理論基礎(chǔ)

(一)多元智能理論

在以往的傳統(tǒng)教育理念中，學(xué)校只重視培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯和發(fā)展語言智能，但是，心理學(xué)家霍華德·加德納認為，智能是多樣化的.智能是個人在一定文化價值標準下解決他們面臨實際問題時所需要的能力.加德納認為人類的智能共有8種，分別是：音樂智能、數(shù)理邏輯智能、身體運動智能、語言智能、空間智能、人際交往智能、自然認識智能以及自省智能.在多元智能理論下，智能是多元化的，是多種能力的結(jié)合而不是一種能力，并且在多種能力中，各個能力是以獨立的形式存在的，每個人的智能都有鮮明的表現(xiàn)形式和特點，如在數(shù)學(xué)解題思維中，有些學(xué)生更擅長用空間思維來解決問題，而有些學(xué)生更擅長用數(shù)理思維來解決問題，每個學(xué)生對問題都有自己獨特的見解.

數(shù)形結(jié)合思想就是要求學(xué)生把形象思維和抽象思維進行相互轉(zhuǎn)換，而不是讓學(xué)生只用一種思維來思考問題，教師要把學(xué)生的語言和數(shù)學(xué)邏輯智能與其他智能進行結(jié)合，讓學(xué)生在多種能力的結(jié)合下進行觀察、想象、創(chuàng)造，通過多元智能來思考問題、解決問題，這樣可以高效地體現(xiàn)多元智能理論.同時，多元智能理論還認為環(huán)境以及后期的教育對個體的智力發(fā)展有影響作用.因此，在教學(xué)過程中，教師要更加全面地考慮學(xué)生的個性發(fā)展，要依據(jù)學(xué)生的個性培養(yǎng)學(xué)生的優(yōu)勢智力，讓不同學(xué)生的智力都可以獲得全面發(fā)展.

(二)表征理論

“表征”一詞最開始來源于認知心理學(xué)，認知心理學(xué)把表征解釋為記錄或表達某種信息的方式.在數(shù)學(xué)中，表征體現(xiàn)為通過不同的形式來表達數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)關(guān)系的過程.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生可以用“數(shù)”或“形”的方式來表征一個數(shù)學(xué)對象.“數(shù)”主要是數(shù)學(xué)語言化表征，如概念、公式，而“形”主要是數(shù)學(xué)中的形象化表征，如圖像、符號.《數(shù)形結(jié)合的解題研究：表征的視角》這一篇文章認為，表征是呈現(xiàn)信息、記錄信息的方式，也是運用信息、調(diào)整信息的過程，兩者要同時出現(xiàn)才能稱之為表征.這篇文章從兩個維度對數(shù)形結(jié)合解題思想過程中的多元表征進行了闡述，其中一種是從問題信息的呈現(xiàn)方式維度來描述的，在這一維度中表征可以分為內(nèi)部表征和外部表征.外部表征主要存在于個體當中，主要指的是思想或概念，如語言、符號、圖像.數(shù)形結(jié)合中的“數(shù)”可以看作語言表達，它用數(shù)學(xué)語言來表征數(shù)學(xué)問題；“形”是圖式表征，是對圖形語言問題中有關(guān)數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)的直觀描述.而內(nèi)部表征存在于主體中，是指信息的內(nèi)部表達.內(nèi)部表征是學(xué)習(xí)者所擁有的心智結(jié)構(gòu)，是學(xué)習(xí)者將接收的信息進行內(nèi)化并構(gòu)建自己知識結(jié)構(gòu)的過程.數(shù)學(xué)內(nèi)部表征包括數(shù)學(xué)符號所賦予的意義、視覺想象、解決問題的策略、學(xué)生的自然語言等.

