GeoGebra軟件在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探究

◎周春燕 王 靜 吳小濤 毛雅茜

(黃岡師范學(xué)院，湖北 黃岡 438000)

一、研究背景

在如今的“互聯(lián)網(wǎng)+”時代，根據(jù)前期的教學(xué)實(shí)踐研究可以發(fā)現(xiàn)，對于信息技術(shù)軟件的適當(dāng)、正確使用，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到了有效提升，數(shù)學(xué)概念也得到了深入理解，如今的數(shù)學(xué)課堂在這樣的信息技術(shù)環(huán)境下得到了改善，有助于突破[1].研究發(fā)現(xiàn)，GeoGebra(以下簡稱GGB)軟件是一款動態(tài)教學(xué)軟件，它功能豐富，能應(yīng)對教與學(xué)兩方面、進(jìn)行幾何板塊的作圖、代數(shù)板塊的運(yùn)算和數(shù)據(jù)處理.更重要的是，在整個教學(xué)過程中，該軟件能滲透每個板塊的內(nèi)容本質(zhì)，幫助學(xué)生理解“抽象的數(shù)”“可見的形”之間的聯(lián)系橋梁，理解相關(guān)概念的本質(zhì)，使得學(xué)生的思維得到相應(yīng)水平的發(fā)展，改變以往課堂上對于數(shù)學(xué)概念“只可意會不可言傳”的抽象性[2].因此，將GGB軟件的直觀性優(yōu)勢應(yīng)用于實(shí)際數(shù)學(xué)課堂，達(dá)到數(shù)學(xué)課堂與信息技術(shù)的“深度融合”是許多教育研究者和教師的追求.

當(dāng)今時代正在發(fā)生突飛猛進(jìn)的變化，新課標(biāo)的研究內(nèi)容也發(fā)生著與時俱進(jìn)的變化，表明教育事業(yè)需要不斷創(chuàng)新與發(fā)展.比如，在2019年的人教版高中數(shù)學(xué)教材中，GGB軟件出現(xiàn)在教科書中，成為當(dāng)前信息技術(shù)軟件應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)的推薦軟件.在實(shí)際課堂教學(xué)中，GGB軟件的教學(xué)優(yōu)勢是，將于書本上抽象的文字、概念等，通過直觀性的演示轉(zhuǎn)換成學(xué)生可以理解的清晰直觀的圖像、知識.這加深了學(xué)生對于知識的理解，學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)積極性都得到提高，促進(jìn)教學(xué)質(zhì)量、教學(xué)有效性的提升，高效實(shí)施課堂教學(xué)目標(biāo)[3].

二、GGB軟件簡介

GGB軟件是一款動態(tài)性的教學(xué)軟件，由于當(dāng)前教學(xué)現(xiàn)狀以及軟件自身優(yōu)勢可見，該軟件的應(yīng)用頻率以及效果都有顯著提升.首先，該軟件在數(shù)學(xué)教學(xué)中對代數(shù)和幾何兩個板塊的內(nèi)容教學(xué)時具有顯著作用，因此它的英文全稱GeoGebra由Geometry(幾何)的前三個字母geo及Algebra(代數(shù))的后五個字母gebra組合而成.但該軟件的功能包含并不僅限于這兩個方面，如立體幾何、統(tǒng)計(jì)與微積分、立體幾何、平面幾何、列表、代數(shù)等.由于數(shù)學(xué)課堂中的大多數(shù)軟件都是非常抽象的，而處于該階段的學(xué)生的大多數(shù)思維的抽象性還不夠完善，導(dǎo)致對于集合、函數(shù)這樣高度抽象性教學(xué)內(nèi)容的教學(xué)效果并不是太好.因此，通過相關(guān)研究可以發(fā)現(xiàn)，該軟件在數(shù)學(xué)教學(xué)中最顯著的優(yōu)勢在于動態(tài)教學(xué)性，可以清晰實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，將其中抽象性的內(nèi)容進(jìn)行直觀展示，促使學(xué)生的思維形成形象的、動態(tài)的、具體的知識，使得概念得到深入理解[4].

