精準把握教材 用心設(shè)計教學

■文/袁芹芹

2022年9月陜西省將從高一年級開始使用人教A版數(shù)學新教材，實施新課標，迎接新高考。為此，我們開展了一系列學習研究工作，以期拋磚引玉。

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》要求，廣大教師在日常教學中要堅持學習，更新觀念，及時精準把握與研究教材教法，根據(jù)學生實際，激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生靈活豐富的數(shù)學思維能力，在備課和教學時務(wù)必做到“目中有人”，充分發(fā)揮學生的主觀能動性，讓每個學生都能積極主動地融入到課堂與活動中，確保所有學生得到不同程度的發(fā)展。

一、精準把握新課標、新教材

數(shù)學教科書的修訂要進一步全面落實“立德樹人”基本理念，注重體現(xiàn)數(shù)學學科本身獨特鮮明的育人價值。人教A版教科書的編寫體系強調(diào)發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，抓住函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計、數(shù)學建模與數(shù)學探究活動等四大內(nèi)容主線，明確數(shù)學核心素養(yǎng)在不同內(nèi)容體系中表現(xiàn)出來的連續(xù)性和階段性，通過大量案例創(chuàng)設(shè)恰當且具體的實際問題情境，引導學生用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界。

（一）關(guān)注數(shù)學概念的形成過程

人教A版教科書通過合理設(shè)置（如觀察、思考、探究、歸納整理等具體欄目），讓學生真正投入到探索數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展歷程中，同時更注意將一些復雜的問題分解成一個個具體的小問題，讓學生從中體驗運用類比、歸納、演繹、總結(jié)等學習方法，明確探索數(shù)學研究的一般規(guī)律，感悟新舊知識之間的聯(lián)系。體現(xiàn)數(shù)學知識的基本形成過程：問題→數(shù)學概念→數(shù)學性質(zhì)或規(guī)律→解決實際問題。

比如，“三角函數(shù)”一章中公式較多，知識點瑣碎，針對這一內(nèi)容，編者根據(jù)知識本身的發(fā)生、發(fā)展過程，精心設(shè)置“觀察、思考、探究”等欄目，引發(fā)學生進行深入思考，使這些零碎的知識點有機地關(guān)聯(lián)起來，體現(xiàn)了數(shù)學的思想性和整體性特點，也可以說向?qū)W生充分展示出了數(shù)學研究的系統(tǒng)方法。

又如，在“等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)”一節(jié)中，教科書首先設(shè)置了一個思考欄目：“請你先梳理等式的基本性質(zhì)，再觀察它們的共性。你能歸納一下，等式基本性質(zhì)的方法嗎？”教師引導學生歸納概括“等式的基本性質(zhì)所蘊含的數(shù)學思想方法”，然后再通過“探究”欄目，讓學生“由等式的基本性質(zhì)類比猜想不等式的基本性質(zhì)”，并加以證明。

（二）關(guān)注數(shù)學內(nèi)容的主線聯(lián)系

數(shù)學是研究數(shù)量關(guān)系和空間圖形的學科，借助形的直觀可以更好地理解抽象的數(shù)，有了數(shù)的度量可以更準確地刻畫形的性質(zhì)。教科書特別關(guān)注不同主線內(nèi)容結(jié)構(gòu)之間的有機聯(lián)系，注重向?qū)W生全面揭示數(shù)學知識的多樣性，以及背后隱藏的諸多共同的思想方法。

幾何主要用來研究各種圖形，直觀形象但通常不易于數(shù)學計算，代數(shù)有規(guī)有矩但缺乏直觀，兩者需要互相取長補短。需要進行計算的時候，我們可以將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)的形式進行計算；需要理解的時候，我們可以將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來幫助理解。向量兼有代數(shù)與幾何的雙重優(yōu)點，集數(shù)、形于一身可以進行這種數(shù)學轉(zhuǎn)化，能真正有效地達成培養(yǎng)學生的直觀想象與數(shù)學運算等核心素養(yǎng)的教育目標。

