小學(xué)數(shù)學(xué)計算教學(xué)中算理和算法的有效融合
——以蘇教版“小數(shù)加法和減法”為例

文 / 宋曉光

引 言

目前的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)存在重算法輕算理的問題，計算教學(xué)停留在淺層，難以培養(yǎng)學(xué)生良好的運算能力。究其原因，一方面教師忽視了算理的重要性，另一方面算理本身具有較強的抽象性，學(xué)生難以理解算理的內(nèi)涵。針對上述問題，教師應(yīng)發(fā)揮自身的引導(dǎo)作用，調(diào)整小學(xué)數(shù)學(xué)計算教學(xué)策略，從融合的角度看待算理教學(xué)、算法教學(xué)兩項教學(xué)內(nèi)容，通過細講解、多展示、活練習(xí)等教學(xué)手段提高學(xué)生算理、算法的學(xué)習(xí)效率，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。

一、重“理”，展開講解加深算理理解

“純粹數(shù)學(xué)，就其本質(zhì)而言，是邏輯思想的詩篇。”愛因斯坦的這句名言說明了數(shù)學(xué)算理的特點[1]。一直以來，算理在小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中所占的篇幅較大，圍繞其展開的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動較多。然而，受算理特質(zhì)的影響，部分學(xué)生無法在學(xué)習(xí)過程中理解抽象、復(fù)雜的算理內(nèi)容，存在囫圇吞棗的現(xiàn)象。針對小學(xué)數(shù)學(xué)算理教學(xué)問題，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的認知特點，設(shè)計簡單、直觀且有趣的算理教學(xué)方案，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)算理的理解。以蘇教版“小數(shù)加法和減法”一課教學(xué)為例，本課算理與整數(shù)加減法的算理是相通的，教師可把握這一特點從以下幾方面展開算理教學(xué)。

（一）回顧舊知，遷移算理

小學(xué)數(shù)學(xué)中的整數(shù)加減法教學(xué)、小數(shù)加減法教學(xué)，算理是相通的。教師應(yīng)關(guān)注兩部分教學(xué)內(nèi)容的計算普遍規(guī)律，并對計算規(guī)律的本質(zhì)進行探究，根據(jù)學(xué)生的具體學(xué)情組織舊知回顧教學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生在回顧舊知的過程中推理、遷移數(shù)學(xué)算理。

第一，分析學(xué)生學(xué)情，找準(zhǔn)算理遷移教學(xué)的切入點。對于五年級的學(xué)生而言，他們已經(jīng)學(xué)習(xí)了整數(shù)加減法的算理，同時積累了大量關(guān)于元、角、分的知識，基本掌握了小數(shù)的意義和性質(zhì)，這為學(xué)生理解“小數(shù)加法和減法”的算理奠定了知識基礎(chǔ)[2]。

第二，抽象數(shù)學(xué)算理，明確整數(shù)加減法算理與小數(shù)加減法算理的共同點。整數(shù)加減法的算理：個位數(shù)只能與個位數(shù)直接相加減，十位數(shù)只能與十位數(shù)直接相加減——相同數(shù)位上的數(shù)才能直接相加減。小數(shù)加減法的算理：計數(shù)單位相同的兩個數(shù)才能直接相加減——小數(shù)點對齊。

第三，綜合學(xué)生學(xué)情分析結(jié)果與數(shù)學(xué)算理內(nèi)容，出示遷移問題，具體如下。

（1）15+12=（ ）、39-18=（ ）、175+203=（ ）的結(jié)果是多少？計算原理是什么？該如何列豎式進行計算？（2）你能嘗試列出6.4+1.3=（ ）的計算豎式嗎？你是怎樣想的？

由第（1）問，學(xué)生列出如下豎式，得到計算結(jié)果：

根據(jù)三項豎式，學(xué)生聯(lián)想到兩位數(shù)加兩位數(shù)、兩位數(shù)減兩位數(shù)、三位數(shù)加三位數(shù)的整數(shù)豎式計算算理，即相同數(shù)位對齊并相加。由此，教師引導(dǎo)學(xué)生對第（2）問進行遷移：你認為6.4+1.3=（ ）的豎式應(yīng)如何列？激發(fā)學(xué)生的遷移意識，使其主動思考遷移問題，如兩位數(shù)、三位數(shù)的整數(shù)加減法的計算規(guī)律是相同位數(shù)相加，那么小數(shù)加減法的計算規(guī)律也是如此嗎？小數(shù)的相同位數(shù)是什么？怎樣相加小數(shù)的相同位數(shù)？

（二）深化演繹，呈現(xiàn)算理

淺嘗輒止的算理教學(xué)未觸碰數(shù)學(xué)算理本質(zhì)，致使學(xué)生不能在學(xué)習(xí)過程中充分領(lǐng)悟算理內(nèi)涵，計算學(xué)習(xí)基礎(chǔ)不扎實。為解決這一教學(xué)問題，教師有必要在課上演繹算理的形成與應(yīng)用，使學(xué)生在看、聽、悟、思的過程中掌握算理本質(zhì)，夯實算理學(xué)習(xí)基礎(chǔ)?！靶?shù)加法與減法”的計算本質(zhì)是十進制計算，為使學(xué)生進一步掌握十進制計算原理，教師應(yīng)用計數(shù)器進行演繹教學(xué)，具體如下。

