教師在圓錐曲線教學(xué)中的隱蔽錯誤及其反思

王淼生

（廈門第一中學(xué)，福建 廈門 361003）

筆者曾歸納了學(xué)生在解答三角、立體幾何、線性規(guī)劃等知識模塊試題中常見的典型錯誤及應(yīng)對策略.［1］圓錐曲線在高中數(shù)學(xué)中占有極其重要的地位，其本質(zhì)就是滲透數(shù)形結(jié)合思想，是高考、競賽中的重點(diǎn)、熱點(diǎn)、難點(diǎn).圓錐曲線相關(guān)試題知識點(diǎn)多、計(jì)算量大、推理過程繁、變形技巧高、解答靈活性強(qiáng)、思維跨越度大，導(dǎo)致學(xué)生出現(xiàn)這樣或那樣的瑕疵乃至錯誤.其實(shí)，錯誤不是學(xué)生“專利”.教師在圓錐曲線的精致概念、解題過程、命制試題、改編試題中也會類似瑕疵乃至錯誤，有些錯誤極其隱蔽，甚至個別問題至今都難以圓滿解決.減少乃至杜絕這些錯誤是一線教師必須面對的課題.

一、精致概念出現(xiàn)茫然

案例1：若橢圓焦點(diǎn)為F1（9,20）、F2(49,55)，且與x軸相切，則該橢圓長軸長的最小值為_____________.

錯解：案例1 為某地青年教師解題大賽試題.由于教材是在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下呈現(xiàn)圓錐曲線方程（即標(biāo)準(zhǔn)方程），因而不少教師看到焦點(diǎn)不在x軸或y軸，心生畏懼而放棄，還有不少教師沒有悟透概念（橢圓定義）更不會精致概念而茫然無措.

錯因：數(shù)學(xué)教學(xué)中最困難、最棘手的就是概念教學(xué)，數(shù)學(xué)概念是進(jìn)行推理、判斷、證明的依據(jù)，是構(gòu)建定理、法則、公式的基礎(chǔ)，是建立數(shù)學(xué)知識體系的根基，是形成數(shù)學(xué)思想方法的源泉，是解決數(shù)學(xué)問題的前提.數(shù)學(xué)教學(xué)核心就是概念教學(xué)，關(guān)鍵在于精致概念，這是考量教師專業(yè)功底的重要標(biāo)志.需要教師在概念產(chǎn)生、生成過程中明晰概念來龍去脈，在體驗(yàn)概念引入、發(fā)展進(jìn)程中辨析概念，在概念的歸納、提煉歷程中鞏固概念，在構(gòu)建、甄別概念動態(tài)過程中精致概念.教科書是這樣給出橢圓定義：

平面上動點(diǎn)p到兩個定點(diǎn)F1、F2距離之和為定值2a，且2a＞2c=此時動點(diǎn)P的軌跡是以定點(diǎn)F1、F2為焦點(diǎn)、2a為長軸長的橢圓.當(dāng)我們以定點(diǎn)F1、F2所在直線為x軸，線段F1F2中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系時，得到橢圓方程為=1.其實(shí)可以任意建系.當(dāng)然，不同建系方式，得到橢圓方程是不同的.只不過將焦點(diǎn)放在x軸或y軸時得到的方程最為簡單，故而稱為標(biāo)準(zhǔn)方程.進(jìn)一步精致橢圓定義得到：無論以何種方式建立直角坐標(biāo)系，其軌跡都是橢圓，且只要動點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動，恒有|PF1|+|PF2|=2a.據(jù)此得到以下正確解答：

二、強(qiáng)行計(jì)算出現(xiàn)失利

案例2：雙曲線中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，漸近線分別為l1，l2，經(jīng)過右焦點(diǎn)F且垂直于l1的直線l分別交l1，l2于A，B.若成等差數(shù)列，與同向.［2］

（I）求雙曲線的離心率；（II）設(shè)AB被雙曲線所截得的線段長為4，求雙曲線方程.

案例2 為2018 年高考全國I 卷文科第22 題（理科第21 題）.通過雙曲線這一載體，考查解析幾何基本思想、基本方法，涉及數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、方程等思想，是一道經(jīng)典試題，因此某地將上述案例2 第（I）問改為填空題并作為參加某省技能大賽測試題.案例2 入手不難，遺憾的是在規(guī)定時間內(nèi)完整解答出來的選手寥寥無幾.

錯解：設(shè)出直線l的方程并分別與l1，l2聯(lián)立求出A，B坐標(biāo)，再依據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求出，最后強(qiáng)行代入2看似目標(biāo)明確，但因字母較多，運(yùn)算量很大，加上時間緊張、心理壓力大，最終無功而返.

