翼型邊界層脈動(dòng)壓力統(tǒng)計(jì)特征分析

魏斌斌，高永衛(wèi)，孫 博，昔華倩，鄧 磊

(西北工業(yè)大學(xué)航空學(xué)院，西安 710072)

0 引言

流動(dòng)轉(zhuǎn)捩決定了邊界層流態(tài)，對(duì)飛行器氣動(dòng)特性有重要影響，其一直是研究的難點(diǎn)和熱點(diǎn)。

邊界層轉(zhuǎn)捩過程包括幾個(gè)不同特征的階段：1）感受性階段：在這個(gè)階段自由流中的擾動(dòng)以某種途徑觸發(fā)了邊界層中相應(yīng)的擾動(dòng)；2）擾動(dòng)的演化：這個(gè)階段包括擾動(dòng)的線性和非線性演化，線性演化過程中，不同的波獨(dú)自演化，非線性演化階段，波與波之間、波與自由流之間都會(huì)相互影響；3）轉(zhuǎn)捩段：在這個(gè)階段擾動(dòng)幅值急劇增大，頻譜急劇變寬，層流剖面迅速轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧髌拭?。在轉(zhuǎn)捩過程中，伴隨著壁面摩擦應(yīng)力、溫度、壓力脈動(dòng)等特征的急劇變化，通過對(duì)這些特征進(jìn)行檢測可實(shí)現(xiàn)邊界層轉(zhuǎn)捩探測；根據(jù)測量特征不同，邊界層轉(zhuǎn)捩探測技術(shù)也不同[1]。

在邊界層轉(zhuǎn)捩探測實(shí)驗(yàn)中，常用的實(shí)驗(yàn)方法有熱學(xué)方法（熱線風(fēng)速儀法、溫敏涂料法、熱膜技術(shù)等）、流動(dòng)顯示技術(shù)和脈動(dòng)壓力技術(shù)等。

在靜態(tài)實(shí)驗(yàn)中，人們就轉(zhuǎn)捩開展了大量研究。早在20世紀(jì)70年代，Knapp等[2]和Lagraff[3]就利用熱線方法研究了亞聲速和高超聲速邊界層轉(zhuǎn)捩。Costantini等[4]使用溫度敏感涂料研究了非絕熱表面對(duì)轉(zhuǎn)捩的影響。Fey等[5]使用溫敏漆在低溫風(fēng)洞中對(duì)高雷諾數(shù)下的轉(zhuǎn)捩進(jìn)行了探測。Hodson等[6]和Zhang等[7]通過熱膜輸出電壓與壁面剪應(yīng)力的關(guān)系，進(jìn)一步定義了準(zhǔn)壁面剪應(yīng)力。Burgmann等[8]使用TR-PIV方法對(duì)層流分離泡的發(fā)展特性開展了流動(dòng)顯示實(shí)驗(yàn)，研究了Kelvin-Helmholtz不穩(wěn)定性對(duì)分離泡的影響。

同時(shí)，翼型在俯仰振動(dòng)過程中的非定常轉(zhuǎn)捩特性也越來越受人們的重視。Lee等[9-10]利用熱膜傳感器研究了NACA0012翼型在振蕩過程中的轉(zhuǎn)捩和失速特征。Richter等[11]利用熱膜技術(shù)研究了EDI-M109翼型的非定常轉(zhuǎn)捩特性。Kim等[12]借助熱膜和煙流研究了雷諾數(shù)對(duì)振蕩NACA0012翼型非定常邊界層的影響。Haghiri等[13]使用熱膜技術(shù)對(duì)做俯仰振動(dòng)運(yùn)動(dòng)的SC(2)-0410翼型進(jìn)行了轉(zhuǎn)捩探測實(shí)驗(yàn)，研究了壓縮性、縮減頻率等對(duì)轉(zhuǎn)捩的影響。Ikami等[14]使用結(jié)合了溫敏涂料和碳納米管的流動(dòng)顯示技術(shù)對(duì)俯仰振蕩翼型的轉(zhuǎn)捩進(jìn)行了探測，研究了轉(zhuǎn)捩/再層流化的遲滯效應(yīng)。

