走進(jìn)基于深度學(xué)習(xí)“三維一體”的教學(xué)追問課堂
——以橢圓中定值定點(diǎn)問題為例*

曹 輝 程守山 (江蘇省常州市北郊高級中學(xué) 213032)

劉天程 (江蘇省常州市正行中學(xué) 213017)

所謂深度學(xué)習(xí)是指教師借助一定的活動情景帶領(lǐng)學(xué)生超越表層的知識符號學(xué)習(xí)，進(jìn)入知識內(nèi)在的邏輯形式和意義領(lǐng)域，挖掘知識內(nèi)涵的豐富價(jià)值，完整地實(shí)現(xiàn)知識教學(xué)對學(xué)生的發(fā)展價(jià)值.本文以教學(xué)追問為活動方式，“三維一體”為設(shè)計(jì)思路，引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)[1].在解析幾何的教學(xué)過程中，教師往往以試題訓(xùn)練為“點(diǎn)”、以掌握通法通解為“面”來達(dá)到教學(xué)目標(biāo).實(shí)際上，通法通解是連接知識方法的“線”，對知識方法起到橋梁作用，“面”則是知識體系形成的關(guān)鍵，最后提煉思想方法，形成跨體系、跨學(xué)科、跨領(lǐng)域的“體”，而“體”即是能力，是知識方法的核心規(guī)律對學(xué)生理性思維和關(guān)鍵能力的培養(yǎng).

本文以一道橢圓中的定值定點(diǎn)問題為例，通過問題引領(lǐng)、深化和追問，將知識和技能由“點(diǎn)”到“面”深入到思維的層面，進(jìn)一步構(gòu)建橢圓中一類定值定點(diǎn)問題的知識體系，從而實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)本質(zhì)”和“知識交匯”的“體”，提升高三一輪復(fù)習(xí)課的質(zhì)量.

1 “點(diǎn)”到為“指”

圖1

·分析問題

點(diǎn)評以一道典型的定點(diǎn)問題為方向指引，拋磚引玉，打開學(xué)生思維的窗口.

·“點(diǎn)”到不止

問題1 (*)式不能直接運(yùn)用韋達(dá)定理，能否轉(zhuǎn)化為單變量整體可約分？

點(diǎn)評由于(*)式不能直接運(yùn)用韋達(dá)定理，導(dǎo)致不少學(xué)生找不到解決問題的方法.實(shí)際上，韋達(dá)定理可利用求根公式得到，所以將求根公式代入(*)式，即將問題轉(zhuǎn)化為單變量可約分為定值的問題.

問題2 你能根據(jù)特殊情況或?qū)ΨQ性猜出答案嗎？猜出答案后如何證明(*)式為定值？

點(diǎn)評“先猜后證”是解析幾何中常用的思想方法，學(xué)生可以根據(jù)斜率不存在和對稱性判斷出交點(diǎn)在x=4上，然后通過作差利用韋達(dá)定理證明猜想.

問題3 (*)式能否轉(zhuǎn)化為雙變量整體可約分問題？

點(diǎn)評以問題中的“單變量”和“雙變量”引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生進(jìn)一步體會定值問題的單變量和多變量的整體可約分的思想方法.學(xué)生較易接受單變量可約分問題，對于雙變量可約分問題則較為陌生，該解法進(jìn)一步加深了學(xué)生對定值問題的理解.以上方法難度較大，可操作性不強(qiáng)，大部分學(xué)生會在(*)式的處理上遇到困難.

本題容易認(rèn)為核心規(guī)律是(*)式處理的思想方法.實(shí)際上，題目中隱含著一類“定”的關(guān)系，如kACkBC,kBCkBD為定值，那么斜率之間的關(guān)系是否對解決該問題有幫助？能否通過問題設(shè)計(jì)、知識遷移得出一般結(jié)論和方法，從而達(dá)到掌握核心規(guī)律的目標(biāo)？以該例題為“點(diǎn)”，通過問題設(shè)計(jì)，使問題問問相連，使各點(diǎn)環(huán)環(huán)相連，讓學(xué)生進(jìn)一步探究該圖形中存在的“動”和“定”的問題.

2 “點(diǎn)”動成線

問題1 直線BC和直線BD的斜率乘積是否為定值？

問題2 直線AC和直線BC的斜率乘積是否為定值？

問題3 由問題1和問題2，你能否發(fā)現(xiàn)直線AC和直線BD的斜率的關(guān)系？

問題4 根據(jù)上述問題，能否用設(shè)AC斜率的做法求交點(diǎn)？

解得x=4.

3 線線交錯(cuò)

設(shè)計(jì)意圖通過問題深化，學(xué)生將知識、方法過渡到一般性的思維策略，如圖2.

