理性精神引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究
——以“正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象”為例*

楊 龍 (江蘇省太倉高級(jí)中學(xué) 215411)

1 學(xué)情分析

教學(xué)對(duì)象是四星級(jí)高中的高一普通班學(xué)生，基礎(chǔ)良好，有較強(qiáng)的自主學(xué)習(xí)能力、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力.

2 內(nèi)容解讀

本節(jié)課是人教A版數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第5章“三角函數(shù)”中的第4節(jié)“三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)”第1課時(shí)的內(nèi)容.之前，學(xué)生已經(jīng)有了學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)，針對(duì)一個(gè)新函數(shù)可以應(yīng)用對(duì)比、類比的方法進(jìn)行研究，將已有經(jīng)驗(yàn)遷移到對(duì)三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的研究中，形成研究思路.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是一類基本初等函數(shù)，作為函數(shù)的下位知識(shí)，對(duì)于它們的研究基本遵從函數(shù)圖象與性質(zhì)的一般研究思路：繪制函數(shù)圖象→觀察圖象、發(fā)現(xiàn)性質(zhì)→證明性質(zhì).

教學(xué)目標(biāo) (1)經(jīng)歷繪制正弦函數(shù)圖象的過程，掌握描點(diǎn)法，掌握繪制正弦函數(shù)圖象的“五點(diǎn)法”；(2)經(jīng)歷繪制余弦函數(shù)圖象的過程，理解其中運(yùn)用的函數(shù)圖象變換的思想；(3)通過三角函數(shù)的概念、三角函數(shù)誘導(dǎo)公式等知識(shí)間的聯(lián)系體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一.

教學(xué)重點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象畫法.

教學(xué)難點(diǎn) 掌握準(zhǔn)確繪制函數(shù)圖象一個(gè)點(diǎn)的方法，并由此繪制出正弦函數(shù)的圖象.

3 過程實(shí)錄

3.1 擬定研究思路

問題1前面我們學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的定義以及基本運(yùn)算，延用之前的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的研究思路，接下來我們應(yīng)該研究什么問題？怎樣研究？

教師提出問題，學(xué)生回憶函數(shù)研究的一般思路，師生共同交流、規(guī)劃、完善方案.預(yù)設(shè)的答案如下.

研究函數(shù)的一般思路：函數(shù)的定義—函數(shù)的定義域、值域—函數(shù)的圖象—函數(shù)的性質(zhì)—函數(shù)的應(yīng)用.

鑒于前面已有研究，接下來重點(diǎn)是繪制三角函數(shù)的圖象，各個(gè)擊破，首先我們從畫正弦函數(shù)的圖象開始今天的探究之旅.

設(shè)計(jì)意圖規(guī)劃研究方案，構(gòu)建本單元的研究路徑，以便從整體上掌握整個(gè)單元的學(xué)習(xí)過程，形成整體觀念.

3.2 繪制正弦曲線

問題2你打算如何繪制正弦函數(shù)y=sinx的圖象？

繪制一個(gè)新函數(shù)圖象的基本方法是描點(diǎn)法.對(duì)于三角函數(shù)，單位圓上任意一點(diǎn)在圓周上旋轉(zhuǎn)一周又回到原來的位置，這一特性體現(xiàn)了周而復(fù)始的規(guī)律，所以我們只要先畫出函數(shù)y=sinx,x∈[0,2π]的圖象即可.

追問1 對(duì)于正弦函數(shù)，在[0,2π]上任取一個(gè)值x0，如何精準(zhǔn)繪制點(diǎn)T(x0,sinx0)？

圖1

精準(zhǔn)繪制一個(gè)點(diǎn)的問題解決之后，即可用相同的方法描出其他的點(diǎn)，這里可以借助信息技術(shù)工具得到比較精確的函數(shù)y=sinx,x∈[0,2π]的圖象(圖2).

圖2

設(shè)計(jì)意圖教師引導(dǎo)學(xué)生剖析一個(gè)點(diǎn)的畫法，深化對(duì)正弦函數(shù)定義的理解.通過分析點(diǎn)的坐標(biāo)的幾何意義，準(zhǔn)確描點(diǎn)，同時(shí)體會(huì)信息技術(shù)給數(shù)學(xué)研究帶來的便捷.

追問2 根據(jù)函數(shù)y=sinx,x∈[0,2π]的圖象，你能想象函數(shù)y=sinx,x∈R的圖象嗎？

根據(jù)誘導(dǎo)公式一可知，函數(shù)y=sinx,x∈[2kπ,2(k+1)π](k∈Z,k≠0)的圖象與y=sinx,x∈[0,2π]的圖象形狀完全一致.因此將y=sinx,x∈[0,2π]的圖象不斷向左、向右平移(每次移動(dòng)2π個(gè)單位長度)，就可以得到正弦函數(shù)y=sinx,x∈R的圖象.

正弦函數(shù)的圖象叫做正弦曲線(sine curve)，是一條“波浪起伏”的連續(xù)光滑曲線.

設(shè)計(jì)意圖繪制函數(shù)y=sinx,x∈R的圖象，并培養(yǎng)說理的習(xí)慣，體會(huì)周而復(fù)始的特性.

追問3 在確定正弦函數(shù)的圖象形狀時(shí)，應(yīng)抓住哪些關(guān)鍵點(diǎn)？

為了畫出函數(shù)y=sinx,x∈[0,2π]圖象的簡圖，只要描出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，按照正弦函數(shù)圖象的走勢(shì)，并用光滑的曲線將之連接就可以畫出正弦函數(shù)的簡圖，稱為“五點(diǎn)法”.