教科書以向量為工具，展開對代數(shù)與幾何內(nèi)容的呈現(xiàn)，既符合學生的認知規(guī)律，又有助于突出幾何直觀與數(shù)學運算之間的有機融合，讓學生能夠感悟數(shù)學知識體系之間的有機聯(lián)系，加強學生對數(shù)學整體性概念的理解。正所謂“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”。

二、精心設(shè)計教學過程

教學設(shè)計是教師構(gòu)思教學活動的過程，凝聚著教師對教學的深層理解、感悟和對教育價值的理想追求，閃爍著教師特有的教學智慧和創(chuàng)新精神，是教師教學過程中的一項創(chuàng)造性勞動。在教學過程中，教師要準確理解教材編寫意圖，精心設(shè)計教學過程，創(chuàng)設(shè)有意義的教學情境，層層分析，剝繭抽絲，讓學生經(jīng)歷解決問題的全過程，產(chǎn)生進一步探索數(shù)學奧秘的熱切愿望，進而實現(xiàn)數(shù)學核心素養(yǎng)的全面提升。

（一）整體把握數(shù)學新課程，為提升學生核心素養(yǎng)導航

整體把握數(shù)學課程特點也就摸準了教學設(shè)計中的方向標，讓“學”真正成為教學設(shè)計的核心。整體把握新課程，需要從以下兩個方面加以努力：一要認真研讀《課標》，整體把握和理解高中數(shù)學課程的目標，深入思考教與學的關(guān)系。二要基于《課標》，認真研讀新教材，整體把握“四基”與數(shù)學學科核心素養(yǎng)的聯(lián)系。基于理論與實踐，不斷探索數(shù)學教學的規(guī)律，特別是學生學習高中數(shù)學的規(guī)律，探索如何把科學形態(tài)的數(shù)學轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)的數(shù)學，成功設(shè)計出既符合新課標要求，又切合學生實際的教學設(shè)計方案。

（二）積極創(chuàng)設(shè)適切的教學情境，為提升學生核心素養(yǎng)啟航

數(shù)學教學不只是教會學生做題，更重要的是教會學生思考，讓學生在數(shù)學學習中體會數(shù)學的本質(zhì)，掌握數(shù)學的精髓，打通學習的渠道。教師要引導學生熟練掌握抽象、分析、綜合、比較等數(shù)學思維，在思維發(fā)展的過程中，了解數(shù)學知識“從哪里來”。不僅要知其然，還要知其所以然，學生在理解的基礎(chǔ)上，主動思考并運用數(shù)學知識解決實際問題，使自身對知識的理解更加深刻、透徹。如此學生既掌握了知識與技能，又深刻感悟了所學知識的本質(zhì)，積累了數(shù)學思維和實踐活動的經(jīng)驗，為提升核心素養(yǎng)搭建了良好平臺。

例如，在函數(shù)教學中，從最初的“事實”逐步發(fā)展到“定義”，就是通過實例讓學生逐步理解函數(shù)的概念和內(nèi)涵，進一步認識到函數(shù)y=f（x），x∈A的一般性，并且能用函數(shù)的思想和方法來重新認識和研究、表達現(xiàn)實世界中的各種變量關(guān)系（如直線上升、指數(shù)爆炸、周期變化等）。

（三）開展豐富多彩的教學活動，為提升學生核心素養(yǎng)護航

在教學活動中，教師應(yīng)準確把握課程目標、課程內(nèi)容、學業(yè)質(zhì)量的要求，合理設(shè)計教學進度，通過豐富多彩的教學活動，在學生掌握知識技能的同時，促進數(shù)學學科核心素養(yǎng)的提升。教師要結(jié)合具體的教學內(nèi)容，落實“四基”，培養(yǎng)“四能”，促進學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展。教師要把教學活動的重心放在促進學生學會學習上，積極探索有利于促進學生學習的多樣化教學方式，不能僅僅局限于講授與練習，同時還包括引導學生閱讀自學、獨立思考、動手實踐、自主探索、合作交流等。教師要善于根據(jù)不同的內(nèi)容和學習任務(wù)采用不同的教學方式，優(yōu)化教學，抓住關(guān)鍵的教學與學習環(huán)節(jié)，增強教學的實效性。

