三角函數(shù)學(xué)習(xí)分化點的分析和教學(xué)策略

◎潘曉云

(山東省日照第一中學(xué)，山東 日照 276827)

一、三角函數(shù)學(xué)習(xí)分化點分析

(一)分化點的具體內(nèi)容統(tǒng)計

(二)分化點的分布特點

(1)處于分化點的內(nèi)容往往在所在的知識體系中處于比較重要的位置，也是教師在教學(xué)設(shè)計中的重點和難點，比如正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)，兩角差的余弦公式，等等.

分類分化點 所在章節(jié) 教學(xué)表現(xiàn)具體內(nèi)容1.2.1三角函數(shù)的定義弱分化點理解三角函數(shù)的定義,了解終邊相同的同一三角函數(shù)值都相等;掌握三角函數(shù)的定義域1.2.3同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式強(qiáng)分化點理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,并能利用公式進(jìn)行簡單的求值、化簡和證明1.2.4誘導(dǎo)公式強(qiáng)分化點理解任意角α與α+k·2π(k∈Z),α與-α的三角函數(shù)間的關(guān)系;理解任意角α與α+(2k+1)π(k∈Z),α與α+π2的三角函數(shù)間的關(guān)系1.3.1正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)強(qiáng)分化點會用單位圓中的正弦線畫出正弦函數(shù)圖像;熟練運(yùn)用五點作圖法作出正弦函數(shù)的簡圖函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖像及性質(zhì)強(qiáng)分化點能正確使用“五點法”“圖像變換法”畫出y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖像;會用“換元法”研究正弦型函數(shù)的性質(zhì)3.1.1兩角和與差的余弦強(qiáng)分化點會推導(dǎo)兩角和與差的余弦公式,并能簡單應(yīng)用3.1.2兩角和與差的正弦強(qiáng)分化點能根據(jù)兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和與差的正弦公式;能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡單的恒等變換3.2.1倍角公式強(qiáng)分化點能根據(jù)兩角差的余弦、正弦公式及兩角和的余弦、正弦公式推導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式;能正確運(yùn)用倍角公式進(jìn)行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式的證明

(2)處于分化點的內(nèi)容往往是對數(shù)學(xué)思維要求比較高的知識點，這些知識點思維抽象，數(shù)學(xué)符號多，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的多種核心素養(yǎng).因此成為高考考查的重點、熱點，如正弦型函數(shù)的圖像和性質(zhì)，三角恒等變換，等等.

(3)在不同的模塊中，分化點在很多情況下是多種形式的，可能是陳述型、程序型、過程型等兩種或者以上的綜合體，考查的能力也是多樣的，如三角恒等變換中，公式多，題型靈活，綜合性強(qiáng).

(三)分化點產(chǎn)生的因素

(1)由于分化點內(nèi)容本身較抽象、難度高、知識點多,因此對學(xué)習(xí)者的分析理解能力、邏輯思維要求都較高.

(2)學(xué)生對高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的適應(yīng)能力不同,包括閱讀方式、學(xué)習(xí)方式、思維習(xí)慣等不同,由此導(dǎo)致學(xué)生思想的變異和分化嚴(yán)重.

(3)教師對分化點了解不足,教學(xué)方式的固定以及對課堂知識的影響都可以導(dǎo)致分化點的增加.

(4)學(xué)生對理論、方法的掌握不徹底,甚至不能運(yùn)用;在課堂上質(zhì)量很差,對所授內(nèi)容掌握不牢固;思考時間不足,做題時間也不足;反思總結(jié)很少;心態(tài)不積極.

二、三角函數(shù)學(xué)習(xí)分化點的教學(xué)策略

教育的魅力就在于它的復(fù)雜性與過程性.在此過程中，因為知識的層層深入，難度的層層遞進(jìn)，學(xué)生分化點由此形成.教師在教學(xué)過程中，不僅僅是知識的傳播者，更是學(xué)生的引領(lǐng)者.對學(xué)生出現(xiàn)的問題，必須去探究是哪些因素的作用，如何去消除其中的不利因素，及時清理學(xué)生的障礙,如此就可以更好地處理數(shù)學(xué)分化點的問題.

(一)突破分化點的一般教學(xué)策略

(1)更新觀念，面向全體

高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)強(qiáng)調(diào),必修的教學(xué)是要適應(yīng)全體中小學(xué)生的共同數(shù)學(xué)需要,是學(xué)校教育必需的重要教育科目.所以教師的授課必須針對每個孩子,尤其是分化點的教學(xué)，要特別重視學(xué)困生和有分化傾向的孩子,針對不同的孩子，針對不同的學(xué)習(xí)特點,分層教學(xué).

