一種改進(jìn)的D數(shù)聚集方法及其在決策中的應(yīng)用

莫泓銘，徐建林，肖萬武

(1.四川民族學(xué)院 圖書館，四川 康定 626001；2.四川民族學(xué)院 馬克思主義學(xué)院，四川 康定 626001；3.四川民族學(xué)院 體育學(xué)院，四川 康定 626001)

決策是一種常見的日?；顒?，是決策者為實現(xiàn)特定的目標(biāo)，根據(jù)主觀、客觀的可能性，在既有信息和經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，借用相關(guān)決策方法或工具，對影響決策目標(biāo)的諸多因素進(jìn)行分析、判斷、整理的過程。一般決策目標(biāo)所涉及到的因素即決策目標(biāo)的屬性比較多，因此決策通常指多屬性決策(Multiple attributes decision making，MADM)[1]。近年來，諸如層次分析法(AHP)[2]、逼近理想解排序法(TOPSIS)等方法用于解決MADM問題，其中各屬性的相關(guān)參數(shù)或指標(biāo)的評估信息都是必不可少的。然而在現(xiàn)實生活中，獲取參數(shù)或指標(biāo)的精確評估信息比較困難。一方面，對指標(biāo)的量化可能涉及到定性信息、定量信息，甚至有的由于不方便量化而導(dǎo)致信息缺失，即出現(xiàn)不完全信息等；另一方面，決策者在決策評估時，由于自身的專業(yè)知識、興趣偏好等主客觀原因，做出的相關(guān)評價信息具有不確定性。近年來，學(xué)者們提出了模糊數(shù)學(xué)[3]、粗糙集[4]、證據(jù)理論[5，6]等方法用于解決信息不確定性問題，并取得了一定成效。

值得一提的是，證據(jù)理論作為貝葉斯概率論的推廣，最大優(yōu)勢在于不需要任何先驗概率信息，并且將單子集推廣到冪集，表達(dá)和應(yīng)用范圍更廣。然而在運用時，仍面臨諸多條件約束與先天不足。為解決這些問題，鄧勇教授[7]于2012年提出D數(shù)理論，作為證據(jù)理論的有效擴(kuò)展，克服了相關(guān)限制與先天不足，信息的表達(dá)與處理更加靈活。但在處理不完備信息時容易出現(xiàn)與直覺相悖的結(jié)果?；诖?，本文提出一種新的D數(shù)聚集方法，將缺失的信息有效利用起來，使融合結(jié)果更加合理。

1 預(yù)備知識

1.1 證據(jù)理論

證據(jù)理論(Evidence theory)是Dempster[5]于1967年提出，隨后由其學(xué)生Shafer于1976年進(jìn)一步推廣、完善的一種處理不確定信息的數(shù)學(xué)工具[6]。不僅能表達(dá)不確定信息，還能表達(dá)完全不知道的信息。由于具有強(qiáng)大的信息處理能力，證據(jù)理論已被廣泛應(yīng)用于故障診斷[8]、供應(yīng)商選擇[9]、多源目標(biāo)融合[10]等領(lǐng)域，并取得較好的效果。

假設(shè)H={H1，H2，H3…，Hn}是一個非空、完全、互斥的集合，辨識框架(Framework of discernment)Ω={H1，H2，…Hn，{H1，H2}，{H1，H3}…Ω}由該集合的所有子集及其冪集組成，在該框架上的基本概率指派(Basic probability assignment，BPA)滿足：

其中，?是空集，A是集合Ω的任意子集。

Dempster組合規(guī)則是證據(jù)理論的核心，又稱為兩個BPA的正交和，即將兩個不同來源的證據(jù)進(jìn)行融合，得到一個新的證據(jù)。Dempster組合規(guī)則定義如下：

其中，k是沖突系數(shù)，反映兩個BPA的相容程度。當(dāng)k=1時，說明這兩個BPA完全一樣；k=0，則完全沖突、互斥的，即彼此互相矛盾，此時Dempster組合規(guī)則無效，證據(jù)理論不適用于此情形。Dempster組合規(guī)則滿足交換律和結(jié)合律，即m1⊕m2=m2⊕m1，(m1⊕m2)⊕m3=m1(⊕m2⊕m3)。當(dāng)存在多個BPA時，不考慮先后順序采取一對一進(jìn)行融合。

