高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)常規(guī)題型解題策略分析
——以“正、余弦定理”為例

◎張新秀

(張家港高級中學(xué)，江蘇 張家港 215600)

一、引 言

解決三角函數(shù)題型時，常常有兩種思路，也就是正弦定理或余弦定理，相比之下，通過正弦定理進(jìn)行解題計算過程較為復(fù)雜，學(xué)生更多地會運(yùn)用余弦定理進(jìn)行解題，即對角A運(yùn)用余弦定理，將其整理成與c有關(guān)的一元二次方程，即c2-2bccosA+b2-a2=0.學(xué)生通常這么理解.如果方程是無解或者僅有負(fù)數(shù)解，那么三角形無解；如果方程存在正數(shù)解，三角形僅有一解；如果方程有兩個不相等的正數(shù)解，三角形則有兩個解.解答三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)階段的主要內(nèi)容，題目難度不是很大，主要是運(yùn)用正、余弦定理具備的技巧變形達(dá)到三角形邊角的轉(zhuǎn)換.因此，在解題時，需要注重方程思想、整體思想的合理運(yùn)用，以確保三角函數(shù)解題的正確率與效率.

二、高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)教學(xué)分析

1.教學(xué)目標(biāo)及重難點

(1)教學(xué)目標(biāo)

①通過對任意三角形的邊長及其角度存在的關(guān)系，掌握正弦定理、余弦定理的相關(guān)內(nèi)容及其證明方法，并學(xué)會通過正弦定理、余弦定理以及三角形內(nèi)角和的定理等，解決斜三角形相關(guān)問題.

②運(yùn)用正弦、余弦定理進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)，掌握三角形邊長與其角度之間存在的數(shù)量關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的思維能力.學(xué)生經(jīng)過積極參與以及親自實踐，有效解決相關(guān)問題.

③通過學(xué)習(xí)三角函數(shù)的內(nèi)容，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的興趣，培養(yǎng)學(xué)生積極探索、獨立思考的精神.

(2)教學(xué)重難點

重點：掌握正弦、余弦定理的內(nèi)容，并學(xué)會靈活應(yīng)用.

難點：通過正弦定理、余弦定理等相關(guān)知識，解決測量以及幾何計算等有關(guān)的問題.

(3)蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想與方法

常見的數(shù)學(xué)思想有數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)學(xué)模型等.

2.基礎(chǔ)知識概述

(1)正弦定理

其中，三角形的三條邊長分別為a，b，c，其對應(yīng)的角分別是A，B，C，R屬于三角形外接圓的半徑.此定理可以對三角形的形狀進(jìn)行有效判斷，也能夠有效轉(zhuǎn)化三角形中的邊角關(guān)系.

(2)余弦定理

余弦定理可有效反映出三角形的邊與其對應(yīng)角的余弦值存在的關(guān)系，也就是：a2=b2+c2-2bccosA；b2=a2+c2-2accosB；c2=a2+b2-2abcosC.其中，三角形的三條邊a，b，c對應(yīng)的角為A，B，C.作用主要是解決三角函數(shù)問題，并對三角形的形狀進(jìn)行判斷，其功能就是有效轉(zhuǎn)化三角形中的邊與角.

三、有關(guān)“正、余弦定理”常規(guī)題型解題策略

1.用“正弦定理”解三角形

對A進(jìn)行分類討論：

當(dāng)A=60°時，C=180°-45°-60°=75°，

當(dāng)A=120°時，C=180°-45°-120°=15°，

評析：已知兩個角和一邊，能夠求解出第三個角，解這種三角形通常需要直接運(yùn)用正弦定理進(jìn)行求解；已知兩條邊與一邊的對角，在解三角形時，可通過正弦定理求得另一條邊的對角，然后進(jìn)行角的討論.此題屬于難點題，在解題時需多加注意.

2.用“余弦定理”解三角形

(1)求角B；

評析：(1)通過余弦定理將角化為邊實施變形則能使本題得到有效解答.(2)對余弦定理及其相關(guān)推論進(jìn)行熟練運(yùn)用，并注重方程思想、整體思想的合理運(yùn)用.

3.用“正、余弦定理”判斷三角形的形狀

評析：判斷三角形的形狀的基本思想：通過正、余弦定理實現(xiàn)三角形邊角的統(tǒng)一，也就是把條件轉(zhuǎn)變?yōu)楹薪堑娜呛瘮?shù)式，并通過三角恒等變換轉(zhuǎn)變成內(nèi)角與內(nèi)角的關(guān)系式，或者是把條件轉(zhuǎn)變成含有三角形邊的關(guān)系式，并經(jīng)過常見的化簡，獲得三邊存在的關(guān)系.

