比較大小也可以“小題大做”

劉大偉 李勇霞

(重慶市江津中學(xué)校)

縱觀近幾年的高考,比較大小問題已從單一的知識考查,過渡到多知識融合的綜合性考查,求解方法也從常規(guī)的作差法和作商法,過渡到借助函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)等知識進行知識和技巧的雙重運用.該類型問題綜合性很強,旨在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力、推理能力和計算求解能力等,涉及化歸與轉(zhuǎn)化思想,滲透直觀想象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)等.

1 利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性實現(xiàn)“小題大做”

點評在利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行試題求解的過程中,往往會涉及對數(shù)形式的化簡及實數(shù)比較大小的常用方法等,同時,要求學(xué)生具有敏銳的觀察力,找到中間值是求解該題的關(guān)鍵.

點評在判斷對數(shù)值正負的過程中,有時會用到如下結(jié)論:logab的正負由a,b共同決定,若a,b都在區(qū)間(0,1)或(1,＋∞)上,則對數(shù)值為正,否則為負.

2 借助中間值實現(xiàn)“小題大做”

例3若a＝log23,b＝log34,c＝log45,則a,b,c的大小關(guān)系是( ).

由于y＝xlnx在(1,＋∞)單調(diào)遞增,故當x∈(1,＋∞)時,h′(x)＜0,即h(x)在(1,＋∞)單調(diào)遞減,所以h(2)＞h(3)＞h(4),即c＜b＜a,故選D.

3 利用基本不等式實現(xiàn)“小題大做”

例4(2020 年全國Ⅲ卷理12)已知55＜84,134＜85.設(shè)a＝log53,b＝log85,c＝log138,則( ).

A.a＜b＜cB.b＜a＜c

C.b＜c＜aD.c＜a＜b

點評由題意可知a,b,c∈(0,1),故

所以a＜b.

綜上,a＜b＜c,故選A.

點評該題的求解過程用到對數(shù)的換底公式、基本不等式、指數(shù)函數(shù)單調(diào)性等知識,該題在求解過程中,基本不等式的運用是解題的關(guān)鍵,而基本不等式在試題中的主要作用往往涉及最值的求解.一般地,利用不等式(當且僅當x＝y(tǒng)時,等號成立)求最小值;利用不等式(當且僅當x＝y(tǒng)時,等號成立)求最大值.在比較大小過程中,求解對數(shù)的運算以及基本不等式的綜合試題的關(guān)鍵在于熟練運用運算的技巧以及相關(guān)性質(zhì).

4 通過構(gòu)造函數(shù)實現(xiàn)“小題大做”

綜上,c＜a＜b,故選C.

解析該試題要求學(xué)生具備敏銳的觀察能力,由c＝－ln0.9＝ln0.9－1＝,可以構(gòu)造函數(shù)h(x)＝ln(1－x)－x,從而探究b,c之間的大小關(guān)系,因此,尋求條件中相關(guān)數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系是構(gòu)造函數(shù)的前提.

例7(2022年全國甲卷文12)已知9m＝10,a＝10m－11,b＝8m－9,則( ).

點評首先由條件9m＝10,可得m∈(1,1.5),同時,根據(jù)條件a,b的特點,構(gòu)造函數(shù)f(x)＝xm－x－1(x＞1),從而進行常規(guī)求導(dǎo),判斷單調(diào)性,利用函數(shù)的單調(diào)性比較a,b的大小.

5 小結(jié)

縱觀近幾年的高考,通過構(gòu)造函數(shù),實現(xiàn)大小比較,依然成為一種重要方法,關(guān)鍵在于通過對比題干數(shù)據(jù),構(gòu)造恰當函數(shù),通過常規(guī)求導(dǎo),實現(xiàn)數(shù)據(jù)的大小比較.該類問題綜合性很強,旨在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力、推理能力和計算求解能力等,涉及轉(zhuǎn)化與化歸思想,滲透直觀想象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)等.

總而言之,比較大小類問題往往以指數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的定義、圖像和性質(zhì)為基礎(chǔ),綜合不等式、三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等相關(guān)知識,實現(xiàn)知識的綜合運用.此外,該類型試題往往涉及函數(shù)與方程思想、特殊與一般思想以及轉(zhuǎn)化與化歸思想等,設(shè)置巧妙,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理以及數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).

鏈接練習(xí)

鏈接練習(xí)參考答案

1.A.2.B.3.B.

(完)