高職數(shù)學建模與工程思維的相關性研究
——以接觸式輪廓儀的自動標注為例

◎白 余

(昆明鐵道職業(yè)技術學院，云南 昆明 650000)

一、引 言

數(shù)學建模是指從實際問題出發(fā)，通過抽象簡化，利用數(shù)學方法建立模型，再借助計算機相關軟件求解模型，最后應用于實際問題.工程思維是通過研究與實踐應用數(shù)學、自然科學、社會學等知識，來建立或改良各行業(yè)中工藝的加工步驟和應用方式的一種思維方式.學生在數(shù)學建模的過程中可訓練工程思維，而訓練工程思維同時可提升數(shù)學建模能力.高職院校是培養(yǎng)復合型、應用型人才的主戰(zhàn)場，因此工程思維對高職學生尤為重要，有助于職業(yè)院校人才培養(yǎng)目標的實現(xiàn).本文以2020年全國大學生數(shù)學建模競賽D題“接觸式輪廓儀的自動標注”為例，首先介紹題目背景及問題的求解過程，然后結(jié)合工程思維的實現(xiàn)步驟及特征進行相關性研究分析.

二、問題簡述

接觸式輪廓儀是一臺雙坐標測量儀器，它在測量方面起到了很大的作用.工作時，探針接觸到工件的表面就開始勻速滑行(如圖1)，當傳感器感受到被測表面的幾何變化時會在x軸和z軸方向分別采集數(shù)據(jù)，經(jīng)過一段時間的處理，將電信號放大處理并轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號保存在數(shù)據(jù)文件中(如圖2).由于接觸式輪廓儀存在測量儀器不精準、測量位置不精準等問題，采樣數(shù)據(jù)會產(chǎn)生一定誤差，這給工件形狀的標注帶來了影響.為了簡化問題，我們將被測工件的輪廓線假設成只由直線和圓弧構(gòu)成.文中提供了工件1水平放置和傾斜放置時的測量數(shù)據(jù)(附件1)、工件2的多次測量數(shù)據(jù)(附件2—附件4)，請完成工件1和工件2的尺寸標注、校準、輪廓線繪制、修正.(注：附件1—附件4見原題，因篇幅所限，本文未做摘錄)

圖1 接觸式輪廓儀測量示意圖

圖2 數(shù)據(jù)文件中的數(shù)字信號

三、問題求解

問1 工件1尺寸標注

根據(jù)附件1對工件1在水平狀態(tài)下的測量數(shù)據(jù)進行分析，首先將這些數(shù)據(jù)進行預處理，即數(shù)據(jù)的分段壓縮和分段擬合.在分段擬合時，將輪廓線的各段水平線上的點作為分界點.在劃分的每段區(qū)域內(nèi)，以不同的間隔劃分找出均值數(shù)據(jù)進行擬合，再利用兩兩相聯(lián)的函數(shù)方程求出交點坐標.通過對工件輪廓線及數(shù)據(jù)的分析，我們把標注尺寸分為3類(水平線尺寸、斜線尺寸、圓尺寸)，用CAD軟件繪圖并標記出工件1的一些特殊點的相關坐標a1,a2,a3,a4...(如圖3)

圖3 工件1水平放置的部分輪廓線

(1)槽口寬度、水平線段長度尺寸

xn=an+1-an

(2)斜線的相關尺寸

斜線的回歸方程:z=kx+b

斜線的傾斜角：αn=arctankn

(3)圓的相關尺寸

題中共涉及7個圓弧需要計算圓心及半徑，采集圓弧輪廓線上的數(shù)據(jù)，利用Matlab做最小二乘非線性擬合即可求出圓心(x0,z0)及半徑R.

圓的方程：(x-x0)2+(z-z0)2=R2

圓弧長度：l=αR

問2 工件1尺寸校準

根據(jù)附件1中工件1在傾斜狀態(tài)下的測量數(shù)據(jù)，通過Matlab數(shù)據(jù)視圖完成工件1傾斜狀態(tài)輪廓線的繪制(如圖4).首先，選取工件上傾斜度近似的直線作為基準面，利用回歸計算直線方程求出傾斜角θ；然后，根據(jù)計算出的傾斜角θ將輪廓線旋轉(zhuǎn)校正.校正后的輪廓線數(shù)據(jù)與傾斜狀態(tài)的輪廓線數(shù)據(jù)存在如下參數(shù)方程關系：

圖4 工件1傾斜放置的完整輪廓線

接下來，我們進行旋轉(zhuǎn)后工件1輪廓線各部分尺寸的標注(方法同問1)，并比較兩種測量狀態(tài)下工件1各項參數(shù)計算值之間的差異.

問3 工件2尺寸標注及輪廓線繪制

在對工件進行多次檢測時，工件每次放置的角度、測量的起點和終點都會有偏差，這導致每次測量實際上是對整個工件中的某一部分進行檢測.附件2提供了工件2的十次測量數(shù)據(jù)，請基于這些數(shù)據(jù)完成：計算出每次測量時工件2的傾斜角度；標注出工件2輪廓線的各項參數(shù)值；畫出工件2的完整輪廓線.

