基于粒子群算法的深溝球軸承優(yōu)化設計

李敬雍，高飛,2，黃利平，田凌

(1.清華大學 機械工程系，北京 100084；2．洛陽軸承研究所有限公司，河南 洛陽 471039)

滾動軸承被稱為“工業(yè)的關節(jié)”，廣泛應用于電力、化工、航空航天等領域，疲勞壽命和運轉(zhuǎn)平穩(wěn)性是評價軸承使用性能的重要指標，兩者可以通過優(yōu)化軸承結構參數(shù)改善。傳統(tǒng)的軸承優(yōu)化設計需人工查閱機械設計手冊等資料，由于軸承的類型和尺寸參數(shù)復雜，往往需要用到大量的公式及圖表，效率低[1]。此外，目前工業(yè)界依然廣泛采用CAD軟件人工制圖，耗費了大量人力和物力。實現(xiàn)軸承快速、 精確的尺寸優(yōu)化設計以及軸承圖紙的自動化生成，可以在提升軸承性能的同時，降低軸承設計工作量。

近年來，國內(nèi)外學者關于軸承優(yōu)化設計的研究有：文獻[2]建立了雙列圓錐滾子軸承優(yōu)化設計 模型，以軸承整體壽命為優(yōu)化目標，基于ISIGHT軟件對模型的優(yōu)化變量進行試驗分析，并應用多島遺傳算法進行優(yōu)化設計；文獻[3]以軸承的體積和壽命為優(yōu)化目標，采用序列二次規(guī)劃法實現(xiàn)了多目標優(yōu)化；文獻[4]以軸承額定動載荷為優(yōu)化目標，針對球直徑為離散值的情況，結合數(shù)組遍歷法和網(wǎng)格節(jié)點法，實現(xiàn)了深溝球軸承的優(yōu)化設計；文獻[5]開發(fā)了圓錐滾子軸承CAD系統(tǒng)，以軸承額定動載荷為優(yōu)化目標，以隨機方向法為優(yōu)化方法，結合AutoCAD軟件的二次開發(fā)生成軸承三維實體模型，并應用三維實體模型生成剖面圖和輪廓圖。

上述研究說明軸承額定壽命在軸承優(yōu)化設計中受到廣泛關注，而基于遺傳算法[6-9]、免疫算法[10]等智能優(yōu)化算法的優(yōu)化設計已成為機械設計領域的研究熱點：文獻[11]以單位承載量下的總功率損失為優(yōu)化目標，基于遺傳算法實現(xiàn)了液體動靜壓軸承的優(yōu)化設計；文獻[12]以疲勞壽命和力矩剛性為優(yōu)化目標，基于模擬退火算法，采用隨機選取數(shù)組序號的方式實現(xiàn)離散變量定義域的隨機取值，進而對轎車輪轂軸承進行多目標優(yōu)化設計?，F(xiàn)有關于軸承CAD系統(tǒng)的研究主要實現(xiàn)了查詢選型、尺寸計算和圖紙生成等功能，盡管相較于人工制圖有明顯改進，但優(yōu)化設計部分普遍采用確定性搜索的方式，難以得到最優(yōu)解；而將基于智能優(yōu)化算法的軸承主參數(shù)優(yōu)化應用到軸承CAD系統(tǒng)上，可以顯著提升軸承數(shù)字化設計水平。

粒子群算法是一種收斂速度快、全局優(yōu)化能力強的智能優(yōu)化算法，本文以深溝球軸承額定動載荷和額定靜載荷為優(yōu)化目標，提出了一種基于粒子群算法的軸承優(yōu)化設計方法，并通過AutoCAD軟件的二次開發(fā)實現(xiàn)軸承圖紙的自動生成與保存。

1 基于粒子群算法的深溝球軸承優(yōu)化設計模型

1.1 目標函數(shù)

在正常工況下運行的滾動軸承，其主要失效原因為材料疲勞。根據(jù)Lundberg-Palmgren壽命理論，深溝球軸承的疲勞壽命為[13]

(1)

γ=Dw/Dpw，

式中：Cr為軸承額定動載荷；P為軸承當量動載荷；bm為常用優(yōu)質(zhì)淬硬軸承鋼和良好加工方法的額定系數(shù)，深溝球軸承取1.3；fc為與軸承零件幾何形狀、制造精度及材料有關的系數(shù)；Z為球數(shù)；Dw為球直徑；fi，fe分別為內(nèi)、外圈溝曲率半徑系數(shù)；λ為降低系數(shù)，對于深溝球軸承，λ=0.95；Dpw為球組節(jié)圓直徑。