(2)教學(xué)設(shè)計要針對分化點層層遞進(jìn)，讓學(xué)生有“豁然開朗、柳暗花明”的體會

在分化知識點的教學(xué)方面,應(yīng)根據(jù)課程性質(zhì)和學(xué)習(xí)者的理解程度,在課程設(shè)置中細(xì)致分類,合理劃分,從而降低難度,以問題為引領(lǐng)，逐漸深入，必要時反復(fù)鞏固.使知識由單純的記憶層面向認(rèn)知、運(yùn)用、創(chuàng)造的層面逐步深入,逐步提高.

(3)激發(fā)學(xué)生的“內(nèi)驅(qū)力”，讓學(xué)生體會到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣

分化點的知識就是學(xué)生思維的弱點，也是學(xué)生畏懼的地方，要求他們付出更大的努力,所以發(fā)揮他們的主動性變得尤為重要.教師應(yīng)積極引導(dǎo)，變學(xué)生的被動學(xué)習(xí)為自主學(xué)習(xí)，對分化點的教學(xué)能起到事半功倍的作用.

(4)注重學(xué)法指導(dǎo)，讓學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣

分化點的學(xué)習(xí)也要注重學(xué)習(xí)方法，很多同學(xué)一直不適應(yīng)高中的思維方式，還是沿用初中的學(xué)習(xí)方法，教師要引導(dǎo)學(xué)生調(diào)整自己的學(xué)習(xí)方法，督促學(xué)生注意反思總結(jié).譬如做筆記時要學(xué)會分類整理，學(xué)會用自己的語言去分析問題，甚至可以寫出自己的心得，如此這般學(xué)生對知識的掌握更加牢固,也有助于學(xué)生對分化點的學(xué)習(xí).

具體要做到以下幾點：

①引導(dǎo)學(xué)生注意新知識的生成過程.比如,誘導(dǎo)公式的教學(xué)要與正確理解、正確掌握、靈活運(yùn)用相結(jié)合,切忌直授公式,注重演繹方法.比如有的教師把誘導(dǎo)公式總結(jié)成:奇變偶不變,符號看象限.在實際做題的過程中學(xué)生出錯率還是比較高，究其原因,口訣確實朗朗上口,但學(xué)生卻沒有理解誘導(dǎo)公式的實質(zhì),沒有明白公式的基本結(jié)構(gòu)特征,也只有當(dāng)他們真正掌握了誘導(dǎo)公式的實質(zhì)內(nèi)容,明白了公式的來龍去脈后,才能夠根據(jù)口訣更快更正確地運(yùn)用公式.

②注重數(shù)形的結(jié)合.比如對三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的掌握,既是重點,也是強(qiáng)分化點,就必須培養(yǎng)學(xué)習(xí)者“看圖說話”的基本意識,根據(jù)圖像探索特性,一目了然.

③培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力.例如，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)每一塊知識常見的模型即所謂的母題;再如,讓學(xué)生總結(jié)同種類型題中不同的思維方法,即一題多法,又或者尋找解決各類問題的方法,而總結(jié)出它們共性的數(shù)學(xué)思維方式,即多題一法,從而形成解題模式.

④加強(qiáng)自我監(jiān)控能力的訓(xùn)練.分化點之所以讓學(xué)生分化，正是因為它們的難度超出了某些同學(xué)的能力，因此要重點引導(dǎo)他們在知識點構(gòu)建和難題處理時該怎樣監(jiān)測、控制和反思自身的復(fù)習(xí)方法和解題方式,引導(dǎo)他們歸納、整理解題方式與思路.比如在研究三角函數(shù)的性質(zhì)時,應(yīng)該幫助學(xué)生建立整體代換的方法意識;在解決三角恒等變換中函數(shù)為正余弦的二次型的問題時,應(yīng)該幫助學(xué)生形成降冪—化正弦型或余弦型這一程序；等等.這樣隨著學(xué)生一次次成功地完成這些過程,他們便能產(chǎn)生自動化、無意識的思維,以便實現(xiàn)解題方式的分化.

(二)不同類型分化點的教學(xué)策略

(1)要加強(qiáng)概念教學(xué)，重視概念形成過程

比如在“任意角的三角函數(shù)的定義”的概念教學(xué)中，可采用以下的思路：

師：我們已經(jīng)推廣了角的概念，并且也學(xué)習(xí)了平面直角坐標(biāo)系中的角，你能把銳角的三角函數(shù)也放在直角坐標(biāo)系中研究嗎？如果能，初中三角函數(shù)定義中的直角三角形可以用什么代替呢？

生1:能，可以從終邊上一點作x軸垂線，原點、終邊上的點、垂足構(gòu)成了直角三角形.