首先，我們根據(jù)附件2中的數(shù)據(jù)，通過Matlab數(shù)據(jù)視圖完成工件2的輪廓圖的繪制(如圖5)，其中存在數(shù)據(jù)太過接近而導致輪廓線近乎重合的現(xiàn)象.為了計算工件2的傾斜程度，我們需要一條基準線(一次方程直線)進行校準，分別計算出斜率和傾斜角，取均值之后再分別求差，即得到每次測量的傾斜角.然后，我們將十次測量數(shù)據(jù)旋轉(zhuǎn)一個角度，再取每次測量的最高點為基準點進行上下左右平移，整合得到一條完整的輪廓線.最后，我們要進行尺寸標注，方法同問1.

圖5 工件2十次測量的整體輪廓線

問4 工件2尺寸校準

附件3和附件4分別提供了工件2關于圓和角的九次局部測量數(shù)據(jù)，為了精確地標注出工件2的各項參數(shù)值，我們可以利用這些數(shù)據(jù)修正工件2的完整輪廓線及相關數(shù)據(jù).首先，根據(jù)附件3、附件4的九次局部測量數(shù)據(jù)，通過Matlab數(shù)據(jù)視圖完成工件2圓角和直角的輪廓圖(如圖6、圖7).然后，選取一個基準點，上下左右移動九次局部測量數(shù)據(jù)，整合后得到一條完整的輪廓線，再進行數(shù)據(jù)擬合，從而得到精確值.最后，把問3求出的標注參數(shù)替換成精確值，并根據(jù)精確值修正輪廓線.

圖6 工件2九次測量局部圖(圓角)

圖7 工件2九次測量局部圖(直角)

四、工程思維

1.概念綜述

工程，指在對自然科學原理充分認識的基礎上為達到某個目標所進行的有組織、有計劃、有預先設計的某項社會生產(chǎn)實踐行為.工程思維，指為了完成某項工程而進行的一系列思考活動所形成的思維方式.工程思維應用在生產(chǎn)及生活的各個方面，如商業(yè)、醫(yī)療、機械、建筑、環(huán)保、IT行業(yè)等.再如一個家庭去旅游，如何制訂出行計劃，怎樣安排旅游線路、出行方式、下榻酒店等，也需要運用工程思維，以實現(xiàn)在規(guī)定的時間內(nèi)花盡可能少的錢獲得高質(zhì)量的出行體驗.甚至寫作，這個看似和工程毫不相關的工作，同樣需要運用工程思維，因為無論是寫一篇小作文還是寫一部長篇小說，都需要構(gòu)建基本的寫作體系，這個體系就要求有清晰的框架結(jié)構(gòu)和嚴謹?shù)倪壿嬯P系.

2.特征簡介

工程思維具有科學性、系統(tǒng)性、創(chuàng)造性、問題求解的非唯一性等特點.工程思維是建立在科學基礎上的，現(xiàn)代科學理論為工程思維提供了理論指導作用.工程思維的系統(tǒng)性要求在思維進程中從整體切入，結(jié)合各個部分通盤考慮.工程活動的本質(zhì)就是創(chuàng)造一個原本不存在的人工實體.工程思維從一開始就為未來的存在進行了創(chuàng)造性的構(gòu)思.創(chuàng)造性構(gòu)成了工程思維的最突出特征，沒有創(chuàng)造性的工程思維難以獲得社會價值的實現(xiàn).工程思維需要考慮項目中的所有要素，技術要素中的技術路線不是唯一的，非技術要素中各種社會經(jīng)濟環(huán)境因素更是時刻發(fā)生著變化，這些因素都決定了工程思維問題求解的非唯一性.

3.實現(xiàn)步驟

首先，要整合信息，抓住事物的本質(zhì).我們身處一個信息爆炸的時代，各行各業(yè)都充斥著數(shù)以萬計的信息，通過重組各種信息便于發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì)特征.其次，要嚴謹而系統(tǒng)化地進行思考并做出決策.找到問題的本質(zhì)后，我們就需要結(jié)合相關知識，系統(tǒng)化地思考如何解決問題.最后，將決策步驟進行模塊化和迭代，即把一些需要重復的步驟模塊化，同時進一步加以優(yōu)化.

五、兩者的相關性研究

(一)步驟的相關性研究

數(shù)學建模需要按照提煉模型、建立模型、求解模型、檢驗模型、優(yōu)化模型的過程展開.數(shù)學建模所要解決的問題大多來自生產(chǎn)和生活中的關鍵問題，從問題的提法到已知條件都不那么明確和直接，甚至有的根本就不像數(shù)學問題.我們必須經(jīng)過深入細致的分析，給出合理假定或限制，才能使問題的“數(shù)學含義”漸趨明確，這是一個提煉數(shù)學模型的過程，也是工程思維中整合信息、抓住問題本質(zhì)的過程.建立模型、求解模型的過程對應工程思維中運用系統(tǒng)化知識思考決策的階段，檢驗模型、優(yōu)化模型的過程和工程思維的模塊化操作及迭代階段相對應.“接觸式輪廓儀的自動標注”這一問題來源于機械自動化領域，本身是一個機電工程類問題，其求解步驟和工程思維的實現(xiàn)步驟基本是一一對應的.