設(shè)計(jì)意圖觀察函數(shù)圖象，概括其特征，獲得“五點(diǎn)法”畫圖的簡便畫法.

3.3 繪制余弦曲線

問題3如何畫出余弦函數(shù)y=cosx的圖象？

學(xué)生可能會(huì)類比正弦函數(shù)圖象的畫法，提出用類似的方法畫余弦函數(shù)的圖象.教師可以適時(shí)追問，提示正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是一對(duì)密切相關(guān)的函數(shù).誘導(dǎo)公式表明，余弦函數(shù)和正弦函數(shù)可以互化.

追問1 你能在兩個(gè)函數(shù)圖象上選擇一對(duì)具體的點(diǎn)，解釋這種平移變換嗎？

教師指出，余弦函數(shù)的圖象叫做余弦曲線(cosine curve)，它是與正弦曲線具有相同形狀的“波浪形”曲線.

設(shè)計(jì)意圖利用誘導(dǎo)公式，通過圖象變換，由正弦函數(shù)的圖象獲得余弦函數(shù)圖象，增強(qiáng)對(duì)兩個(gè)函數(shù)圖象之間的聯(lián)系性的認(rèn)識(shí).

追問2 類似于用“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)圖象，如何作出余弦函數(shù)的簡圖？

讓學(xué)生寫出一個(gè)周期范圍內(nèi)余弦函數(shù)圖象上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo).

3.4 例題精析

畫出下列函數(shù)的圖象：

(1)y=1+sinx，x∈[0,2π]；

(2)y=-cosx，x∈[0,2π]；

(3)y=|sinx|.

設(shè)計(jì)意圖鞏固學(xué)生對(duì)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象特征的掌握，熟練“五點(diǎn)法”畫圖，掌握畫圖的基本技能.通過分析圖象變換，深化對(duì)函數(shù)圖象關(guān)系的理解，并為后續(xù)的學(xué)習(xí)作好鋪墊.

3.5 課堂小結(jié)(略)

4 教學(xué)感悟

4.1 一般觀念指導(dǎo)數(shù)學(xué)研究

在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》中，將三角函數(shù)內(nèi)容安排在必修課程主題二“函數(shù)”中，把“函數(shù)概念與性質(zhì)”“冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)”“三角函數(shù)”“函數(shù)應(yīng)用”視為一個(gè)整體.三角函數(shù)作為一類最典型的周期函數(shù)，是學(xué)生在高中階段系統(tǒng)學(xué)習(xí)的最后一個(gè)基本初等函數(shù)，所以教學(xué)中可注重引導(dǎo)學(xué)生以前面學(xué)到的研究函數(shù)的方法來指導(dǎo)學(xué)習(xí).本節(jié)課首先通過問題1擬定研究三角函數(shù)的路徑，以函數(shù)研究的一般觀念為指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)建三角函數(shù)的研究內(nèi)容、過程和方法，同時(shí)還引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注三角函數(shù)的特殊性，充分利用周期性簡化研究過程.

4.2 理性精神引領(lǐng)數(shù)學(xué)探究

本節(jié)課在探究正弦與余弦函數(shù)圖象過程中，突出理性精神的引領(lǐng)，對(duì)正弦函數(shù)圖象的構(gòu)造和認(rèn)識(shí)過程不斷優(yōu)化.突出正弦函數(shù)的周期性(本課時(shí)中并未提出周期性的概念，只是讓學(xué)生通過圓周運(yùn)動(dòng)周而復(fù)始的直觀形象和誘導(dǎo)公式的代數(shù)特征作感性認(rèn)識(shí))的特點(diǎn)，將實(shí)數(shù)集范圍的作圖問題歸結(jié)為區(qū)間[0,2π]內(nèi)的作圖問題；精準(zhǔn)畫出正弦函數(shù)上的任意一點(diǎn)，構(gòu)建了函數(shù)圖象與三角函數(shù)定義之間內(nèi)在的邏輯聯(lián)系，使得畫出的函數(shù)圖象不僅有“形”，還更加有“魂”，有利于知識(shí)的整體性與聯(lián)系性.理性精神引領(lǐng)學(xué)生深度思考，使得本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)——繪制函數(shù)圖象更加優(yōu)化，周期讓圖象繪制由局部到整體，定義讓描點(diǎn)作圖由點(diǎn)到線，五點(diǎn)作圖讓簡圖更方便快捷，為后續(xù)借助圖象直觀分析問題、得到解題思路提供有效方法.

4.3 信息技術(shù)輔助數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

注重信息技術(shù)的使用，加強(qiáng)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程，有助于學(xué)生加深對(duì)概念的理解與認(rèn)識(shí).本節(jié)課在利用信息技術(shù)通過單位圓畫函數(shù)圖象時(shí)，將三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)的圖象等內(nèi)容緊密聯(lián)系在一起，并通過角的變化，將這種聯(lián)系直觀地、動(dòng)態(tài)地表現(xiàn)出來，突出了信息技術(shù)在函數(shù)作圖中的優(yōu)勢(shì)，有效突破數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重難點(diǎn).本節(jié)課借助信息技術(shù)從一個(gè)點(diǎn)到任意多個(gè)點(diǎn)的描點(diǎn)，利用信息技術(shù)的連續(xù)動(dòng)畫功能，可以得到更多的圖象上的點(diǎn)，達(dá)到點(diǎn)動(dòng)成線的直觀效果，使學(xué)生進(jìn)一步理解任意一點(diǎn)與整體圖形之間的關(guān)系，理解圖象形成的內(nèi)在道理.