師:銳角三角函數(shù)定義中相應(yīng)的量就用坐標(biāo)系中的哪些量來代替了？

生2：對邊就成了點的縱坐標(biāo)，臨邊就成了點的橫坐標(biāo)，斜邊就成了點到原點的距離

師：如果在銳角α的終邊上另取一點P1(x1,y1)，那這個銳角的三角函數(shù)值發(fā)生變化嗎？為什么？

生3：不變.因為三角形相似，對應(yīng)邊成比例

探究1銳角α的三角函數(shù)值與誰有關(guān)？與誰無關(guān)？

生4：與終邊上的點的位置無關(guān)，只與角的大小有關(guān)

探究2：既然與點的位置無關(guān)，同學(xué)們能否在角的終邊上找到一個合適的點P，使三角函數(shù)的表達(dá)式更簡潔呢？

由上一環(huán)節(jié)得到單位圓上點的坐標(biāo)表示的銳角三角函數(shù)：

探究3：請同學(xué)們用同樣的思路研究任意角的三角函數(shù)的定義.

探究4：根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義，它們的自變量和函數(shù)值分別是什么？定義域呢？

這樣的設(shè)計以“過程—對象—過程”的循環(huán)模式引入數(shù)學(xué)知識，以概念形成的方式進(jìn)行教學(xué)，以歸納的形式概括出這類事物的本質(zhì)屬性[4].

(2)要加強(qiáng)解題指導(dǎo)，重視對學(xué)生的引導(dǎo)

下面以一個例題為例談?wù)勅绾我龑?dǎo)學(xué)生在解決問題的過程中培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)能力.

探究1：化簡函數(shù)的處理路徑？(化為正弦型函數(shù))

探究2：條件“f(x)在(π,2π)內(nèi)沒有零點”的處理策略？一是直接處理，轉(zhuǎn)化為恒成立問題；二是間接處理，轉(zhuǎn)化為存在性問題.下面分小組分別探究：

【點評】1.直接處理，是全稱命題，為不等式恒成立問題；2.無窮個否定性命題的處理與轉(zhuǎn)化，最后化為集合的交并補(bǔ)運(yùn)算.

方法2:若函數(shù)f(x)在(π,2π)內(nèi)沒有零點，則(π,2π)是函數(shù)f(x)正區(qū)間的子集，或是負(fù)區(qū)間的子集

【點評】1.間接處理，是特稱命題，為存在性問題；2.轉(zhuǎn)化為存在性問題：(π,2π)是某個同號區(qū)間的子集；3.由必要條件確定整數(shù)k的取值(難點)；4.注意分離參數(shù)異同(ω限制k還是k限制ω)，以及不等式傳遞性探求必要條件.

通過上述對例題深度的逐漸展開，教師有效地調(diào)動了學(xué)生的積極性.而且,通過對問題的剝繭抽絲，教師也能夠達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的目的.

(3)在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法，重視作圖、讀圖能力

數(shù)形結(jié)合的思想不僅是解決數(shù)學(xué)問題的一種策略和思想，也是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的方法.三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)一節(jié)，重點考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，而三角函數(shù)的圖像則是研究三角函數(shù)的性質(zhì)、解決三角函數(shù)相關(guān)問題的重要的工具，正所謂“以形助數(shù)”，因此，把握好數(shù)形結(jié)合思想是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵之一，也是突破三角函數(shù)學(xué)習(xí)分化點的關(guān)鍵之一.

(4)在公式的教學(xué)中，要重視公式的推導(dǎo)過程以及公式之間的聯(lián)系

如和角公式與差角公式的教學(xué)中，由于結(jié)構(gòu)相似，學(xué)生容易將公式混淆，教學(xué)中要讓學(xué)生自己動手去推導(dǎo)，教師只是提示公式之間的邏輯關(guān)系，這樣學(xué)生更能理解公式的結(jié)構(gòu)以及公式之間的聯(lián)系，從而更好地記憶公式.同時，在推導(dǎo)完公式后，教師要及時設(shè)置題組對公式的正向使用及逆向使用進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，達(dá)到及時鞏固的目的.久而久之，就可以讓學(xué)生靈活準(zhǔn)確地運(yùn)用公式，并且可以促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展[5].

總之，分化點的處理是一個比較復(fù)雜的課題，不同類型的分化點處理策略也不同，老師只有認(rèn)真鉆研教材教法，用心研究分化點產(chǎn)生的原因，改進(jìn)教學(xué)，才能較好地解決數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)分化點的問題，從而突破分化點或降低分化點的難度.