1.2 D數(shù)理論

證據(jù)理論相對傳統(tǒng)的貝葉斯概論而言，從單子集到冪集，在先驗信息的需要與否，信息的表達(dá)與融合等方面都取得了一定成效，應(yīng)用范圍更加廣泛。但在運用時，需滿足諸多條件：一是集合中的元素必須兩兩互斥，不能有任何交集。但實際生活中諸如“很好”“好”“一般”等語言評價集，元素之間可能沒有明確的界限，甚至相鄰的兩元素間很可能有一定交集。二是同一BPA概率分配之和必須為1，即完整性約束。但由于設(shè)備的軟、硬件原因，收集不到足夠的完整的信息，或者評估者由于知識水平不足，對評估對象缺乏足夠把握等主客觀原因，評估時很容易只給出部分信息，即只能給出部分BPA信息，導(dǎo)致BPA信息信任度之和不為1，這在現(xiàn)實生活中是允許的，也是客觀存在的，但在證據(jù)理論中是不允許的。三是Dempster組合規(guī)則的運算時間復(fù)雜度高，當(dāng)證據(jù)源的數(shù)量呈線性增長時，計算時間復(fù)雜度呈指數(shù)級增長，不適用于對時間性要求比較高的信息融合決策場景。四是Dempster組合規(guī)則在運用時，要求各證據(jù)源間必須彼此完全獨立，毫無關(guān)聯(lián)，這在實際中很難完全達(dá)到。比如在評估時專家有可能受到其他專家的干擾或影響，或者查閱資料時受到歷史評估信息的影響等。五是Dempster組合規(guī)則的先天“一票否決”制，即著名的“Zadeh悖論”[11]。當(dāng)某個元素一旦被否決，即信任度被賦值0，不論后面的證據(jù)源多么強(qiáng)有力的支持，甚至100%信任，最終的融合結(jié)果也為0。

在D數(shù)理論中，元素間不強(qiáng)行要求必須互斥，允許評估者根據(jù)實際情況給出評估信息，不強(qiáng)性要求評估信息的信任度之和必須完整，即允許信息缺失，解決了證據(jù)理論的指數(shù)級計算時間復(fù)雜度問題等。由于上述諸多優(yōu)勢，D數(shù)理論目前已被廣泛應(yīng)用到醫(yī)療廢物處理技術(shù)評估[12]、選址[13]、質(zhì)量目標(biāo)評估[14]、緊急決策[15]、交通可持續(xù)評估[16]、項目復(fù)雜性評價[17]、環(huán)境影響評估[18]、風(fēng)險評估[19]等領(lǐng)域，并與TOPSIS[20]、SWOT[21]、模糊層次分析法[1]等技術(shù)聯(lián)合運用，取得了不錯的效果。相關(guān)定義如下：

定義1假設(shè)Ω是一個有限非空集合，D數(shù)是一個映射，即D:Ω→[0,1]，滿足以下條件：

定義2假設(shè)Ω={d1，…di，…dn}，一種特殊形式的D數(shù)D(d1)=ν1，……D(di)=νi，…D(dn)=νn，可簡化表示為

D={(d1，ν1)…(di，νi)…(dn，νn)}

屬性1 交換不變性。假設(shè)在同一個框架上有兩個D數(shù)，D1={(d1，ν1)…(di，νi)…(dn，νn)}和D2={(dn，νn)…(di，νi)…(d1，ν1)}。若D1和D2的元素di及其對應(yīng)值νi相同，說明D1和D2完全一樣。

例1假設(shè)在同一框架上有兩個D數(shù)，分別為D1={(G,0.3)，(F,0.5)，(T,0.2)}和D2={(F,0.5)，(G,0.3)，(T,0.2)}，則D1?D2，?表示二者一樣，只是在不同的D數(shù)中，順序不一樣。若D1和D2的信任度值之和都為1，說明這兩個D數(shù)是完備的。

例2假設(shè)在同一框架上有兩個D數(shù)，分別為D1={(A,0.35)}，(B,0.55)}和D2={(B,0.55)}，(A,0.35)}，則D1?D2。但D1和D2的信任度值的和都小于1，說明這兩個D數(shù)是非完備的，這在證據(jù)理論中是不允許的，但D數(shù)理論是可以的。

屬性2 聚集性。假設(shè)存在一個特殊的離散型D數(shù)，D={(di，νi)}，(i=1，2，3…)，那么其聚集方法可表示為

(1)

