反饋線性化解耦的PMSM新型滑模控制方法*

田艷豐, 王健宇, 王 哲, 吳宋林

(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué) 電氣工程學(xué)院,遼寧 沈陽(yáng) 110870)

0 引 言

永磁同步電機(jī)(PMSM)具有較高的工作效率、功率密度以及較好的轉(zhuǎn)矩慣性比等特點(diǎn)，在眾多工業(yè)領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用。PMSM控制系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)，很難對(duì)其進(jìn)行高精度控制[1]。傳統(tǒng)的矢量控制方法是將定子電流分為d軸勵(lì)磁電流和q軸轉(zhuǎn)矩電流，并分別單獨(dú)控制。然而該控制策略控制性能有限，不能將電流完全解耦[2]。在PMSM的實(shí)際控制中，參數(shù)攝動(dòng)、模型誤差和外界干擾等因素，會(huì)對(duì)其控制效果造成一定的影響，導(dǎo)致系統(tǒng)性能下降，影響系統(tǒng)穩(wěn)定性，使實(shí)際應(yīng)用中的系統(tǒng)精確控制變得更加困難[3]。文獻(xiàn)[4]將電壓前饋的補(bǔ)償環(huán)節(jié)加入矢量控制，使d、q軸電流解耦，但是在負(fù)載突然變化時(shí)，仍不能徹底解耦。

近年來(lái)，為了解決PMSM的解耦問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者在矢量控制系統(tǒng)中加入了一些非線性控制技術(shù)[5]，如滑模變結(jié)構(gòu)控制[6]、反步控制[7]、自抗擾控制[8]、反饋線性控制[9-10]等。文獻(xiàn)[11]提出了一種擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器，用于擾動(dòng)的估算，并對(duì)實(shí)際運(yùn)行的系統(tǒng)去除抖振，但此方法不能有效提高系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能。文獻(xiàn)[12]提出了一種結(jié)合反饋線性化解耦的PI控制器來(lái)控制PMSM轉(zhuǎn)速，但是在實(shí)踐中，反饋線性化控制(FLC)不能在系統(tǒng)非穩(wěn)態(tài)的狀態(tài)下實(shí)現(xiàn)快速響應(yīng)。

FLC是一種非線性控制方法，在非線性系統(tǒng)解耦方面其有著顯著的優(yōu)越性。此方法基于微分幾何學(xué)，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型的分析，得出該系統(tǒng)的線性控制規(guī)律[13]，能準(zhǔn)確解耦被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的線性化。PMSM因其非線性和強(qiáng)耦合的特性，需要利用反饋線性化方法進(jìn)行解耦，使其獲得矢量控制所不能達(dá)到的控制精度。文獻(xiàn)[14]提出將FLC應(yīng)用于線性伺服系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)永磁直線電機(jī)解耦。文獻(xiàn)[15]提出了基于反饋線性化的永磁直線同步電機(jī)自適應(yīng)動(dòng)態(tài)滑模控制，采用反饋線性化理論，將永磁直線同步電機(jī)d、q軸電流完全解耦，把PMSM控制系統(tǒng)劃分成兩個(gè)相互獨(dú)立的線性子系統(tǒng)，但系統(tǒng)對(duì)參數(shù)變動(dòng)敏感，魯棒性降低。由此可見(jiàn)反饋線性化解耦需要與其他控制方法結(jié)合使用，以實(shí)現(xiàn)高性能控制。

滑模變結(jié)構(gòu)控制具有響應(yīng)速度快、抗擾能力強(qiáng)與易于控制等特點(diǎn)，已成為廣泛使用的控制策略[16]。但為保證系統(tǒng)的抗擾性和穩(wěn)定性，在常規(guī)的滑?？刂浦?，開(kāi)關(guān)增益必須設(shè)置得足夠大，以消除系統(tǒng)的干擾，而開(kāi)關(guān)增益越大，系統(tǒng)越容易產(chǎn)生高頻抖振。為了減少系統(tǒng)抖振，文獻(xiàn)[17]采用改進(jìn)傳統(tǒng)趨近律的方法設(shè)計(jì)出滑?？刂破?，試驗(yàn)結(jié)果表明，雖然新型滑?？刂破髂軌驕p少系統(tǒng)產(chǎn)生的抖振，但系統(tǒng)的抗干擾能力下降，響應(yīng)時(shí)間加長(zhǎng)。