1.整合信息抓住問題的本質(zhì)(提煉模型).

仔細研讀題目和4個Excel附件信息，找出待解決的問題的本質(zhì)——用接觸式輪廓儀進行2個不同工件的尺寸標注、校準及工件輪廓線的繪制、修正，并且2個工件都涉及三類尺寸(水平線尺寸、斜線尺寸、圓尺寸)的標注及工件的平移旋轉(zhuǎn).

2.結(jié)合相關知識系統(tǒng)化地思考并做出決策(建立模型、求解模型).

找到問題的本質(zhì)后，接著就是如何解決問題.本題用到了初等數(shù)學中的直線方程、圓方程、坐標的平移變化等幾何知識建立模型，還用到了相關軟件CAD繪制及標注圖形、Excel數(shù)據(jù)處理及數(shù)據(jù)視圖、Matlab數(shù)據(jù)建模(擬合、回歸等)求解模型，詳見前文中的問題求解.

3.模塊化操作及迭代優(yōu)化(檢驗模型、優(yōu)化模型)

在工件1和工件2中都需要對三類尺寸進行標注及校準，這時可以考慮將擬合、求函數(shù)、解交點、求斜率、算長度等工作生成一個全自動的模塊化程序，以便節(jié)省時間.求出工件2整體的粗略解后，可結(jié)合圓角及直角的局部數(shù)據(jù)進一步修正校準，即求其精確解.這些都符合工程思維從無到有、從有到好的規(guī)律特征.

(二)特征的相關性研究

數(shù)學建模需要運用科學文化知識，系統(tǒng)化地思考，創(chuàng)造性地研究，開展非唯一結(jié)果的問題求解.這些特征和工程思維的科學性、系統(tǒng)性、創(chuàng)造性、問題求解的非唯一性是一致的.

1.科學性

數(shù)學建模涉及的科學知識體系龐大，包括數(shù)學模型、建模方法、數(shù)據(jù)處理、軟件編程、論文寫作及其他相關專業(yè)的知識.本題中用到了初等數(shù)學相關幾何知識、Excel數(shù)據(jù)分析和數(shù)據(jù)處理、Matlab數(shù)據(jù)擬合、數(shù)據(jù)回歸、CAD機械制圖等.

2.系統(tǒng)性

數(shù)學建模和數(shù)學應用題是不一樣的.數(shù)學應用題含義明確，從條件到問題清晰明了，因此，學生運用所學知識在很短的時間內(nèi)就可以解決.而數(shù)學建模是一個系統(tǒng)性的工程，一個大問題背景下涉及方方面面的小問題，我們在建模時要通盤考慮，既要放眼整體，又要切入局部.本題要求完成2個不同工件的尺寸標注及校準、輪廓線的繪制及修正，這就需要從構(gòu)成工件的基本組成部分——水平線、斜線、圓、角入手，解決了局部問題，整體問題也就解決了.

3.創(chuàng)造性

數(shù)學建模是培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的有效途徑，其中發(fā)散思維和想象力是關鍵因素.在數(shù)學建模過程中，通過關鍵信息展開“由此及彼，由彼及此”的聯(lián)想，往往能找到解決問題的突破口.本題要完成2個不同工件尺寸的標注及校準、輪廓線的繪制及修正，通過將4個問題進行對比研究，就會發(fā)現(xiàn)只要解決了問題1——工件1輪廓線的尺寸標注，其他3個問題稍做變化就可以迎刃而解.而且，由此建立的數(shù)學模型(詳見前文)也可以用于其他工件的輪廓線繪制及尺寸標注.

4.問題求解的非唯一性

數(shù)學建模問題通常具有開放性，沒有標準答案，因此求解思路及結(jié)果也不是唯一的.本題中，計算工件的輪廓線參數(shù)有兩種方法：先確定關鍵點(即線與線的交點)位置，再計算回歸或擬合方程；或者先選取部分數(shù)據(jù)，計算擬合方程，再聯(lián)立方程求解，確定關鍵點坐標.這兩種方法都是可行的.

六、結(jié) 語

工程思維是人們在進行工程活動和工程研究過程中形成的思維方式，是具有科學性、系統(tǒng)性、創(chuàng)造性和問題求解的非唯一性的非線性思維.數(shù)學建模是指從實際問題出發(fā)，通過抽象簡化，利用數(shù)學方法建立模型，再借助計算機相關軟件求解模型，最后應用于實際的過程.良好的工程思維素養(yǎng)有助于數(shù)學建模的開展，同時數(shù)學建模的訓練也有助于工程思維的提升.