需要說明的是，D數(shù)的聚集方法僅適用于特殊的離散型D數(shù)，在信息融合上充分利用可大大簡化并加快融合過程。

2 改進(jìn)的D數(shù)聚集方法

2.1 D數(shù)原始聚集方法的局限

例3假設(shè)有10名專家受邀對擬采購的設(shè)備A和B基于評估集Ω={1,2,3,4,5,6,7}進(jìn)行評估，7表示相當(dāng)好，1表示相當(dāng)差。由于大家對設(shè)備A比較熟悉，所以對其評估等級均為“5”，設(shè)備A的評估結(jié)果可D數(shù)表示為DA={(5,1.0)。當(dāng)對設(shè)備B評估時，有7位專家比較熟悉，其中2位的評估等級為6，其余為7；剩余3位專家不夠了解，沒有給出評價，則設(shè)備B的評估結(jié)果表示為DB={(6,0.2)，(7,0.5)}。根據(jù)D數(shù)原始聚集方法，兩種設(shè)備的最終評估得分分別為：

I(DA)=5×1.0=5

(2)

I(DB)=6×0.2+7×0.5=4.7

(3)

5>4.7，即設(shè)備A更優(yōu)于設(shè)備B，但熟悉B的專家認(rèn)為B更優(yōu)。一方面從評估等級來看，6>5和7>5；另一方面，雖然給出高評估等級的專家為7人，占總?cè)藬?shù)的70%，但有3人即30%的專家沒有給出信息，D數(shù)原始聚集方法將該部分信息直接視為0，導(dǎo)致與直覺不太一致。由此可知，D數(shù)原始聚集方法有一定局限，特別是在處理不完備的信息時。

2.2 基于數(shù)值比例的D數(shù)聚集方法

D數(shù)原始聚集方法造成與直覺相悖結(jié)果的主要原因在于拋棄了非完備信息的非完備部分的信息，而這部分信息也是有效信息，不能舍去。為解決這一不足，Wang等[22]提出一種基于D數(shù)數(shù)值比例的聚集方法(簡稱比例法)，如式(4)所示?；诂F(xiàn)有評估信息，將缺失的信息按比例分配給現(xiàn)有的評估信息，出發(fā)點在于對于認(rèn)知不完全的專家，可以參考已經(jīng)給出評估結(jié)果的專家的意見進(jìn)行分配。

(4)

比例法從一定程度上修正了D數(shù)原始聚集方法，并取得了良好效果。如表1所示，將非完備部分的信息再分配給現(xiàn)有的評估等級，從而得到充分利用。然而，比例法僅適用于非完備信息下的非單子集信息，而對于單子集信息則無效。對于非單子集的信息，按照比例法的原理，無論現(xiàn)有的評估信息量多么渺小，哪怕無窮小，非完備部分的信息都將毫無保留地分配給現(xiàn)有信息，又將導(dǎo)致直覺相悖的結(jié)果出現(xiàn)。

表1 三種D數(shù)聚集方法對比

2.3 基于評估等級的D數(shù)聚集方法

鑒于基于比例的D數(shù)聚集方法在處理單子集方面的不足，本文提出一種基于評估等級的D數(shù)聚集方法(簡稱等級法)，將非完備信息的非完備部分信息平均分配所有的評估等級。將屬性2修正為：

定義3對于一個離散型D數(shù)，簡化表示為D={(di，νi)}，(i=1，2，3…)，聚集方法表示為

(5)

由表1可知，等級法不管是對單子集還是非單子集的處理，無論信息完備與否，聚集結(jié)果都更為合理，與直覺也相符，同時也向下兼容D數(shù)原始聚集方法。

在評估過程中，如果相關(guān)指標(biāo)及權(quán)重信息，則首先需要建立層次化的結(jié)構(gòu)模型，對每個層次每個指標(biāo)的權(quán)重信息納入評估范圍，基于評估等級的加權(quán)D數(shù)聚集方法，可表示為

定義4假設(shè)每個指標(biāo)的權(quán)重與專家的評估結(jié)果分別表示為ωk和Di={(di，νi)}，(i,j,k=1,2,3，……)，則基于評估等級的加權(quán)D數(shù)聚集方法，可逐步加權(quán)求和，表示為：

(6)

其中，Di={(di，νi)}是離散型的，di∈R，m是dj的個數(shù)，即評估等級的個數(shù)，m≥n；E(D)表示專家在評估時，充分考慮各指標(biāo)屬性的權(quán)重與屬性值的評估結(jié)果。

