把握本質(zhì)重基礎(chǔ) 培育能力提素養(yǎng)
——對一道雙曲線高考題的解法探究與思考

晏 鴻 (新疆教育科學(xué)研究院 830049)

符強(qiáng)如 (新疆烏魯木齊市實驗學(xué)校 830026)

2022年新高考數(shù)學(xué)全國I卷理科第21題秉承熟而不俗、俗中有變、變中有新的風(fēng)格，注重數(shù)學(xué)本質(zhì)和通性通法，彰顯了從能力立意向素養(yǎng)導(dǎo)向的過渡，為學(xué)生提供了豐富的選擇，是一道內(nèi)涵豐富、解法多樣的優(yōu)質(zhì)題，也為解析幾何教學(xué)起到了很好的導(dǎo)向作用，值得一線教師去挖掘和探究.

1 題目呈現(xiàn)

(1)求l的斜率；

此題從問題表述來看，取材平實,表現(xiàn)樸實,題干清晰；從內(nèi)容上來看，考查直線與雙曲線位置關(guān)系、直線和雙曲線平面圖形(三角形)的面積問題.本題看似入手易、解法多，但命題者在多解背后都埋下了“地雷”，讓它起到了壓軸的功能，使不少學(xué)生力不從心，不能順利完成解題過程.它考查了學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)，要求考生需要具備較高的思維能力.

2 解法探究

思路1條件直譯——代數(shù)法(這是解析幾何教學(xué)中最常見的方法)

思路2條件轉(zhuǎn)化——代數(shù)法

解析幾何的攔路虎之一就是繁瑣的代數(shù)變換，需要較強(qiáng)的運算能力.我們可以在思路1的基礎(chǔ)上優(yōu)化解法，將條件kAP+kAQ=0轉(zhuǎn)化替代.

思路3參數(shù)法

運用參數(shù)方程能夠快速解決圓錐曲線的弦長、范圍等問題.

對于參數(shù)法解決圓錐曲線問題，也可以從以下視角來解決.

評注 參數(shù)法比傳統(tǒng)方法具有更大優(yōu)勢，其核心就是減少了變量或參數(shù).此題借助直線參數(shù)方程或雙曲線相關(guān)的參數(shù)方程，從兩個不同視角解析，利用參數(shù)t的意義解題，解法3和解法4視角不同，呈現(xiàn)的解析難度也不同.這也啟示我們，變換解題視角去思考能夠在一定程度上使解題思路“柳暗花明”，從而大大優(yōu)化運算.

思路4齊次化聯(lián)立

圓錐曲線問題中遇到斜率和或積的問題時，可以嘗試齊次化聯(lián)立.

評注 齊次化聯(lián)立即將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立后，利用“1”的代換實現(xiàn)齊次化，可以將題目中涉及的斜率轉(zhuǎn)化成一個一元二次方程的兩根，再由一元二次方程的兩根關(guān)系獲取斜率和或積的關(guān)系.但是此法一般是在解決圓錐曲線中直線斜率和或積的問題時應(yīng)用，可以避免繁瑣運算，提高解題正確率.

3 啟示與思考

3.1 追溯背景

3.2 啟示

當(dāng)今的數(shù)學(xué)教育發(fā)展趨勢可以理解為以理解為價值取向、以問題解決為價值取向、以數(shù)學(xué)探究為價值取向.教師要抓好課堂教學(xué)，在重視基礎(chǔ)知識和基本技能教學(xué)的同時，更要注重提升學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解水平.對于此題，學(xué)生面對繁瑣的步驟及復(fù)雜的計算往往都束手無策，容易產(chǎn)生畏難心理.其實“快”思維下數(shù)學(xué)教學(xué)更需要“慢” 藝術(shù)，不是單純將教師個人認(rèn)為好的數(shù)學(xué)思想方法短時間內(nèi)打包發(fā)給學(xué)生，教師需要在課堂教學(xué)中 敢于等待學(xué)生，讓學(xué)生獨立思考、自主探索，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，陪伴學(xué)生重走數(shù)學(xué)知識的形成之路.

波利亞說過，沒有任何一道題目是徹底完成了的，總還會有些事情可以做,更重要的是解題后的回顧[1].對于思維量較大或者所謂的“難題”，教師教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生思考如何恰當(dāng)利用題目主干條件、如何優(yōu)化解題過程、怎樣優(yōu)化代數(shù)運算、深入分析和探究；更要積極引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，深度挖掘試題的背景，理清命題者的意圖，深刻揭示試題本質(zhì)，這樣才有利于學(xué)生夯實基礎(chǔ)，將知識系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化.關(guān)注思維以及問題的本質(zhì),對于數(shù)學(xué)問題的把握、揭示和體驗都是提升課堂有效性的關(guān)鍵.對于高考壓軸題，唯有如此才能居高臨下指導(dǎo)學(xué)生，培養(yǎng)學(xué)生關(guān)鍵能力，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng).

一道經(jīng)典的問題可以引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生多角度思考.通過不同視角的解題途徑，多方位多角度去思考問題，我們可以領(lǐng)略到解析幾何與其他知識的綜合交匯及其靈活遷移運用.雖然解題方法不同，但核心思想始終圍繞著解析幾何本質(zhì)和思想,由特殊到一般地尋找規(guī)律，探索解題的通性通法.當(dāng)然，通性通法必須在數(shù)學(xué)思想的指引下滲透，而不是同類型題目的簡單重復(fù)和操練.要積累活動經(jīng)驗，強(qiáng)化思考能力，真正進(jìn)入深度學(xué)習(xí)，發(fā)展高階思維，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

高考真題立足基礎(chǔ)，傳承穩(wěn)定；在穩(wěn)定的基礎(chǔ)上進(jìn)行創(chuàng)新，這種創(chuàng)新不是通過一成不變的試題呈現(xiàn)，而是立足教材，對教材中的例題、習(xí)題運用穩(wěn)定的基礎(chǔ)知識、經(jīng)典的基本方法、深化的基本思想進(jìn)行包裝.現(xiàn)階段，尤其是復(fù)習(xí)教學(xué)，回歸教材是正道.回歸教材不是簡單地閱讀教材，不是簡單羅列知識、梳理方法，更不是對教學(xué)過程的簡單重現(xiàn)，而是對學(xué)科知識脈絡(luò)的建構(gòu)、對教材編者意圖的領(lǐng)悟、對教材隱性知識的挖掘、對學(xué)科知識本質(zhì)的把握，在平時教學(xué)中指導(dǎo)學(xué)生要尋“根”究“本”.唯有如此，學(xué)生核心素養(yǎng)方能切實培養(yǎng).