三、加強數(shù)學探究活動

數(shù)學探究活動是圍繞某個具體的數(shù)學問題，開展自主探索、合作研究并最終解決問題的過程。具體表現(xiàn)在：發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學問題，猜測合理的數(shù)學結(jié)論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數(shù)學結(jié)論。數(shù)學探究活動是運用數(shù)學知識解決數(shù)學問題的一類綜合實踐活動，也是高中階段數(shù)學課程的重要內(nèi)容。

（一）設(shè)置探究活動

從《課標》對數(shù)學探究的定位可以看出，數(shù)學探究要著重探究一個具體的，具有綜合性、復雜性的數(shù)學問題，是帶有數(shù)學課題研究味道的一項創(chuàng)新性實踐探究活動。

向量具有集數(shù)與形于一身的顯著特點，用向量法探究三角形的性質(zhì)，其證明過程程序化，較幾何法有更大的優(yōu)勢。教學中，教師通過引導學生回顧舊知，創(chuàng)設(shè)情境以激發(fā)學生的探究欲望。在學生探究的過程中，教師要適時指導學生將圖形語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學符號語言，強化幾何圖形的性質(zhì)與向量運算之間的內(nèi)在聯(lián)系，促進學生對數(shù)形結(jié)合思想的理解。

圓錐曲線是高中解析幾何學的重要內(nèi)容之一，既是高中數(shù)學的重點，又是難點，圓錐曲線焦點弦就是經(jīng)過圓錐曲線焦點的弦，焦點弦問題涉及離心率、直線斜率（或傾斜角）、定比分點（向量）、焦半徑和焦點弦長等有關(guān)知識，是圓錐曲線的“動脈神經(jīng)”，集數(shù)學知識、思想方法和解題方法于一身。對焦點弦的探究，讓各個層次的學生都有所收獲，可以真正體現(xiàn)“讓不同的學生在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”的教育理念。

可見向量和圓錐曲線都是很好的探究素材。在學生開展探究活動時，教師要注意了解學生活動的進展情況，并在發(fā)現(xiàn)值得研究的數(shù)學問題、構(gòu)建探究的思路、形成解題的方法等方面加以指導。可以提示學生采用不同的數(shù)學知識解決問題，通過對問題的拓展、推廣等發(fā)現(xiàn)更多數(shù)學問題，獲得更多數(shù)學結(jié)論。

（二）經(jīng)歷數(shù)學探究過程

通過選擇各種研究素材適時設(shè)置探究活動，讓學生通過自主探究、合作交流相結(jié)合的方式獲得更多有效的數(shù)學結(jié)論，在自主探究的實踐過程中提高學習數(shù)學的興趣，提升數(shù)學核心素養(yǎng)。

比如“正方體截面的探究”：用一個平面截正方體，截面的形狀將會是什么樣的？啟發(fā)學生提出逐漸深入的系列問題，引導學生進行深入思考。學生可以自主或在教師的引導下提出問題：