3 數(shù)值驗證與結(jié)果分析

3.1 數(shù)值驗證

某公司擬引進(jìn)摩托車發(fā)動機(jī)技術(shù)，通過對市場上常見摩托車發(fā)動機(jī)進(jìn)行摸底，最終確定4種品牌納入候選評估。為方便專家充分表達(dá)評估意見，采用語言評估等級L={很差(I)，差(P)，一般(A)，好(G)，很好(E)}供評估使用，邀請10位專家參與評估[22]。在評估時，假如有6位專家認(rèn)為某個品牌的某項指標(biāo)很差，其他4位認(rèn)為差，那么關(guān)于該品牌此項指標(biāo)的評估結(jié)果可以用D數(shù)表示為：{(I,0.6)，(P,0.4)}。假如有3位專家給出的評價是好，6位給出非常好，另一位沒有給出評價，則該評估結(jié)果用D數(shù)表示為{(G,0.3)，(E,0.6)}，該評估信息是非完備的。需要說明的是，各評估指標(biāo)信息在本算例中默認(rèn)相同，忽略權(quán)重信息。專家的原始評估信息(數(shù)據(jù)來源于文獻(xiàn)[22])如表2所示。

表2 摩托車發(fā)動機(jī)評估結(jié)果(語言)

為應(yīng)用D數(shù)的聚集方法，需將語言評價集轉(zhuǎn)化為數(shù)值評價集，采用文獻(xiàn)[22]定義的效用函數(shù)如表3所示。表2可轉(zhuǎn)化為表4。

表3 語言集效用函數(shù)

表4 摩托車發(fā)動機(jī)評估結(jié)果(數(shù)值)

評估信息中存在著非完備信息，如表4所示。采用等級法分步驟地對各品牌摩托車的引擎指標(biāo)進(jìn)行融合。以摩托車發(fā)動機(jī)K為例，由于評估信息是非完備的，融合結(jié)果為

(7)

(8)

同理，其他摩托車發(fā)動機(jī)的評估結(jié)果為：

I(DY)=2.10，I(DH)=3.83，I(DB)=2.90

(9)

其中，I(DK)表示K的最后得分，I(DY)表示Y的最后得分，I(DH)表示H的最后得分，I(DB)表示B的最后得分。由式(8)(9)可知，最后排序為H>K>B>Y，故應(yīng)推薦摩托車發(fā)動機(jī)H。

3.2 結(jié)果分析

為驗證本文提出的等級法的有效性，將D數(shù)原始聚集方法和比例法再次運用到上述案例，所得到的結(jié)果如表5所示?？梢钥闯?，三種方法所得到的排序結(jié)果是一樣的，說明本文提出的等級法是有效的。

表5 不同的聚集方法結(jié)果對比

對于完備數(shù)據(jù)的處理，如圖1的H和B可知，三種方法得到的評估數(shù)據(jù)一樣。對于非完備數(shù)據(jù)的處理，如圖1中K和Y可知，三種方法得到的結(jié)果大小排序為：比例法>等級法>原始法。造成這種差距的原因主要在于，原始法直接將非完備信息中的非完備部分信息拋棄，因而所得評估結(jié)果值最??；比例法則將非完備信息中的非完備部分信息按現(xiàn)有評價信息進(jìn)行二次疊加分配，忽略了潛在的其它信息，造成“強(qiáng)者愈強(qiáng)，弱者愈弱”的情況，即沒有全面對待非完備部分的信息，只是基于現(xiàn)有信息進(jìn)行分配。而等級法將非完備信息中的非完備部分信息按比例分配給評估等級中的所有信息，一方面考慮了現(xiàn)有的評估信息，另一方面也考慮了未知的潛在信息，因而評估的結(jié)果更為全面。

4 結(jié)語

本文在對D數(shù)原始聚集方法及基于比例的D數(shù)聚集方法在處理非完備信息的不足進(jìn)行充分分析的基礎(chǔ)上，提出了一種基于評估等級的D數(shù)聚集方法。將非完備信息中的非完備部分信息進(jìn)行充分利用，平均分配給評估等級，兼顧已有信息與非完備信息。如果信息是完備的，將退化為D數(shù)原始聚集方法，說明新提出的方法具有兼容性；如果信息是非完備的，將充分利用非完備部分的信息，說明新提出的方法具有兼容性。實例驗證表明，本文提出的基于評估等級的D數(shù)聚集方法在信息處理，特別是在處理非完備信息及單子集評估信息等方面具有合理性、全面性、有效性。