由(1)式可知深溝球軸承的疲勞壽命隨額定動載荷Cr增大顯著提升。

在載荷作用下，深溝球軸承運轉(zhuǎn)過程中將產(chǎn)生一定的塑性變形，若塑性變形過大，溝道上出現(xiàn)的損傷會增大軸承運轉(zhuǎn)時的噪聲和振動，同時會降低軸承使用壽命[14]。當軸承靜止時所受的載荷不超過額定靜載荷時，則可充分避免塑性變形對軸承運轉(zhuǎn)的影響。提高軸承的額定靜載荷有利于提高軸承運行的平穩(wěn)性及使用壽命。通常情況下，深溝球軸承球與內(nèi)溝道的接觸應力大于球與外溝道的接觸應力。計算深溝球軸承額定靜載荷時，以球與內(nèi)溝道的接觸應力為研究對象，軸承額定靜載荷C0為

(2)

軸承額定動載荷和額定靜載荷的提高均有利于提高軸承使用壽命，本文將額定動載荷和額定靜載荷的加權之和C作為優(yōu)化目標(后文將其稱為額定聯(lián)合載荷)，即

C=α1Cr+α2C0，

(3)

式中：α1，α2為加權系數(shù)，且α1+α2=1。

在軸承設計時，若更關注軸承疲勞壽命，可增大α1；若更關注軸承運行的平穩(wěn)性，可增大α2。

1.2 設計變量

由(1)，(2)式可知：Cr和C0由Dw，Dpw，Z，fi，fe決定，將這5個變量作為主參數(shù)，即

X=[x1,x2,x3,x4,x5]T=[Dw,Dpw,Z,fi,fe]T。

(4)

1.3 約束條件

Dw，Dpw，Z，fi，fe的約束條件分別為[15]

kmin(D-d)≤Dw≤kmax(D-d),

(5)

0.5(D+d)≤Dpw≤0.515(D+d),

(6)

(7)

0.515≤fi≤0.535,

(8)

0.515≤fe≤0.535,

(9)

式中：kmin，kmax為球直徑系數(shù)；d，D分別為軸承內(nèi)、外徑；βmax為最大填球角。

由(2)式可知：以球與內(nèi)溝道的接觸應力為研究對象計算軸承額定靜載荷時，額定靜載荷與fe無關。以軸承額定靜載荷為優(yōu)化目標時，即加權系數(shù)α1=0,α2=1時，fe取0.530。

1.4 優(yōu)化算法和計算流程

粒子群算法(Particle Swarm Optimization，PSO)[16]源于對鳥群覓食行為的研究，可實現(xiàn)眾多方案的智能尋優(yōu)，在機械設計領域得到應用[17-18]。利用初始生成的N個隨機粒子，經(jīng)反復迭代尋找D維問題的最優(yōu)解。粒子通過追隨自身尋找到的最優(yōu)解(個體極值pbest)和整個粒子群尋找到的最優(yōu)解(全局極值gbest)更新自己的位置，速度和位置更新公式為

i=1,2，…，N；d=1,2，…，D，

(10)

(11)

粒子群算法的計算流程(圖1)如下：

1)種群初始化。隨機初始化生成各粒子的位置和速度，計算各粒子的適應度值，并得到每個粒子的個體最優(yōu)值和全局最優(yōu)值，設置最大迭代次數(shù)。

2)利用(10)，(11)式更新各粒子的位置和速度。后文主要討論球直徑為連續(xù)值的情況，當球直徑取標準值時，將球直徑對應的粒子位置在x1方向的取值更新為取值范圍內(nèi)與當前值最接近的球直徑標準值，將球數(shù)對應的粒子位置在x3方向的取值更新為取值范圍內(nèi)與當前值最接近的整數(shù)。

3)利用目標函數(shù)計算各粒子的適應度值。引入懲罰函數(shù)，當粒子不滿足約束條件時，適應度取0，從而將有約束條件的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束條件的優(yōu)化問題。

4)對比各粒子的當前適應度值和個體歷史最優(yōu)值，若當前適應度值高于個體歷史最優(yōu)值，將個體歷史最優(yōu)值更新為當前該粒子的適應度值，并將各粒子的個體最優(yōu)值和全局歷史最優(yōu)值對比，若個體最優(yōu)值高于全局歷史最優(yōu)值，則更新全局最優(yōu)值。