綜上所述，本文將反饋線性化解耦理論與滑模控制相結(jié)合，以表貼式PMSM為研究對(duì)象，將輸入-輸出反饋線性化方法作為解耦策略應(yīng)用于PMSM，實(shí)現(xiàn)非線性系統(tǒng)向線性系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換。運(yùn)用微分幾何工具將PMSM分解為轉(zhuǎn)速和激勵(lì)電流兩個(gè)線性化子系統(tǒng)。然后結(jié)合滑?？刂频乃枷?，在傳統(tǒng)滑模趨近率的基礎(chǔ)上，提出了一種改進(jìn)的滑?？刂品椒?，將其與FLC相結(jié)合，設(shè)計(jì)出系統(tǒng)控制器作用于PMSM，以獲得更好的控制效果。最后通過(guò)仿真平臺(tái)進(jìn)行分析，檢驗(yàn)系統(tǒng)可行性。

1 PMSM反饋線性化

本文研究表貼式PMSM，以d、q軸電流和轉(zhuǎn)速參數(shù)作為狀態(tài)變量。忽略磁阻轉(zhuǎn)矩，d-q旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的數(shù)學(xué)模型如下：

(1)

式中：id、iq和ud、uq分別為d、q軸定子電流和電壓;Rs為定子電阻;L為定子電感;Ψr為永磁磁通;B為黏滯摩擦系數(shù);J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;p為極對(duì)數(shù);ωr為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速;Tl為負(fù)載轉(zhuǎn)矩。

定義系統(tǒng)狀態(tài)變量[18]：x=[x1,x2,x3]T=[id,iq,ωr]T，定義系統(tǒng)輸入變量：u=[u1,u2]T=[ud,uq]T，將式(1)改寫(xiě)為標(biāo)準(zhǔn)的仿射非線性系統(tǒng)的形式：

(2)

根據(jù)微分幾何理論[19-20]定理1：若仿射非線性方程式(2)在x0的一個(gè)鄰域內(nèi)滿足：

(3)

并且m×m維矩陣：

(4)

為非奇異矩陣，則在x0處，非線性方程式(2)有一個(gè)向量關(guān)系度r=[r1,r2,…,rm]，也就是指在x0的附近，可以用非線性方程式(2)來(lái)實(shí)現(xiàn)輸入和輸出的解耦。

在FLC過(guò)程中，首先要解決的問(wèn)題就是確定系統(tǒng)的相對(duì)階。根據(jù)式(2)，確定了r1=1，r2=2的相對(duì)階數(shù)。則系統(tǒng)的總相對(duì)階r=r1+r2=3。

對(duì)式(2)求李導(dǎo)數(shù)并計(jì)算D(x),b(x)和z：

(5)

由于Lgh1(x)≠0,Lg2Lfh2(x)≠0，則該系統(tǒng)不存在零動(dòng)態(tài)問(wèn)題，并滿足反饋線性化條件。引入新的線性虛擬控制量：

(6)

系統(tǒng)解耦合后的結(jié)構(gòu)形式如圖1所示。

圖1 解耦后的 PMSM 數(shù)學(xué)模型

式(2)反饋?zhàn)儞Q得：

(7)

式(7)對(duì)PMSM系統(tǒng)進(jìn)行了反饋線性化，引用新的線性變量解決系統(tǒng)耦合問(wèn)題,然后根據(jù)滑模變結(jié)構(gòu)理論進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)。

2 控制器設(shè)計(jì)

采用反饋線性化原理，可以將PMSM的ωr和id進(jìn)行解耦，但該方法會(huì)使系統(tǒng)抗干擾能力下降。為此設(shè)計(jì)改進(jìn)趨近律的滑?？刂破鞣謩e對(duì)ωr和id進(jìn)行控制，以提升系統(tǒng)性能。其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 PMSM系統(tǒng)框圖