講桌擺放計數(shù)器，用紅色、粉色、藍色、綠色珠子分別表示十位、個位、十分位、百分位。演繹過程中，組織學(xué)生隨機報小數(shù)，由教師用計數(shù)器擺出小數(shù)。

生1：擺出小數(shù)2.25。

師：在個位上擺出2顆粉色珠子，在十分位上擺出2顆藍色珠子，在百分位上擺出5顆綠色珠子。

生2：小數(shù)2.25與6.93相加？

師：在個位上添加6顆粉色珠子，在十分位上添加9顆藍色珠子，在百分位上添加3顆綠色珠子。

添加后，組織學(xué)生數(shù)不同數(shù)位上的珠子數(shù)量：個位有8顆粉色珠子，十分位有11顆藍色珠子，百分位有8顆綠色珠子。

師（提問）：現(xiàn)在計數(shù)器上呈現(xiàn)的是問題的最終結(jié)果嗎？應(yīng)該怎樣做？

生3：計數(shù)器滿十進一，應(yīng)該在十分位保留1顆藍色珠子，在個位加上1顆粉色珠子，百分位的珠子數(shù)量不變。

教師按照學(xué)生的說法調(diào)整計數(shù)器的珠子數(shù)量，得到：個位上有9顆粉色珠子，十分位上有1顆藍色珠子，百分位有8顆綠色珠子。

教師通過演繹指導(dǎo)學(xué)生在直觀觀察、對比思考、總結(jié)的過程中感悟算理，使學(xué)生充分理解“小數(shù)加法與減法”的計算本質(zhì)，即個位數(shù)與個位數(shù)對齊相加，十分位數(shù)與十分位數(shù)對齊相加，百分位數(shù)與百分位數(shù)對齊相加，滿十進一等，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)算理的理解。

二、強“法”，直觀應(yīng)用加強算法認識

（一）計算方法教學(xué)

（1）呈現(xiàn)算法：計算小數(shù)加、減法，先把各數(shù)的小數(shù)點對齊（也就是把相同數(shù)位上的數(shù)對齊），再按照整數(shù)加、減法的法則進行計算，最后在得數(shù)里對齊橫線上的小數(shù)點，點上小數(shù)點（得數(shù)的小數(shù)部分末尾有0，一般要把0去掉）。

（3）演繹講解：對于第一題，先對齊1.3、8.56兩個小數(shù)，補齊1.3的百分位為1.30，使百分位與百分位相加，十分位與十分位相加，個位與個位相加，得出計算結(jié)果；對于第二題，對齊14.6、0.34兩個小數(shù)，補齊14.6的百分位為14.60，百分位與百分位相減（不夠向前借一），十分位與十分位相減，個位與個位相減，得出計算結(jié)果。

（二）驗算方法教學(xué)

（1）呈現(xiàn)驗算方法：加法驗算時，可交換加數(shù)的位置重新計算，也可用加法運算之和減去一個加數(shù)，看得到的結(jié)果與另一個加數(shù)是否相同，若相同說明計算正確，不同說明計算錯誤；減法驗算時，將差與減數(shù)相加，若和等于被減數(shù)，說明計算正確，若和不等于被減數(shù)，說明計算錯誤。

（3）解釋：驗算1.3+8.56=9.86時，調(diào)換8.56與1.30的位置，得到計算結(jié)果9.86與原結(jié)果相同；用和9.86減去其中一個加數(shù)1.30得到的計算結(jié)果與另一個加數(shù)相同，說明計算正確；驗算14.6-0.34=14.26時，用差14.26與減數(shù)0.34相加得到計算結(jié)果14.60，與被減數(shù)相同，說明計算正確。

教師按照直觀呈現(xiàn)數(shù)學(xué)算法、習(xí)題演繹算法應(yīng)用方式、口頭解釋算法應(yīng)用過程的步驟進行“小數(shù)加法與減法”的算法教學(xué)，能夠使學(xué)生在初步認識、練習(xí)應(yīng)用、反思總結(jié)的過程中充分掌握數(shù)學(xué)算法，為日后的綜合應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。

三、促“融”，靈活練習(xí)加強理法融合

（一）聚焦融合重點，設(shè)計典型例題

在進行“小數(shù)加法與減法”的計算教學(xué)時，教師應(yīng)圍繞基本數(shù)學(xué)原理設(shè)計典型練習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生在審題、析題過程中感悟題目中蘊藏的數(shù)學(xué)算理，在解題過程中積累運算經(jīng)驗并總結(jié)數(shù)學(xué)算法，使學(xué)生明確如何“算”。