5)判斷是否滿足終止條件，若不滿足，返回第2步繼續(xù)計算。

圖1 粒子群算法的計算流程圖Fig.1 Calculation flow chart of particle swarm optimization

2 優(yōu)化設計系統(tǒng)實現(xiàn)

2.1 系統(tǒng)架構

本文提出一種基于粒子群算法和AutoCAD二次開發(fā)的深溝球軸承優(yōu)化設計系統(tǒng)，系統(tǒng)架構如圖2所示。該系統(tǒng)是單機應用程序，體系結構主要分為界面層和后臺求解器，兩者均使用C#程序，基于.NET架構實現(xiàn)。界面層主要接收用戶的定義信息和控制指令，具有外形參數(shù)輸入、參數(shù)修改、圖形顯示等功能；后臺求解器主要負責優(yōu)化過程的實現(xiàn)及二維圖紙的繪制，具有設計系數(shù)計算、主參數(shù)優(yōu)化及圖紙生成功能。

圖2 深溝球軸承優(yōu)化設計系統(tǒng)架構Fig.2 Framework of optimal design system of deep groove ball bearing

2.2 系統(tǒng)功能模塊

將深溝球軸承優(yōu)化設計系統(tǒng)的功能分解為文件管理模塊、計算模塊和繪圖模塊，如圖3所示。

圖3 系統(tǒng)功能分解圖Fig.3 Diagram of function breakdown of system

首先通過文件管理模塊加載出空白的軸承圖紙模板，在計算模塊通過外形參數(shù)計算kmin，kmax等設計系數(shù)；進而基于粒子群算法優(yōu)化軸承主參數(shù)，計算出保持架及鉚釘?shù)攘慵脑O計參數(shù)；然后通過繪圖模塊加載軸承所有尺寸參數(shù)，并自動繪制軸承二維圖紙；最后調(diào)用文件管理模塊實現(xiàn)軸承圖紙文件的自動保存。

2.3 用戶界面設計

Windows Form設計用戶界面如圖4所示，外形參數(shù)(內(nèi)徑d、外徑D、軸承寬度B)、裝配倒角rs、非裝配倒角r8手動輸入，主參數(shù)優(yōu)化可自動得到Dw，Dpw，Z，fi，fe，上述參數(shù)均可手動修改。

圖4 深溝球軸承優(yōu)化設計用戶界面Fig.4 User interface for optimal design of deep groove ball bearing

種群規(guī)模N、迭代次數(shù)M、慣性因子wmax和wmin、自我學習因子c1及社會學習因子c2等粒子群算法的參數(shù)需要提前在代碼中設置，將代碼編譯完成并將封裝后的文件導入AutoCAD軟件后，即可打開用戶界面進行操作。

3 優(yōu)化結果及驗證

以6214深溝球軸承為例，其外形參數(shù)為：d=70 mm，D=125 mm，B=24 mm。此外，kmin=0.24，kmax=0.31，βmax=194°。

3.1 優(yōu)化結果

設定N=30，M=200，wmax=0.95，wmin=0.45，慣性因子w隨迭代次數(shù)線性遞減，c1=2，c2=2。調(diào)節(jié)α1和α2可以得到不同優(yōu)化目標下的深溝球軸承優(yōu)化結果。

優(yōu)化目標為軸承額定動載荷時，即加權系數(shù)α1=1,α2=0時，優(yōu)化結果隨迭代次數(shù)的變化如圖5所示，軸承額定動載荷在起始階段小范圍停留在局部最優(yōu)解，經(jīng)更新粒子的速度和位置，額定動載荷逐漸增大，經(jīng)136次迭代后收斂至70.224 kN，對應的軸承主參數(shù)為：Dw=17.600 mm，Dpw=97.5 mm，Z=10，fi=0.515，fe=0.515。

圖5 6214深溝球軸承額定動載荷優(yōu)化結果Fig.5 Optimal result of dynamic load rating of 6214 deep groove ball bearing

優(yōu)化目標為軸承額定靜載荷時，即加權系數(shù)α1=0,α2=1，優(yōu)化結果隨迭代次數(shù)的變化如圖6所示，額定靜載荷為優(yōu)化目標時的收斂性比額定動載荷為優(yōu)化目標時差，額定靜載荷經(jīng)135次迭代后收斂至56.376 kN，對應的軸承主參數(shù)為:Dw=16.921 mm，Dpw=100.4 mm，Z=11，fi=0.515，fe=0.530。