4.用“正、余弦定理”解決三角形實際問題

(1)用“正、余弦定理”解決距離測量問題

距離測量的問題并非位于“角度”上設(shè)置問題，更多的是在三角形選擇上設(shè)置問題.距離類的問題解答過程通常會涉及較多的量，學(xué)生需要選擇適合的三角形對未知量進(jìn)行求解.首先，選擇涉及所求量的三角形；其次，選擇涉及其他未知量的三角形.

例如，如圖1所示，某個快遞員由點A出發(fā)，順著小路AB→BC，其以20 km/h的平均速度將快遞送至C地，現(xiàn)已知BD=10 km，∠DCB=45°，∠CDB=30°，已知△ABD為等腰三角形，且∠ABD=120°.

圖1

(1)快遞員是否可以在50 min之內(nèi)把快遞送到C地？

(2)快遞員在出發(fā)了15 min之后，快遞公司才發(fā)現(xiàn)快件存在一定的問題，因為通信不暢通，公司就只能派車順著大路AD至DC追趕，如果汽車的平均時速是60 km/h，那么汽車是否可以先到C地？

解析：(1)依據(jù)正弦定理可求得BC的長，從而得出AB=10，求得快遞員由A至C的整個路程，然后計算到C地的具體時間，從而實現(xiàn)問題的有效解決.(2)依據(jù)余弦定理計算出AD和DC的長度，計算得出汽車行駛的具體路程，然后求出汽車到C地花費(fèi)的時間，計算出其和快遞員花費(fèi)時間的差，從而實現(xiàn)問題的有效解決.

(2)用“正、余弦定理”解決高度測量問題

高度測量的問題屬于十分重要的概念，“仰角”“俯角”“方位角”等，這些是解題關(guān)鍵.在解決高度問題的過程中，學(xué)生需要關(guān)注平面圖形與空間圖形的有效轉(zhuǎn)變和結(jié)合，這對其想象力的要求通常是極其嚴(yán)格的.

例如，如圖2，在距離地面400 m高的熱氣球上，觀看到山頂?shù)腃處仰角是15°，山腳的A處俯角是45°，現(xiàn)已知∠BAC=60°，那么山的高度BC是( ).

A.700 m B.640 m C.600 m D.560 m

圖2

解析：本題給出的圖中已經(jīng)將仰角、俯角都標(biāo)了出來，其有效簡化了數(shù)學(xué)題的難度.若沒有展示圖，學(xué)生也要了解題目中角都是垂面上形成的角，要學(xué)會“定坐標(biāo)系”，會畫圖.題目給出了高度以及三個角度，就能利用正、余弦定理進(jìn)行求解.

(3)用“正、余弦定理”解決角度測量問題

利用“正、余弦定理”解決角度測量問題，最重要的就是明確題意，畫出對應(yīng)的圖形，如果學(xué)生畫出的圖形與題目不符合，就無法求出正確答案.因此，學(xué)生在畫圖的時候，需要關(guān)注“角度”與“方位”，并畫出美觀且切題的圖形.

A.15° B.30° C.45° D.60°

解析：依據(jù)題意先畫出圖形，詳見圖3，題目給出了甲船的位置為A點，題目給出的乙船位置為B點，依據(jù)北偏東60°與a海里在圖中標(biāo)出B的位置，乙船行駛方向是正北，沿著正北方向由B點出發(fā)，畫出線段，另一端則記作C.甲船追趕著乙船，甲乙兩個船的終點是相同的.因此，AC是甲船行駛的方向.

圖3

四、結(jié)束語

綜上所述，高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)關(guān)于“正、余弦定理”的常規(guī)題型解題中，關(guān)鍵是對給定的方程實施化簡與變形.正弦定理、余弦定理是三角形的各邊、角實現(xiàn)有效聯(lián)系的重要紐帶，合理地選擇與運(yùn)用正、余弦定理，能實現(xiàn)高效轉(zhuǎn)化的效果.因此，在具體解題時，學(xué)生需要明確目標(biāo)與思路，不論是轉(zhuǎn)化為邊，還是轉(zhuǎn)化為角，都能實現(xiàn)三角函數(shù)問題的高效解答.