從解題過程呈現(xiàn)的維度來說，可以把表征分為數(shù)式表征和圖形表征.數(shù)式表征是展現(xiàn)數(shù)學(xué)特征的術(shù)語，如方程、不等式等可以用外顯的符號來表示數(shù)學(xué)對象.而圖形表征是指數(shù)學(xué)中的具體圖形，如函數(shù)圖形、樹狀圖、線狀圖等，可以讓抽象的問題更加直觀.根據(jù)研究表明，面對代數(shù)問題時，人們習(xí)慣用代數(shù)方法解決問題，面對幾何問題時，人們習(xí)慣用幾何方法解決問題.數(shù)形結(jié)合思想就是把圖式表征與數(shù)式表征進行結(jié)合，并讓學(xué)習(xí)者能夠?qū)煞N表征方式進行相互轉(zhuǎn)化，這樣可以讓問題更加容易解決.教師想讓學(xué)生學(xué)會對表征進行轉(zhuǎn)化，就要在教學(xué)過程中從不同的表征方面教授學(xué)生知識，讓學(xué)生能夠根據(jù)某一知識點收獲不同的表征，并實現(xiàn)表征之間的轉(zhuǎn)化，這樣可以幫助學(xué)生更好地用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)問題.

三、數(shù)形結(jié)合思想的教育價值及應(yīng)用要求

教育價值：數(shù)形結(jié)合可以幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，還可以幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識點之間的聯(lián)系，從而幫助學(xué)生深入地理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì).這對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維有重要作用.如教師在教授二次函數(shù)或者指數(shù)函數(shù)時，如果只讓學(xué)生背公式或概念，那么學(xué)生會對學(xué)習(xí)感到十分枯燥，并且這樣也難以讓學(xué)生靈活運用知識點.但是，如果教師在函數(shù)教學(xué)中運用圖像思維幫助學(xué)生學(xué)習(xí)以及解題，那么可以促進學(xué)生對知識點的理解，并且，運用數(shù)形結(jié)合還可以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.數(shù)學(xué)思維有抽象思維、直觀形象思維等，學(xué)生可以把數(shù)形結(jié)合理解為抽象思維與形象思維的結(jié)合.因此，幫助學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合思想，對促進學(xué)生的思維發(fā)展有非常重要的作用.數(shù)形結(jié)合思想可以讓學(xué)生從直觀的形象中挖掘深層的數(shù)學(xué)概念.在這一過程中，教師還可以開發(fā)學(xué)生的思維，讓學(xué)生發(fā)揮自己的想象力和創(chuàng)造力，從而尋找新的解題思路.

應(yīng)用要求：(1)遵循量變到質(zhì)變的要求.教師想讓學(xué)生深入理解數(shù)形結(jié)合的類型和內(nèi)涵，就要把數(shù)形結(jié)合思想運用于數(shù)學(xué)解題之中.這需要教師在教學(xué)中潛移默化地引導(dǎo)學(xué)生感知數(shù)形結(jié)合思想并理解運用數(shù)形結(jié)合思想.這樣可以讓學(xué)生在解題過程中逐漸把此思維轉(zhuǎn)變?yōu)樽约旱乃季S模式.這樣的過程實際上就是量變到質(zhì)變的過程.(2)具有啟發(fā)性.啟發(fā)性要求是指教師在引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)形結(jié)合思想時，要尊重學(xué)生在學(xué)習(xí)中的個體差異，要在教學(xué)中循序漸進地展示數(shù)形結(jié)合思想的概念以及運用過程.這樣可以激發(fā)學(xué)生主動探究問題的積極性，對于培養(yǎng)學(xué)生的探究思維具有重要作用.

四、運用數(shù)形結(jié)合思想培養(yǎng)學(xué)生解題能力的策略

(一)利用多種途徑培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合作為一種重要的數(shù)學(xué)思想在各種類型的數(shù)學(xué)知識中都有所體現(xiàn)，但高中數(shù)學(xué)教材以傳授數(shù)學(xué)理論知識為重點，其中蘊含的數(shù)形結(jié)合思想需要教師和學(xué)生一起挖掘.學(xué)生想要掌握數(shù)形結(jié)合思想就要在教師的引導(dǎo)下探究數(shù)學(xué)知識的內(nèi)涵.首先，教師要培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而幫助學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想進行探究.在目前的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生的一大學(xué)習(xí)難點就是對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不感興趣.為此，教師要先培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，當學(xué)生有學(xué)習(xí)興趣時才能對數(shù)形結(jié)合思想進行深入的研究.

