基于OmPD模型的自行車(chē)全地形功率分配方式

王澤陽(yáng)，趙顥博,2，王怡菲

(1.沈陽(yáng)航空航天大學(xué) 國(guó)際工程師學(xué)院，沈陽(yáng) 110136；2.美國(guó)南伊利諾伊大學(xué) 航空學(xué)院，卡本代爾 62901)

0 引言

自行車(chē)計(jì)時(shí)賽中，選手既需要足夠的爆發(fā)力來(lái)進(jìn)行短時(shí)間的沖刺，也需具有騎行數(shù)小時(shí)的耐力。騎行能力可以用功率曲線來(lái)描述，表示運(yùn)動(dòng)員在每個(gè)持續(xù)時(shí)間內(nèi)所能維持的最大能量，獲得功率曲線，對(duì)指導(dǎo)訓(xùn)練和比賽具有重要意義。

為描述給定時(shí)間段內(nèi)的最大平均功率，引入了MMP(mean maximal power output)概念來(lái)描述功率曲線，但其中存在著數(shù)據(jù)集較大[1]、測(cè)試時(shí)間不一致且不便于比較[2]的問(wèn)題。提出采用MMP數(shù)據(jù)集、借用較少的參數(shù)建立數(shù)學(xué)模型，對(duì)功率曲線進(jìn)行擬合的方法。

被用于功率曲線擬合的數(shù)學(xué)模型主要有雙參數(shù)臨界功率(2P-CP)模型、三參數(shù)臨界功率(3P-CP)模型和OmPD模型[2]。其中，雙參數(shù)臨界功率(2P-CP, two-parameter critical power )模型是研究最深入的[3]，其描述了輸出功率與力竭時(shí)間之間的雙曲線關(guān)系，引入臨界功率CP和無(wú)氧運(yùn)動(dòng)能力作為描述模型的參數(shù)。該模型表達(dá)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，但存在適用運(yùn)動(dòng)時(shí)間范圍較窄的局限性[2]。Poole等提出了三參數(shù)臨界功率(3P-CP)模型，用于擬合運(yùn)動(dòng)員較短持續(xù)時(shí)間內(nèi)的功率曲線[3]，但該模型高估了較長(zhǎng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間下的功率輸出能力。Michael等提出了OmPD(omni power duration model)模型，用于擬合所有運(yùn)動(dòng)持續(xù)時(shí)間范圍內(nèi)的功率曲線[4]。

地形因素是自行車(chē)個(gè)人計(jì)時(shí)賽中的重要影響因素，選手在上坡、下坡和平地這三種地形的功率分配方式將對(duì)比賽成績(jī)產(chǎn)生顯著影響。目前，關(guān)于通過(guò)建立功率曲線模型來(lái)分析不同地形下功率最佳分配方式的文獻(xiàn)較少，相應(yīng)方法對(duì)于實(shí)際比賽缺乏指導(dǎo)意義。本研究采用OmPD模型建立功率曲線，為運(yùn)動(dòng)員在不同地形下的功率分配方式提出建議。

1 功率曲線模型的建立

OmPD模型考慮了運(yùn)動(dòng)員不能以臨界功率無(wú)限地運(yùn)動(dòng)下去，故而引入了對(duì)數(shù)衰減項(xiàng)來(lái)描述較長(zhǎng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間下的功率輸出。根據(jù)參考文獻(xiàn)[1]，OmPD模型功率曲線可表示為：

CP;t≤TCPmax

(1)

(2)

式中，CP為臨界功率，W′為無(wú)氧工作能力，表示超過(guò)臨界功率后的運(yùn)動(dòng)能力。Pmax為1 s內(nèi)的峰值功率，A為描述輸出功率隨時(shí)間下降的固定常數(shù)，TCPmax為以CP運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)持續(xù)時(shí)間，參考文獻(xiàn)[1]取1 800 s。采用Valenzuela等對(duì)男性職業(yè)自行車(chē)運(yùn)動(dòng)員的MMP值的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)[5]進(jìn)行模型擬合，得到的模型參數(shù)如表1所示，運(yùn)動(dòng)員的功率曲線如圖1所示。可以發(fā)現(xiàn)，擬合出的功率曲線與實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到的MMP符合較好，因此認(rèn)為建立的功率曲線模型準(zhǔn)確可靠。

表1 OmPD模型參數(shù)Tab.1 OmPD model parameters

圖1 OmPD模型功率曲線Fig.1 OmPD model power curve

2 各地形功率分配模型

2.1 最佳功率分配方式的理論分析

為給出在復(fù)合地形賽道下的最佳功率分配方式，需建立在不同地形下的功率輸出模型。在忽略風(fēng)力影響和加速度影響的情況下，可以認(rèn)為運(yùn)動(dòng)員在比賽中的輸出功率與騎行速度、騎行阻力和地形坡度有關(guān)：

P=cv3+mgv(μ+s)

(3)

式中，v為運(yùn)動(dòng)員騎行速度，c為空氣阻力系數(shù)，μ為摩擦系數(shù)，s為賽道地形坡度(坡面夾角的正弦值)，m為運(yùn)動(dòng)員自身體重和自行車(chē)重量之和，g為重力加速度。運(yùn)動(dòng)員在整個(gè)比賽中所消耗的無(wú)氧功滿足：