錯因：計(jì)算不同于運(yùn)算，這正是將數(shù)學(xué)運(yùn)算作為六大核心素養(yǎng)之一的緣由.漸近線作為雙曲線特有標(biāo)志，具有獨(dú)特性質(zhì).尤其要掌握過焦點(diǎn)作漸近線垂線所涉及的結(jié)論，有利于理解運(yùn)算對象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求出運(yùn)算結(jié)果，反思運(yùn)算歷程，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

圖1

三、解答試題出現(xiàn)偏差

錯因：案例3 是某地高三模擬試題.上述解答過程流暢，似乎無懈可擊，其實(shí)不然.由上述等號成立的條件便知m=n，且2β=，則△PF1F2為等腰直角三角形，即b=c（c為半焦距）.也就是說，當(dāng)點(diǎn)P位于橢圓短軸頂點(diǎn)且b=c時取得最大值.事實(shí)上，案例3中的條件并沒有必須保證具備b=c，因而上述解法實(shí)際上人為加強(qiáng)了條件而導(dǎo)致錯誤.

正解：由上述錯解過程及余弦定理可得

當(dāng)且僅當(dāng)m=n，即當(dāng)點(diǎn)P位于橢圓短軸頂點(diǎn)時取得最大值.

解析幾何最值問題經(jīng)常借助基本不等式求解.但多次使用基本不等式要保證每一次等號成立的條件和諧相處，尤其當(dāng)基本不等式與三角同時進(jìn)行放縮時，更要慎重檢驗(yàn)放縮過程是否與題意保持一致，是否忠實(shí)于原題要求，否則會出現(xiàn)意想不到的錯誤.

四、命制試題出現(xiàn)錯誤

圖2

錯因：案例4 源自某地考題.上述求解、推理看似嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范，但這確實(shí)是一道錯題.原因在于滿足條件的點(diǎn)P根本不存在.而上述解答過程是在默認(rèn)點(diǎn)P存在的前提下而得到.

由此說明直線F1P與這條漸近線平行，這就意味著直線F1P與雙曲線右支根本不可能相交，從而說明這樣的點(diǎn)P不存在，當(dāng)然△PF1F2就不存在.

修復(fù)：要使這樣的△PF1F2存在，只要使得kF1P＜k1，比如，已知“直線IF1的斜率為”就存在這樣的△PF1F2，依據(jù)上述解答方法可以求出相應(yīng)的△PF1F2的內(nèi)切圓的方程.

五、改編試題出現(xiàn)瑕疵

上式即為動點(diǎn)P的軌跡方程，因此動點(diǎn)P的軌跡為橢圓（去掉A，B）.

同理，設(shè)Q(x,y)，依據(jù)已知條件可得

圖3

圖4

錯因：案例5 源自某地高三質(zhì)檢題.以向量為載體，考查圓、橢圓及最值、范圍，凸顯數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸等思想，是一道集知識、能力、方法、思想及素養(yǎng)于一體的綜合性較強(qiáng)試題.從局部看，上述解答每一步似乎都是嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范的，但從整體審視，確實(shí)存在瑕疵，甚至錯誤，而且極其隱蔽.［1］那到底錯在哪兒呢？是解答錯誤還是試題本身有瑕疵呢？

為了便于說明問題，以下將原題摘錄如下：

案例6：設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(-5,0)，(5,0).直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積為-，求點(diǎn)M的軌跡方程.

案例6 事先設(shè)置了點(diǎn)的坐標(biāo)，因此其軌跡與方程是唯一確定的.然而，上述解答過程中的建系是將線段AB所在直線為x軸，也就是說，解答中得到的橢圓=1 是長軸最短的橢圓（如圖5）.倘若將線段AB所在直線為y軸，那么得到的橢圓就是長軸最長的橢圓（如圖6），這就說明案例5 中的橢圓是一個不確定的橢圓.

圖5

圖6

事實(shí)上，線段AB不一定必須作為橢圓長軸.將線段AB作為橢圓任意一條中心弦都可以滿足斜率之積為定值.也就是說，上述解答正是在長軸最短的橢圓下得到的答案，顯然是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?為了更加直觀地說明問題，利用幾何畫板繪出以下圖形：

以|PQ|最小值為例：圖7 就是長軸最短的橢圓，此時|PQ|min≈0.85；圖8 就是長軸最長的橢圓，此時≈0.90.由此說明不同建系得到的最小值是不同的！至此，可以判定上述解答過程是錯誤的.遺憾的是，因筆者功底淺薄，至今還有一些疑惑：如果案例5 正確，那么| |PQ取值范圍到底是什么？如果案例5本身存在瑕疵，瑕疵在哪兒？又該如何修復(fù)？以后命制此類試題時如何避免犯同樣錯誤？

圖7

圖8

羅增儒教授認(rèn)為，錯誤是越過障礙、達(dá)到目標(biāo)的必經(jīng)階段；錯誤是接受洗禮、走向成熟的必要磨煉.［3］錯誤是一面鏡子，能夠充分暴露解題人、命題人的構(gòu)思?xì)v程、思維過程，同時錯誤也是難得的、寶貴的教學(xué)資源，深刻反思出現(xiàn)錯誤的誘因、出現(xiàn)錯誤的方式以及矯正錯誤的良策，撥亂反正，走出誤區(qū)，在“錯”中“磋”、在“誤”中“悟”、在“探”中“嘆”.