三、GGB軟件在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用探究

(一)在函數(shù)中的應(yīng)用

在中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)際課堂中，函數(shù)是其中重要的一條主線，函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容是需要學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中主動概括理解.這一教學(xué)內(nèi)容是抽象的、不直觀的，對于學(xué)生學(xué)習(xí)有一定的難度，學(xué)生常常感到無從下手.要想解決這些問題，需要幫助學(xué)生對這一內(nèi)容進(jìn)行直觀性地理解，加強(qiáng)學(xué)習(xí)的興趣[5].函數(shù)的圖像能清楚直觀地顯示出函數(shù)的性質(zhì)，這就是函數(shù)數(shù)量關(guān)系中直觀性的“形”，這使數(shù)學(xué)規(guī)律得到了清楚的表達(dá).在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師可以通過有效的利用GGB軟件繪制函數(shù)圖像，將抽象的函數(shù)關(guān)系式直觀地表現(xiàn)出來，使其變活了，學(xué)生能夠直觀地理解其性質(zhì).同時，在利用數(shù)學(xué)知識解決有關(guān)實(shí)際問題時，根據(jù)需要的要求畫出函數(shù)圖像，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，能夠更加深入、有效、直觀地進(jìn)行數(shù)學(xué)有關(guān)研究[6]，對問題能有更深入的理解.下面介紹幾個在函數(shù)教學(xué)中的案例.

1.繪制初等函數(shù)的圖像

指數(shù)函數(shù)y=ax和對數(shù)函數(shù)y=logax是高一學(xué)生接觸較早的兩大基本初等函數(shù)，在數(shù)學(xué)課堂上，通過教師的引導(dǎo)，學(xué)生在GGB軟件中可以清晰、簡單地繪制出它們的圖像，進(jìn)而直觀深入地研究其性質(zhì)(如圖1所示).

圖1 y=ax，y=logax的圖像

在該軟件中繪制y=ax，y=logax等類型的中學(xué)階段需要學(xué)習(xí)的函數(shù)，學(xué)生利用函數(shù)圖像，同時利用滑竿滑動改變數(shù)值a的大小，即可清楚、直觀地探究得到函數(shù)的性質(zhì).

2.繪制分段函數(shù)的圖像

圖2 分段函數(shù)的圖像

如圖2所示，可見在研究分段函數(shù)的性質(zhì)時，該軟件的最顯著作用在于可以加強(qiáng)教學(xué)的直觀性.

在函數(shù)內(nèi)容的有關(guān)教學(xué)中，GGB軟件的優(yōu)勢在于可以動態(tài)展示函數(shù)圖像；還可以在教師教學(xué)時體現(xiàn)教師角度“動態(tài)教學(xué)”的效果，有效提升教師的教學(xué)效果.這樣進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的原因在于，能夠加強(qiáng)學(xué)生對函數(shù)知識更深入的理解，能更好地研究其性質(zhì)，更好地研究與圖像的關(guān)聯(lián).在以后的學(xué)習(xí)中，對函數(shù)能進(jìn)行更直觀的刻畫，更好地進(jìn)行教學(xué)，加強(qiáng)教學(xué)的直觀性，促進(jìn)學(xué)生深入學(xué)習(xí).

(二)在幾何中的應(yīng)用

幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)課堂中的另一重要主線，學(xué)習(xí)幾何，學(xué)生是學(xué)習(xí)幾何的結(jié)構(gòu)和幾何形狀，然后對它們的關(guān)系和特點(diǎn)進(jìn)行分析[7].學(xué)習(xí)幾何的難點(diǎn)在于需要將文字語言、圖形語言、符號語言這幾種語言進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，以及將文字條件與圖形條件和符號進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化.這些難點(diǎn)對于學(xué)生而言是非常抽象的，正因如此GGB軟件應(yīng)用于數(shù)學(xué)幾何教學(xué)中，由于它的直觀性，抽象的幾何問題也就迎刃而解了.