圖6 6214深溝球軸承額定靜載荷優(yōu)化結果Fig.6 Optimal result of static load rating of 6214 deep groove ball bearing

優(yōu)化目標為軸承額定聯(lián)合載荷時，取加權系數(shù)α1=α2=0.5時，優(yōu)化結果隨迭代次數(shù)的變化如圖7所示，軸承額定聯(lián)合載荷經(jīng)162次迭代后收斂至62.952 kN，對應軸承主參數(shù)為：Dw=16.921 mm，Dpw=100.4 mm，Z=11，fi=0.515，fe=0.515，除fe外，其他參數(shù)與額定靜載荷為優(yōu)化目標時的優(yōu)化結果相同。由于以軸承額定聯(lián)合載荷為優(yōu)化目標時的目標函數(shù)復雜度高，收斂速度降低。

圖7 6214深溝球軸承額定聯(lián)合載荷優(yōu)化結果Fig.7 Optimal result of combined load rating of 6214 deep groove ball bearing

為進一步分析額定聯(lián)合載荷與加權系數(shù)的關系，將加權系數(shù)α1作為變量，由于目標函數(shù)復雜度變高會降低收斂速度，結果易陷入局部最優(yōu)，故調(diào)整粒子群算法的參數(shù)，令N=100，M=400，得到額定聯(lián)合載荷隨α1的變化如圖8所示：額定聯(lián)合載荷隨α1近似呈線性變化，但曲線斜率和截距有所變化。這是由于α1+α2=1，C=α1Cr+(1-α1)C0=(Cr-C0)α1+C0，斜率為Cr-C0，截距為C0，加權系數(shù)不同，目標函數(shù)不同，得到的軸承主參數(shù)不同，額定動載荷Cr和額定靜載荷C0不同，斜率和截距隨加權系數(shù)α1變化而變化。當0.5<α1<0.6時，曲線出現(xiàn)一定震蕩，說明此時更容易陷入局部最優(yōu)，加權系數(shù)在該范圍時應繼續(xù)增大種群規(guī)模N和迭代次數(shù)M，以提高收斂效果。

圖8 額定聯(lián)合載荷隨加權系數(shù)的變化Fig.8 Variation of combined load rating with weighting coefficient

綜上分析可知：本文提出的基于粒子群算法的深溝球軸承優(yōu)化設計方法收斂速度快，收斂穩(wěn)定性高，以額定聯(lián)合載荷為優(yōu)化目標時的優(yōu)化結果更符合理論模型。

3.2 優(yōu)化效果驗證

為進一步驗證優(yōu)化設計方法的正確性，與網(wǎng)格節(jié)點法進行對比。利用(5)，(6)，(8)，(9)式將Dw，Dpw，fi，fe在取值范圍內(nèi)劃分為20×20×20×20的網(wǎng)格，利用(7)式計算出對應范圍內(nèi)的Zmin，Zmax，Z取整數(shù)。以軸承額定動載荷為優(yōu)化目標，通過網(wǎng)格節(jié)點法和粒子群算法優(yōu)化不同型號的深溝球軸承，結果見表1：基于粒子群算法優(yōu)化得到的軸承額定動載荷比網(wǎng)格節(jié)點法高。

表1 軸承額定動載荷優(yōu)化結果Tab.1 Optimal results of dynamic load rating of bearings

4 結束語

以深溝球軸承的額定動載荷、額定靜載荷及額定聯(lián)合載荷為優(yōu)化目標，以球直徑、球組節(jié)圓直徑、球數(shù)、內(nèi)圈溝曲率半徑系數(shù)、外圈溝曲率半徑系數(shù)為設計變量，基于粒子群算法實現(xiàn)了軸承的主參數(shù)優(yōu)化。6214深溝球軸承的優(yōu)化結果說明該方法具有較高的收斂性，并通過與網(wǎng)格節(jié)點法對比驗證了優(yōu)化方法的有效性。同時，基于 .NET API對AutoCAD軟件進行二次開發(fā)，實現(xiàn)軸承二維圖紙的自動繪制與保存。本文提出的優(yōu)化設計系統(tǒng)實現(xiàn)了深溝球軸承從尺寸參數(shù)的優(yōu)化到圖紙生成和保存整個流程的自動化，降低了設計工作量，提高了設計效率及軸承設計領域的數(shù)字化水平。