(4)

式中，x為賽道路段長(zhǎng)度。對(duì)于具有恒定坡度的路段，當(dāng)騎行速度恒定時(shí)，通過(guò)該路段的用時(shí)最短[6]，式(4)可以化為：

(5)

式中，下標(biāo)i代指一段坡度相同的賽道路段。運(yùn)動(dòng)員完成比賽的用時(shí)可表示為：

(6)

為在無(wú)氧工作能力W′固定的約束下選取合適的vi，使完成比賽的用時(shí)T最小，采用Lagrange乘數(shù)法進(jìn)行計(jì)算：

(7)

式中，展開(kāi)可表示為：

(8)

消去乘數(shù)λ，發(fā)現(xiàn)當(dāng)各段賽道的騎行速度vi相同時(shí)，完成比賽的用時(shí)最短。

2.2 功率分配方式實(shí)例

以2021年?yáng)|京奧運(yùn)會(huì)男子公路自行車(chē)個(gè)人計(jì)時(shí)賽賽道為例，計(jì)算了運(yùn)動(dòng)員在各段賽道的最佳輸出功率。根據(jù)實(shí)際比賽賽道地形進(jìn)行合理的簡(jiǎn)化，簡(jiǎn)化后的賽道地形如圖2所示，各段坡長(zhǎng)和坡度的正弦值如表2所示。

圖2 簡(jiǎn)化和的賽道地形圖Fig.2 Simplified and topographic map of the track

表2 各段地形坡長(zhǎng)和坡度正弦值Tab.2 Slope length and slope sine of each section of terrain

計(jì)算過(guò)程取運(yùn)動(dòng)員體重為平均值69.5 kg[5]，自行車(chē)車(chē)重為8 kg，重力加速度g=9.8 m/s2，空氣阻力c=0.17 kg/m，摩擦系數(shù)μ=0.003[6]?？紤]到實(shí)際比賽過(guò)程中運(yùn)動(dòng)員不會(huì)因?yàn)檩敵龉β蔖i小于CP而恢復(fù)無(wú)氧工作能力W′，故各路段下應(yīng)滿足約束條件：

Pm=CP

(9)

確定各路段下運(yùn)動(dòng)員輸出功率和騎行速度的計(jì)算流程如圖3所示。計(jì)算得到各路段下的最佳輸出功率和騎行速度如圖4所示。

圖3 功率分配流程圖Fig.3 Flow chart of power distribution

圖4 各路段最佳輸出功率與騎行速度Fig.4 Optimal output power and riding speed for each road section

結(jié)合圖2與圖4可知，對(duì)于存在上坡、下坡與平地的復(fù)雜地形，在上坡時(shí)應(yīng)以較高的功率騎行，且隨著坡度增大，騎行輸出功率應(yīng)越高，以保證在所有上坡段的騎行速度相等，最終得到騎行過(guò)程中的最大輸出功率Pm=412.72 W。對(duì)于平地和下坡段賽道，在Pi,min=CP的約束條件下，應(yīng)以CP大小的輸出功率騎行，因此坡度的絕對(duì)值越大，運(yùn)動(dòng)員騎行速度應(yīng)越大。

2.3 偏離最佳輸出功率對(duì)完賽時(shí)間的影響

實(shí)際比賽中，完全按照最佳輸出功率完成比賽是十分困難的，而比賽前期過(guò)高的功率輸出會(huì)導(dǎo)致后期做功能力不足。為研究偏離最佳輸出功率對(duì)完賽時(shí)間的影響，采取對(duì)最佳輸出功率設(shè)置隨機(jī)偏差值的方法，模擬偏離最佳功率的情況，并對(duì)此進(jìn)行了2 000次數(shù)值模擬。

圖5為數(shù)值模擬流程的偽代碼，圖6為通過(guò)數(shù)值模擬得到的完賽時(shí)間。

圖5 數(shù)值模擬流程偽代碼Fig.5 Numerical simulation process pseudo-code

圖6 偏離最佳功率情況下的完賽時(shí)間Fig.6 Finish time in case of deviation from optimal power

從圖6可以看出，輸出功率偏離最佳功率會(huì)導(dǎo)致完賽用時(shí)延長(zhǎng)。在輸出功率波動(dòng)范圍為±(Pm-CP)的情況下，2 000次模擬下的平均完賽時(shí)間比最佳功率下的完賽時(shí)間長(zhǎng)31 s；偏差最嚴(yán)重的情況下，完賽時(shí)間相比最佳功率下的完賽時(shí)間慢118 s；偏差最小的情況下，完賽時(shí)間與最佳功率下的完賽時(shí)間接近。這同時(shí)也驗(yàn)證了采取最佳功率分配方式的正確性。

3 結(jié)論

采用OmPD模型建立自行車(chē)運(yùn)動(dòng)員的功率輸出曲線，確定了其在不同地形下的的最佳功率分配方式。結(jié)論如下：

理論情況下選擇合適的輸出功率，令運(yùn)動(dòng)員在各路段下的vi相等，完賽時(shí)間最短。對(duì)于存在上坡、下坡與平地的復(fù)雜地形，應(yīng)在上坡處以較高輸出功率騎行，并保證各段上坡路段的騎行速度相等，坡處則應(yīng)以CP大小的輸出功率騎行。