圖2

4 “線”動成“面”

下面通過條件和結(jié)論的互換，進(jìn)一步對問題追問.對于問題深化中問題1的追問：

追問1 若已知直線BC和直線BD的斜率乘積為定值，直線CD是否過定點(diǎn)？

(備注：可以用直線方程和橢圓聯(lián)立，借助韋達(dá)定理解決，此處不再贅述，可見文[4])

(備注：考慮到聯(lián)立的復(fù)雜性，建議用齊次化聯(lián)立解決問題，此處不再贅述)

對于問題深化中問題2的追問：

追問 若kAC=λkBD(λ為定值)，直線CD是否一定過定點(diǎn)？

對于問題深化中問題3的追問：

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生不可能一次性把握數(shù)學(xué)活動的本質(zhì)，故需要教師進(jìn)一步思考和研究知識方法的本質(zhì).追問的設(shè)計(jì)旨在從“點(diǎn)”到“面”的進(jìn)一步升華，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的理性思維和關(guān)鍵能力，讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題→解決問題→再發(fā)現(xiàn)問題→再解決問題的過程，進(jìn)一步掌握知識的“源”與“流”.針對上述問題的提出和解決，2021年和2020年新高考全國I卷(22)以及2020年全國I卷(20)解析幾何題目便可迎刃而解.

5 “面”動成“體”

在這一過程中讓學(xué)生體會“形缺數(shù)時(shí)少直觀，數(shù)缺形時(shí)難入微”的數(shù)形結(jié)合思想，在整體消元中讓學(xué)生感受函數(shù)與方程思想，這兩大數(shù)學(xué)思想貫穿著初等數(shù)學(xué)的始末.將兩大思想牽引到其他知識塊，如：立體幾何、三角函數(shù)等，學(xué)生遇到陌生問題就不會因恐懼而束手無策.如今年新高考I卷的第8題、第21題等.從一題多法到通法，提煉思想方法，實(shí)現(xiàn)一法解多題.借助有效追問實(shí)現(xiàn)了點(diǎn)動成線，線動成面，面動成體的生態(tài)循環(huán)，使學(xué)生實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí).

6 教學(xué)建議

(1)批判性思維的培養(yǎng)

本文以例題中求交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是定值的問題為“點(diǎn)”，通過問題引領(lǐng)，從新的角度進(jìn)一步剖析問題，即發(fā)現(xiàn)kBD=kAC，將題目中以尋找變化過程中的不變關(guān)系為“點(diǎn)”發(fā)散，猜想、歸納、證明一般性結(jié)論為“線”，最后以追問的方式，從逆命題和知識方法聯(lián)系的角度逐層深化橢圓中的定值定點(diǎn)問題形成“面”.追問的設(shè)計(jì)可以培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維，即當(dāng)一個(gè)命題成立時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生自覺地思考其逆命題是否成立、是否可以探究出并判斷其他相關(guān)命題是否成立.

(2)教學(xué)追問的注意點(diǎn)

·追問目標(biāo)要明確

高中生的智力發(fā)展得已經(jīng)較為成熟，因此，教師在設(shè)計(jì)問題時(shí)要結(jié)合學(xué)生對知識的理解水平提出有回答意義的問題，同時(shí)還要有明確的提問方向，提出的問題要清晰明了，能讓學(xué)生明確所提問的目標(biāo)[2].

·追問要及時(shí)

隨著課堂教學(xué)方式的不斷進(jìn)步，教師逐漸轉(zhuǎn)變了教學(xué)方法，明白了追問的重要性，在課堂中逐漸增加了設(shè)計(jì)問題和讓學(xué)生回答問題的環(huán)節(jié).但在這一環(huán)節(jié)教師需要注意的是，設(shè)計(jì)的問題一定要緊緊圍繞自己所講解的知識點(diǎn)，最好能夠結(jié)合以前學(xué)習(xí)過的知識讓學(xué)生自發(fā)地與新知識進(jìn)行對比并總結(jié).同時(shí)教師還需注意的是，所提問題一定要及時(shí)，合理安排問題并確定問題應(yīng)當(dāng)提在哪里.課堂動態(tài)的把握、課堂的生成是新老教師的最大區(qū)別.

·追問要主客體互動

核心素養(yǎng)下的高中數(shù)學(xué)課堂一定是以討論為主的教學(xué)相長的學(xué)習(xí)共同體，能充分發(fā)揮學(xué)生主體性的課堂.學(xué)生在進(jìn)行新知識的學(xué)習(xí)時(shí)一定或多或少地存在問題，因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生對自己無法理解或掌握不好的地方踴躍提問.

·追問要有度

一節(jié)課不是在任何時(shí)候都有必要追問，尤其數(shù)學(xué)課堂，本身容量大、時(shí)間緊，在預(yù)設(shè)追問上更要精細(xì).所以以課前預(yù)設(shè)的追問為主，課堂生成的追問為輔，如果不影響教學(xué)目標(biāo)，有更好的生成追問突破重難點(diǎn)、拓寬學(xué)生思維，那么這樣的生成追問是必要的.

高三教學(xué)不是知識方法的堆積，也不是教師一言堂式的講解，它強(qiáng)調(diào)的是理智和情感的互動、思維方式的深層追問和高階思維的培養(yǎng).同時(shí)，教學(xué)中要求教師投入更多的精力去理解知識方法的廣度、深度、關(guān)聯(lián)度，主動構(gòu)建知識方法的系統(tǒng)，通過問題設(shè)計(jì)將知識和方法深入到思維的層面，提升學(xué)生的思維品質(zhì)，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的目的.