實正態(tài)過程線性組合之均方不定積分的正態(tài)性的證明

呂 芳

(洛陽師范學院 數(shù)學科學學院， 河南 洛陽 471934)

0 引言

正態(tài)過程又稱為高斯過程，是一種重要的隨機過程，在實際問題中，許多隨機過程都可看作或近似地看作正態(tài)過程，并且正態(tài)過程比別的隨機過程更便于進行數(shù)學處理，實正態(tài)過程的均方微積分理論在工程技術(shù)中有著重要應用[1]95.已有理論證實一個實正態(tài)過程的均方不定積分仍是實正態(tài)過程[2]85，文獻[3]1-3討論了一個實正態(tài)過程的均方積分的正態(tài)性，文獻[4]討論了一個實正態(tài)過程的多重均方不定積分的正態(tài)性.上述研究的主要對象是單一的實正態(tài)過程，筆者在此基礎(chǔ)上證明滿足一定條件的實正態(tài)過程的線性組合的均方不定積分仍為實正態(tài)過程，同時給出了該實正態(tài)過程的幾個數(shù)字特征及任意有限維特征函數(shù).

1 基本概念

定義2[5]設{X(t),t∈T}是一個隨機過程，如果對于任意n≥1和任意t1,t2,…,tn∈T，(X(t1),X(t2),…,X(tn))是n維正態(tài)隨機向量，則稱{X(t),t∈T}為正態(tài)過程或高斯過程.

將概率空間(Ω,F,P)上具有二階矩的隨機變量的全體記為H.

2 相關(guān)定理

引理2[9]設m維隨機向量X=(X1,X2,…,Xm)～N(μ,B)，若n維隨機向量Y是X的線性變換，即Y=XC，其中C是m×n階矩陣，則Y服從n維正態(tài)分布N(μC,CTBC).

定理1 設{X1(t),t∈T}，{X2(t),t∈T}，…，{Xm(t),t∈T}為m個相互獨立的實正態(tài)過程，記第i(1≤i≤m)個實正態(tài)過程{Xi(t),t∈T}的均值函數(shù)為mXi(t)，協(xié)方差函數(shù)為CXi(s,t),令Z(t)=α1X1(t)+α2X2(t)+…+αmXm(t),t∈T，其中α1,α2,…,αm是不全為零的實常數(shù)，則{Z(t),t∈T}仍為實正態(tài)過程，其均值函數(shù)為

mz(t)=α1mX1(t)+α2mX2(t)+…+
αmmXm(t),t∈T.

(1)

協(xié)方差函數(shù)為

(2)

證明1)由于{X1(t),t∈T},{X2(t),t∈T},…，{Xm(t),t∈T}均為實正態(tài)過程且相互獨立，所以?n≥1，?t1,t2,…,tn∈T，隨機向量(X1(t1),X1(t2),…,X1(tn))、(X2(t1),X2(t2),…,X2(tn))、…、(Xm(t1),Xm(t2),…,Xm(tn))均服從n維正態(tài)分布且這m個向量相互獨立，由引理1知隨機向量(X1(t1),X1(t2),…,X1(tn),X2(t1),X2(t2),…,X2(tn),…,Xm(t1),Xm(t2),…,Xm(tn))服從n×m維正態(tài)分布，即隨機向量(X1(t1),X2(t1),…,Xm(t1),X1(t2),X2(t2),…,Xm(t2),…,X1(tn),X2(tn),…,Xm(tn))服從n×m維正態(tài)分布.

由引理2知隨機向量(Z(t1),…,Z(tn))服從n維正態(tài)分布，故隨機過程{Z(t),t∈T}為實正態(tài)過程.

2)下面計算實正態(tài)過程{Z(t),t∈T}的均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù).

{Z(t),t∈T}的均值函數(shù)為

mz(t)=E(Z(t))=E(α1X1(t)+α2X2(t)+…+
αmXm(t))=α1E(X1(t))+α2E(X2(t))+…+
αmE(Xm(t))=α1mX1(t)+α2mX2(t)+…+
αmmXm(t),t∈T.

{Z(t),t∈T}的相關(guān)函數(shù)為

{Z(t),t∈T}的協(xié)方差函數(shù)為

定理得證.

(3)

定理2 設隨機過程{X1(t),t∈[a,b]},{X2(t),t∈[a,b]},…,{Xm(t),t∈[a,b]}在[a,b]上都均方連續(xù)，令Z(t)=α1X1(t)+α2X2(t)+…+αmXm(t),t∈[a,b]，其中α1,α2,…,αm是不全為零的常數(shù)，則{Z(t),t∈[a,b]}在[a,b]上均方連續(xù).

故{Z(t),t∈[a,b]}在[a,b]上均方連續(xù).

定理5[3]2設{X(t),t∈T}為正態(tài)過程，均值函數(shù)為mX(t),協(xié)方差函數(shù)為CX(s,t),則{X(t),t∈T}的任意有限維特征函數(shù)為

(4)

3 主要結(jié)論

定理6 設{X1(t),t∈[a,b]},{X2(t),t∈[a,b]},…，{Xm(t),t∈[a,b]}是m個均方連續(xù)的實正態(tài)過程，且相互獨立，記第i(1≤i≤m)個實正態(tài)過程{Xi(t),t∈T}的均值函數(shù)為mXi(t)，協(xié)方差函數(shù)為CXi(s,t),令

其中α1,α2,…,αm是不全為零的實常數(shù).則{H(t),t∈[a,b]}為實正態(tài)過程，其任意有限維特征函數(shù)為

(5)

其中ri∈R,ti∈[a,b],i=1,2,…,n,n∈N, j2=-1.

令Z(t)=α1X1(t)+α2X2(t)+…+αmXm(t),t∈[a,b]，由式(1)知{Z(t),t∈[a,b]}的均值函數(shù)為

mz(t)=α1mX1(t)+α2mX2(t)+…+
αmmXm(t),t∈[a,b]，

由式(2)知{Z(t),t∈[a,b]}的協(xié)方差函數(shù)為

由定理4知{H(t),t∈[a,b]}的均值函數(shù)為

協(xié)方差函數(shù)為

由式(4)知{H(t),t∈[a,b]}的任意有限維特征函數(shù)為

其中ri∈R,ti∈[a,b],i=1,2,…,n,n∈N,j2=-1.

定理得證.