2.1 改進(jìn)指數(shù)趨近律

文獻(xiàn)[21]闡述了終端吸引子的概念，并將其應(yīng)用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法。文獻(xiàn)[22]在此基礎(chǔ)上，將終端吸引子引入傳統(tǒng)的指數(shù)趨近律并應(yīng)用于電機(jī)，給出了一種無(wú)開(kāi)關(guān)函數(shù)的滑模趨近律，形式如下：

(8)

式(8)共分為兩個(gè)部分。由方程的第一部分可知該系統(tǒng)的狀態(tài)反饋是基于指數(shù)函數(shù)的，且其漸近過(guò)程會(huì)隨狀態(tài)變量的持續(xù)改變而發(fā)生改變，故稱變指數(shù)趨近律。后一項(xiàng)既加入了終端吸引子模型，又將其作為一個(gè)冪函數(shù)來(lái)表示，因此成為末端吸引趨近律。這樣既保證了系統(tǒng)狀態(tài)軌跡遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)會(huì)有更快的運(yùn)動(dòng)軌跡，提高系統(tǒng)的快速性，又能提高系統(tǒng)狀態(tài)在趨近率的作用下系統(tǒng)的穩(wěn)定性，最終使其狀態(tài)量收斂。

下面分析其穩(wěn)定性，通過(guò)Lyapunov第二方法來(lái)分析式(8)的滑模控制下系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題。

定義Lyapunov函數(shù)為

(9)

V正定，且存在一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)：

(10)

由于參數(shù)ε、k、p、q均大于零，a、b為非負(fù)數(shù)，且p、q之和為偶數(shù)，因此：

(11)

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性判據(jù)，采用趨近律式(8)的滑模控制滿足穩(wěn)定性和可達(dá)性，系統(tǒng)的原點(diǎn)處于平衡狀態(tài)，即系統(tǒng)是穩(wěn)定的。一旦系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面，其可以沿著滑模面移動(dòng)，并不斷接近平衡點(diǎn)。

2.2 電流環(huán)控制器設(shè)計(jì)

在對(duì)系統(tǒng)的電流環(huán)進(jìn)行反饋線性化解耦后，可以將輸入和輸出之間的關(guān)系簡(jiǎn)化為v1通過(guò)積分環(huán)節(jié)得到id，如圖1(a)所示。本系統(tǒng)采用了一種滑動(dòng)模態(tài)控制器。設(shè)計(jì)方式如下：

選取被控對(duì)象：

(12)

由跟蹤誤差選取狀態(tài)變量：

(13)

由式(13)確定系統(tǒng)狀態(tài)方程：

(14)

(15)

定義滑模面為

s=cx1+x2

(16)

式中：c>0。

對(duì)式(16)求導(dǎo)有：

(17)

采用趨近律式(8)，得到下式：

(18)

令X=x1，得到控制器：

(19)

2.3 速度環(huán)控制器設(shè)計(jì)

在對(duì)轉(zhuǎn)速環(huán)進(jìn)行反饋線性化準(zhǔn)確解耦后，輸入v2與輸出ωr的關(guān)系可由二次積分得到，如圖1(b)所示。該控制方法與電流回路相似，但其控制目標(biāo)的數(shù)學(xué)模型稍有差異?？刂颇繕?biāo)的速度回路數(shù)學(xué)模型如下：

(20)

同時(shí)，直接給出了系統(tǒng)轉(zhuǎn)速環(huán)控制器：

(21)

3 仿真分析

在MATLAB/Simulink平臺(tái)進(jìn)行仿真，按照?qǐng)D2所示的PMSM系統(tǒng)搭建模型，驗(yàn)證本文推導(dǎo)出的新型反饋線性化滑?？刂破餍阅?，并將該控制策略與傳統(tǒng)PI控制策略進(jìn)行對(duì)比。PMSM仿真的主要參數(shù)如表1所示。

表1 PMSM仿真參數(shù)