填空題：3.4+4.6表示_____，結(jié)果是_____。

糾錯題：14.34+5.67=71.04，86.7-5.9=81.8，這兩道題目的計算結(jié)果正確嗎？如果正確，說明原因；如果不正確，糾正錯題答案。

填空題充分考查了學(xué)生對小數(shù)加法運算原理的掌握情況，使學(xué)生透過問題本質(zhì)回顧小數(shù)加法計算的本質(zhì)。糾錯題中，兩道例題的計算結(jié)果都是錯誤的，錯誤的原因在于小數(shù)點未對齊，退位計算不正確。在探析錯誤原因時，學(xué)生對小數(shù)加法、小數(shù)退位減法的算理進行了回顧；在糾正錯題時，應(yīng)用正確算法得出14.34+5.67=20.01、86.7-5.9=80.8的正確答案，積累了更多運算經(jīng)驗。

（二）聚焦融合應(yīng)用，設(shè)計現(xiàn)實問題

為培養(yǎng)學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)算理、數(shù)學(xué)算法解決現(xiàn)實問題的能力，教師有必要在計算教學(xué)中設(shè)計現(xiàn)實問題，激發(fā)學(xué)生的應(yīng)用意識。對此，教師要關(guān)注小數(shù)加法、小數(shù)減法問題在現(xiàn)實生活中的具體體現(xiàn)，并根據(jù)小學(xué)生的數(shù)學(xué)計算水平設(shè)計難度分層的應(yīng)用習(xí)題，循序漸進地提升學(xué)生的算理、算法融合應(yīng)用能力。

（1）小明有零花錢10.5元，媽媽又給了她6.9元，她現(xiàn)在有多少零花錢？（2）食堂有13.6噸大米，吃掉4.5噸后還剩多少噸大米？

上述應(yīng)用題主要考查學(xué)生提煉題目信息，根據(jù)要求列小數(shù)加法、減法算式和數(shù)學(xué)計算的能力。在應(yīng)用題練習(xí)過程中，教師可讓學(xué)生在小組范圍內(nèi)交流、討論解題原理、計算思路、計算結(jié)果，使學(xué)生在互動學(xué)習(xí)中充分理解數(shù)學(xué)算理、算法的應(yīng)用意義及融合應(yīng)用方法，增強學(xué)生的融合學(xué)習(xí)意識。

（三）聚焦融合拓展，設(shè)計變式問題

小學(xué)數(shù)學(xué)計算教學(xué)中，教師應(yīng)注意整理、開發(fā)多元化的計算教學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考、探析數(shù)學(xué)計算問題，確保學(xué)生的計算思維處于活躍狀態(tài)，增強其學(xué)習(xí)效果。教師還可以具體算理、算法為教學(xué)根據(jù)，設(shè)計拓展習(xí)題。

拓展題目：一條1米長的鐵絲要圍成一個等腰三角形，一條腰長為3分米，底邊有多長？

設(shè)計意圖：這道題目隱藏小數(shù)減法計算信息。解題時，學(xué)生需要靈活變通計算思維，將不統(tǒng)一的數(shù)學(xué)單位變?yōu)榻y(tǒng)一的計算單位，并聯(lián)系等腰三角形的相關(guān)知識進行解題。

四、多“評”，綜合考評促進反思能力提高

教師應(yīng)將學(xué)生作為計算教學(xué)的主體，對學(xué)生算理學(xué)習(xí)、算法學(xué)習(xí)的實際情況進行相應(yīng)的評價，通過評價激勵學(xué)生進一步探究算理、算法的融合應(yīng)用方法。

例如，在完成“小數(shù)加法和減法”算理、算法的基本教學(xué)后，教師可出示課后測評習(xí)題：計算4.8+5.6、6.28+1.69、28-15.68、20.39-1.2的結(jié)果。根據(jù)學(xué)生的測評情況，教師要分析學(xué)生的錯誤原因，如豎式計算時抄錯數(shù)字、進退法則出錯、加減法看錯、數(shù)位未對齊、錯位相加減等。教師可將學(xué)生的計算錯誤原因歸類為算理不明、算法錯誤兩類，并統(tǒng)計因算理原因、算法原因造成計算錯誤的人數(shù)。根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果，教師能夠得到學(xué)生在算理學(xué)習(xí)、算法學(xué)習(xí)時的學(xué)情，給予學(xué)生專業(yè)的點評，使學(xué)生在針對性評價的引導(dǎo)下反思自身不足，探究提高方法。

結(jié) 語

綜上所述，算理教學(xué)與算法教學(xué)在小學(xué)數(shù)學(xué)計算教學(xué)中缺一不可。教師應(yīng)處理好算理、算法教學(xué)的關(guān)系，將算理作為教學(xué)基礎(chǔ)，將算法作為教學(xué)關(guān)鍵，并應(yīng)用針對性的教學(xué)手段推進二者深度融合，使學(xué)生從淺層的計算學(xué)習(xí)向深層的算理學(xué)習(xí)過渡。在實際教學(xué)中，教師應(yīng)靈活應(yīng)用多種教法，在講解、圖示、演繹、對話的過程中加深學(xué)生對抽象算理的理解，促進學(xué)生對數(shù)學(xué)算法的吸收，培養(yǎng)學(xué)生靈活解決實際問題的能力。