在慣性思維中，數(shù)學(xué)課堂是枯燥乏味的，學(xué)生存在著排斥意識，但將GGB在適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)板塊中，有效運(yùn)用于數(shù)學(xué)課堂，可以增添學(xué)生的探究意識，讓學(xué)生自己動手動腦去操作，去親身“做數(shù)學(xué)”，鼓勵學(xué)生進(jìn)行有趣的探究和實(shí)驗(yàn)[8].下面介紹一個在幾何教學(xué)中的案例：圓柱切割的截面圖形有哪些？

圓柱可以截出4種截面，有圓形，有長方形，有橢圓形，有類似于橢圓一部分的圖形.在實(shí)際教學(xué)課堂中，學(xué)生運(yùn)用頭腦想象出來是相當(dāng)抽象的，下面運(yùn)用GGB軟件的3D繪圖功能繪制其截面圖形，展示其直觀教學(xué)的優(yōu)勢.

1.圓 形

當(dāng)截面與圓柱體的底面平行時，截面為圓形，如圖3所示.

圖3 截面為圓形

2.長方形

當(dāng)截面與圓柱體的底面垂直時，截面為長方形，特殊情況下截面為正方形，如圖4、圖5所示.

圖4 截面為長方形

圖5 截面為正方形

3.橢圓形(部分)

當(dāng)截面與上、下兩底面的交線長不相等時，截面是類似于橢圓的一部分的圖形，如圖6、圖7所示.

圖6 過一底面，截面為橢圓形(部分)

圖7 過兩底面，截面為橢圓形(部分)

4.橢圓形

當(dāng)截面與圓柱的底面成一銳角時，截面為橢圓形，如圖8所示.

圖8 截面為橢圓形

從以上案例可以看出，使用GGB的3D功能來繪制立體幾何，借助其形象生動具體的優(yōu)勢解決有關(guān)問題，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，感受到數(shù)學(xué)的無窮魅力，吸引學(xué)生進(jìn)行深入探索，讓抽象復(fù)雜的問題變得簡單易懂，鼓勵師生在今后的教學(xué)中有效運(yùn)用該軟件.運(yùn)用GGB軟件繪制幾何圖形的3D模型，讓原本抽象的立體幾何在學(xué)生的頭腦里清晰起來，產(chǎn)生了深刻的影響，有效提高了教學(xué)效果.

四、GGB軟件在教學(xué)中表現(xiàn)出的優(yōu)勢

(一)GGB具有代數(shù)、幾何功能

在目前實(shí)際的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂中，課堂上所需要的動態(tài)教學(xué)軟件應(yīng)具有代數(shù)、幾何這兩大板塊的功能，GGB軟件正好符合.首先，該軟件名稱GeoGebra的前三個字母取自英文單詞幾何(Geometry)的前三個字母，后五個字母取自代數(shù)的英文單詞(Algebra).這就很形象地展示了GGB軟件的代數(shù)與幾何功能，一方面是關(guān)于代數(shù)的，也就是該軟件有可以處理數(shù)方面的功能，如函數(shù)的微分與積分；另一方面是關(guān)于幾何的，可以畫出點(diǎn)、線、面、多邊形、立體圖形等.

(二)可以讓學(xué)生親歷操作過程，參與數(shù)學(xué)活動

GGB軟件在教學(xué)上的優(yōu)勢體現(xiàn)在兩個方面：一是GGB可以在短時間內(nèi)達(dá)到動態(tài)演示，可以在動態(tài)的過程中測量角度、長度等，可通過滑竿工具，簡單快捷地變換圖形的形狀、大小等.這可以幫助學(xué)生不是抽象地接受教師傳遞過來的經(jīng)驗(yàn)，而是能夠自主“研究數(shù)學(xué)”，進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn).二是GGB提供的與傳統(tǒng)教學(xué)環(huán)境不一樣的理想的問題求解環(huán)境，可以促進(jìn)學(xué)生根據(jù)自己的興趣愛好，自主探究解決更多的創(chuàng)造性問題.比如，像文中解決“圓柱體的截面圖形是什么”時，直觀的動態(tài)演示讓學(xué)生的理解更清晰，掌握起來更靈活.利用GGB軟件中的繪制立體圖形選項(xiàng)，可以快速繪制出一個圓柱體，然后根據(jù)題目要求，引導(dǎo)學(xué)生探究繪制截面圖形，可利用繪制點(diǎn)、線、 面等操作，按照一點(diǎn)的思維方式，直觀且清晰地顯示出截面圖形.學(xué)生的思維更加直觀，思考的空間也更加寬泛，能通過自己的探究得到問題答案.在這樣的學(xué)習(xí)條件下，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣能得到提高，創(chuàng)新能力、解決問題的能力、動手操作能力、思維理解力都能得到顯著提高.