（1）給出截面圖形的分類原則，找到這些形狀截面的方法，畫出這些截面的示意圖。例如，可以按照截面圖形的邊數(shù)進行分類。

（2）如果截面是三角形，可以截出幾種不同的三角形？為什么？

（3）如果截面是四邊形，可以截出幾種不同的四邊形？為什么？

（4）還能截出哪些多邊形？為什么？

然后，進一步探討：

（5）能否截出正五邊形？為什么？

（6）能否截出直角三角形？為什么？

（7）有沒有可能截出邊數(shù)超過6的多邊形？為什么？

（8）是否存在正六邊形的截面？為什么？

最后思考：

（9）截面面積最大的三角形是哪種三角形？為什么？

這是一個跨度很大的數(shù)學問題串，可以針對不同學生設(shè)計不同的教學方式，通過多種方法實施探究。例如，教師可以通過切豆腐塊的示例，啟發(fā)學生展開思考；也可以在透明正方體盒子中注入有顏色的水，觀察不同擺放位置、不同水量時液體表面的形狀；還可以借助信息技術(shù)直觀快捷地展示各種可能的截面。但是，觀察不能代替證明。探究的難點是分類找出所有可能的截面，并證明哪些形狀的截面一定存在或者一定不存在。教師可以鼓勵學生通過操作觀察，形成猜想，證明結(jié)論。經(jīng)歷這樣逐漸深入的探究過程，有利于培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、分類討論、作圖表達、推理論證等能力，在具體情境中提升了他們的直觀想象、數(shù)學抽象、邏輯推理等素養(yǎng)。如此使學生真正學會了數(shù)學探究的方法，提高了學生的“四能”（即發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力）。

通過科學理性的創(chuàng)新思維方式編寫教材，充分搭建起“四基”“四能”的培養(yǎng)平臺，有助于學生感悟數(shù)學基本思想、積累活動經(jīng)驗，促進其數(shù)學核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展，也有利于教師創(chuàng)造性地開展教學。

（三）教會學生思考和表達

“為學之道，必本于思，思則得之，不思則不得也。”數(shù)學學習的最高境界是學會思考，有了思考才能獲得對知識的理解，進而才會加以應(yīng)用。學生會思考的表現(xiàn)，體現(xiàn)在三個方面：一是會聯(lián)想。學生能將新知轉(zhuǎn)化為舊知，并能由舊知推理得到新知，獲得演繹推理的思維能力。二是會概括。學生能抽象概括出數(shù)學知識的一般結(jié)論、規(guī)律或性質(zhì)，體會數(shù)學的本質(zhì)，包括由特例抽象出一般性的推理能力。三是會拓展。通過舉一反三達到融會貫通，領(lǐng)悟數(shù)學的“魂”的能力。

學會數(shù)學的表達是學生理解數(shù)學知識的體現(xiàn)，也是學生靈活應(yīng)用數(shù)學知識的展現(xiàn)。學生會表達，體現(xiàn)在三個方面：一是會抽象。數(shù)學的學習就是數(shù)學符號的抽象過程，也就是將具體事物抽象到一般化、數(shù)學化的過程，會用抽象的數(shù)學符號表示是學會表達的前提。二是會說理。數(shù)學的核心是推理，推理是學生數(shù)學思維和理性特征的重要體現(xiàn)，能將推理過程用數(shù)學語言進行表達是學會表達的關(guān)鍵。三是會舉例。舉例是數(shù)學最好的表達。

因此，是否會舉例是代表學生數(shù)學理解能力的重要標志。學生會舉例代表著對知識的理解透徹，特別是對數(shù)學概念、數(shù)學性質(zhì)、數(shù)學本質(zhì)理解到位的最有力表現(xiàn)。例如，在學習了“兩角和與差的正切公式”后，教師讓學生證明：

通過類比，學生自主編題，掌握此類問題的一般解決方法，達到舉一反三，觸類旁通的效果。

總之，數(shù)學有自身的邏輯，教學和學習同樣也有自己的邏輯，融會貫通才能打通數(shù)學學習的渠道。不忘數(shù)學教育初心，站在培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的高度，通盤思考教材的編寫、教師的教學和學生的學習，以舉例來加深學生對數(shù)學本質(zhì)的理解，通過拓展應(yīng)用進行推廣，以舉一反三達到融會貫通。只要教師專注于有利于核心素養(yǎng)目標達成的教學策略，學生自覺建構(gòu)會思考和能表達的學習方法，就一定能實現(xiàn)以素養(yǎng)為核心的數(shù)學教學。