1.教師可以創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，如在人教版高一必修第二冊“概率”這一章節(jié)中，學(xué)生要學(xué)習(xí)“隨機事件與概率”，這時教師就可以給學(xué)生創(chuàng)設(shè)相應(yīng)的生活情境.教師可以利用信息技術(shù)給學(xué)生播放一個動畫短片：小明和爸爸媽媽準備在暑假時出去旅游，他們定好了目的地，之后隨即出發(fā)，那么他們到達目的地的那天是晴天還是雨天？這是必然事件還是隨機事件？教師給出了這一情境之后可以讓學(xué)生展開討論.有些學(xué)生說是必然事件，因為他們出發(fā)前會看天氣預(yù)報，有些學(xué)生說是隨機事件，因為天氣變化莫測，隨時都有可能發(fā)生變化.最后，教師又給學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一個情境：小紅同學(xué)在周末的時候過生日，所以她邀請了同學(xué)來家里玩兒并且玩兒到很晚，那么第二天小紅上課遲到的概率有多大？有些學(xué)生根據(jù)自己的生活經(jīng)驗說小紅上課遲到的概率是80%，有些學(xué)生認為小紅上課遲到的概率只有10%.因為每個學(xué)生的生活規(guī)律和生活經(jīng)驗不同，所以對此情境的看法也有所不同.

教師讓學(xué)生通過這兩個情境展開深入的討論，這樣可以有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

2.提升知識整合能力、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想.數(shù)形結(jié)合思想作為解題能力，考查的不僅是學(xué)生的解題效率，還有學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.數(shù)與形在相互轉(zhuǎn)化時，既包含雙向思維，又包含逆向思維.教師可以指導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)現(xiàn)象進行整理分析并以此來培養(yǎng)學(xué)生的雙向思維、逆向思維以及數(shù)學(xué)化歸思維等.教師要引導(dǎo)學(xué)生自行對數(shù)學(xué)現(xiàn)象進行歸納總結(jié).教師可以先教授學(xué)生知識點，在學(xué)生理解了知識點后給學(xué)生展現(xiàn)數(shù)學(xué)現(xiàn)象，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已經(jīng)學(xué)過的知識點觀察分析數(shù)學(xué)現(xiàn)象，從而得出正確的結(jié)論.這樣可以培養(yǎng)學(xué)生的雙向思維.或者教師可以給出一個數(shù)學(xué)現(xiàn)象，讓學(xué)生反向推論數(shù)學(xué)知識.如教師可以給學(xué)生展示幾何體的表面積與體積，然后讓學(xué)生根據(jù)體積公式、表面積公式來推導(dǎo)此公式是如何產(chǎn)生的，通過這樣的方式培養(yǎng)學(xué)生的分析能力，讓學(xué)生能夠突破一般的思維，利用逆向思維來思考問題.這樣一來，學(xué)生在解題時也可以更好地選擇是以形促數(shù)還是以數(shù)促形，從而可以幫助學(xué)生在解題時探索新思路.

(二)以形促數(shù)思想的解題策略

(三)以數(shù)促形思想的解題策略

教師要通過例題講解幫助學(xué)生掌握以數(shù)促形的方法并在解題時滲透數(shù)形結(jié)合思想.

五、結(jié)束語

綜上所述，數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)中的重要思想，利用數(shù)學(xué)結(jié)合思想可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.因此，教師要先通過課堂教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，在日常教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想，然后通過例題講解幫助學(xué)生具體地掌握數(shù)形結(jié)合思想在解題中的策略，這樣可以有效提高學(xué)生的解題能力.