(三)利用GGB動態(tài)展示教學(xué)內(nèi)容，把抽象的數(shù)學(xué)教學(xué)變得形象直觀

初中階段對于學(xué)生而言是形象思維向抽象思維的轉(zhuǎn)變階段，而數(shù)學(xué)又是一門邏輯性強(qiáng)、抽象性大的主要學(xué)習(xí)科目，因此這個階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)新增了函數(shù)、立體幾何等抽象性較強(qiáng)的學(xué)習(xí)內(nèi)容.在學(xué)習(xí)的初始階段，大部分學(xué)生是非常吃力的，并且厭學(xué)情緒會日益增長.因此，教師對學(xué)生的引導(dǎo)，以及教學(xué)方法、教學(xué)工具的使用就應(yīng)該加以改進(jìn).因此，在當(dāng)前的信息化教學(xué)日益高漲的教學(xué)情境下，教學(xué)研究者以及一線教師應(yīng)多采用信息技術(shù)軟件，利用其視覺化、多樣化、形象化的優(yōu)勢，應(yīng)用其可視化的教學(xué)特點(diǎn)，對課堂進(jìn)行創(chuàng)造性的設(shè)計(jì)，優(yōu)化課堂.在這樣的教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)概念尤其是抽象概念，能得到更好的形成與發(fā)展，真正展現(xiàn)出數(shù)學(xué)思維的實(shí)質(zhì)以及具體的形成過程.重要的是，在這樣的一個動態(tài)教學(xué)的環(huán)境下展示抽象的數(shù)學(xué)問題和內(nèi)容，能夠更加直觀、清晰、生動，將抽象的內(nèi)容具體化，教學(xué)的趣味性也能夠得到提高，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

五、結(jié) 語

數(shù)學(xué)是一門研究事物本質(zhì)的學(xué)科，是一種研究工具，它最大的特點(diǎn)也是它的最大難點(diǎn)，就是具有思維的抽象性、推理的嚴(yán)謹(jǐn)性和應(yīng)用的廣泛性.通過本文以及相關(guān)文獻(xiàn)可發(fā)現(xiàn)，GGB軟件運(yùn)用于課堂教學(xué)可增強(qiáng)教學(xué)直觀性，可為課堂教學(xué)提供直觀的觀察、視覺的感知、準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)等，這對于揭示數(shù)據(jù)需要傳遞的內(nèi)在信息、幫助學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)本質(zhì)、培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維品質(zhì)、發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)都具有重要的作用[9].

GGB軟件能處理代數(shù)、解析幾何、立體幾何、微積分與導(dǎo)數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)等中學(xué)數(shù)學(xué)課堂中的大部分教學(xué)內(nèi)容，這相對于幾何畫板等常規(guī)數(shù)學(xué)教學(xué)軟件而言有著不容忽視的全方位優(yōu)勢，這可能會帶來一場基于“數(shù)學(xué)可視化”方面的新變革，能逐步實(shí)現(xiàn)利用信息技術(shù)進(jìn)行有效教學(xué)，實(shí)現(xiàn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課堂的深度融合.教師應(yīng)借助GGB軟件的“動態(tài)展示”“繪圖”“3D演示”等強(qiáng)大的功能，引導(dǎo)學(xué)生展開探究，加深學(xué)生的領(lǐng)悟，深入數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)部，從而直觀地揭示數(shù)學(xué)的“廬山真面目”，豐富我們的課堂，使我們的教學(xué)更加智慧、有趣、形象、生動.