3.1 空載運(yùn)行

圖3 空載轉(zhuǎn)速波形

圖4 空載電流波形

圖4分別為采用傳統(tǒng)PI控制策略與新型反饋線性化滑?？刂撇呗赃M(jìn)行仿真得到的PMSM空載電流響應(yīng)。如圖4 (a)所示，采用傳統(tǒng) PI 控制策略時(shí)，id和iq不能完全解耦控制，且波動(dòng)較大。如圖4(b)所示，采用反饋線性化滑?？刂撇呗詴r(shí)，iq動(dòng)態(tài)響應(yīng)快，穩(wěn)態(tài)幾乎無(wú)波動(dòng)，電流響應(yīng)快速性遠(yuǎn)優(yōu)于PI控制器，動(dòng)、靜態(tài)控制性能與PI控制相比顯著提高。

3.2 負(fù)載運(yùn)行

在t=0.1 s時(shí)給電機(jī)加10 N·m負(fù)載，PMSM系統(tǒng)速度波形如圖5所示。傳統(tǒng)PI控制策略下，電機(jī)轉(zhuǎn)速在50 ms時(shí)達(dá)到穩(wěn)定，并且超調(diào)明顯。而反饋線性化滑?？刂撇呗韵?，電機(jī)轉(zhuǎn)速在15 ms時(shí)達(dá)到穩(wěn)定，快速性提升，并持續(xù)跟蹤給定速度，系統(tǒng)響應(yīng)速度快且穩(wěn)態(tài)無(wú)超調(diào)。在突加負(fù)載后，反饋線性化滑?？刂葡到y(tǒng)的速度下降了44 r/min，在10 ms后重新實(shí)現(xiàn)了對(duì)給定轉(zhuǎn)速的跟蹤，其動(dòng)態(tài)、靜態(tài)性能均比傳統(tǒng)PI控制優(yōu)越。

圖5 負(fù)載轉(zhuǎn)速波形

圖6 負(fù)載電流波形

圖6(a)為傳統(tǒng)PI控制器下的電流閉環(huán)特性曲線。曲線波動(dòng)較大、快速性差、超調(diào)嚴(yán)重。負(fù)載突變時(shí)id、iq均出現(xiàn)大幅度波動(dòng)，有明顯超調(diào)，動(dòng)態(tài)響應(yīng)慢；而且到達(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí)iq也存在0.5 A的穩(wěn)態(tài)誤差。圖6(b)為反饋線性化滑?？刂撇呗韵碌腜MSM電流跟蹤響應(yīng)曲線。id和iq都跟隨給定值，系統(tǒng)抖振和穩(wěn)態(tài)誤差均較小，iq動(dòng)態(tài)響應(yīng)快，穩(wěn)態(tài)無(wú)波動(dòng)，iq始終保持在0 A，負(fù)載變化時(shí)也無(wú)明顯波動(dòng)，電流動(dòng)、靜態(tài)控制性能與傳統(tǒng)PI控制相比顯著提高。

4 結(jié) 語(yǔ)

對(duì)于傳統(tǒng)控制策略不能將PMSM的d、q軸電流完全解耦的問(wèn)題，將輸入-輸出反饋線性化方法應(yīng)用到PMSM系統(tǒng)中，通過(guò)微分運(yùn)算和反饋線性化理論，實(shí)現(xiàn)電流和轉(zhuǎn)速的完全解耦并得到其數(shù)學(xué)模型。并在此基礎(chǔ)上，結(jié)合滑?？刂评碚摚謩e對(duì)速度二階子系統(tǒng)和電流一階子系統(tǒng)設(shè)計(jì)出新型滑?？刂破鳌７抡娼Y(jié)果表明，反饋線性化方法可以有效地簡(jiǎn)化非線性系統(tǒng)控制律設(shè)計(jì)，減少模型誤差，新型控制策略具有良好的跟蹤性能，抗干擾能力強(qiáng)，動(dòng)態(tài)響應(yīng)快，與傳統(tǒng)PI控制方式比較，其優(yōu)勢(shì)明顯。