以上方法在實(shí)際應(yīng)用方面仍存在一定限制。與上述實(shí)驗(yàn)技術(shù)相比，使用脈動(dòng)壓力傳感器對(duì)邊界層轉(zhuǎn)捩進(jìn)行檢測更為方便實(shí)用。這得益于脈動(dòng)壓力傳感器集成度越來越高，小型化越來越成熟，響應(yīng)越來越快，且測控設(shè)備的響應(yīng)也越來越快。早在20世紀(jì)70年代，Heller[15]就利用聲學(xué)技術(shù)探測到了高超聲速再入飛行器上的流動(dòng)轉(zhuǎn)捩。Lewis和Banner[16]使用脈動(dòng)壓力測量技術(shù)研究了X-15垂尾的邊界層轉(zhuǎn)捩。本文團(tuán)隊(duì)在使用脈動(dòng)壓力進(jìn)行轉(zhuǎn)捩探測方面也開展了大量的研究工作[17-20]。在使用脈動(dòng)壓力方法進(jìn)行轉(zhuǎn)捩探測時(shí)，一個(gè)基本的判據(jù)是轉(zhuǎn)捩處的脈動(dòng)壓力均方根值（root mean square,RMS）相較于層流和湍流有峰值。出現(xiàn)這一現(xiàn)象是因?yàn)檗D(zhuǎn)捩處伴隨著擾動(dòng)的非線性增長，使得壓力脈動(dòng)急劇變化，帶來顯著的RMS值增加。

通過對(duì)翼型邊界層內(nèi)脈動(dòng)壓力或者脈動(dòng)速度的測量，可獲得不同流態(tài)的脈動(dòng)信息時(shí)間序列。使用該時(shí)間序列的概率密度分布函數(shù)（probability density function,PDF）可以很容易地計(jì)算出一些反映轉(zhuǎn)捩的統(tǒng)計(jì)量，比如脈動(dòng)壓力RMS。脈動(dòng)壓力RMS判據(jù)能夠有效地對(duì)轉(zhuǎn)捩位置進(jìn)行判斷，然而，該判據(jù)只利用了邊界層脈動(dòng)壓力信息這一個(gè)統(tǒng)計(jì)特征，丟失了包括偏度、陡度等在內(nèi)的大部分統(tǒng)計(jì)特征，更沒有考慮其時(shí)序特征。

除了使用脈動(dòng)壓力RMS判據(jù)，也有人使用脈動(dòng)速度的PDF形態(tài)進(jìn)行轉(zhuǎn)捩判斷。王凱利等[21]使用熱膜對(duì)平板邊界層的Klebanoff型轉(zhuǎn)捩進(jìn)行了探測，得到了不同雷諾數(shù)下的脈動(dòng)速度時(shí)間序列及其對(duì)應(yīng)的PDF，給出了不同流動(dòng)形態(tài)下脈動(dòng)速度PDF的形態(tài)。他們認(rèn)為通過識(shí)別PDF形態(tài)可準(zhǔn)確識(shí)別轉(zhuǎn)捩位置。后來，鄭國鋒[22]給出了湍流度ε =1.5%情況下的平板邊界層不同流態(tài)脈動(dòng)速度的PDF，他們發(fā)現(xiàn)這時(shí)轉(zhuǎn)捩處的PDF失去了文獻(xiàn)[21]中描述的變化規(guī)律，也就無法進(jìn)行轉(zhuǎn)捩判斷。

本文使用脈動(dòng)壓力方法對(duì)翼型邊界層進(jìn)行轉(zhuǎn)捩探測，深入研究了自然轉(zhuǎn)捩情況下翼型邊界層不同流態(tài)的脈動(dòng)壓力統(tǒng)計(jì)特征，包括均方根值σ、偏度s、陡度k和信息熵I；首次繪制了不同流態(tài)的（s，k）相圖，并詳細(xì)推導(dǎo)了I與σ、s、k之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，建立了I與σ、s、k之間的顯式表達(dá)，將用于轉(zhuǎn)捩判斷的一維決策空間（σ）擴(kuò)展為了四維決策空間（σ，s，k，I）。

1 方法

1.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)置

本文實(shí)驗(yàn)在西北工業(yè)大學(xué)的NF-3風(fēng)洞進(jìn)行。NF-3風(fēng)洞是亞洲最大的低速翼型風(fēng)洞，實(shí)驗(yàn)段尺寸為8.0 m×1.6 m×3.0 m（長×高×寬），最大風(fēng)速為U =130 m/s，湍流度不大于0.045%，基于弦長的實(shí)驗(yàn)雷諾數(shù)可達(dá)7×106。

實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ秃蜏y壓點(diǎn)布置如圖1所示。翼型模型弦長c =600 mm。在模型中剖面（z/l =0.50）布置25個(gè)Kulite XCQ-093壓力傳感器。為了研究不同邊界層流態(tài)（層流、轉(zhuǎn)捩和湍流）的脈動(dòng)壓力特性，將實(shí)驗(yàn)采樣率設(shè)置為fs= 20 kHz，以確保足夠高的時(shí)間精度。

圖1 翼型和測壓點(diǎn)Fig.1 Airfoil and pressure measurement points

通過調(diào)整風(fēng)速來改變雷諾數(shù)，本文實(shí)驗(yàn)基于弦長的雷諾數(shù)為Re =0.8×106、1.1×106、2.0×106。實(shí)驗(yàn)的迎角范圍為α =0°～8°，迎角間隔為Δα=1°。本文所有實(shí)驗(yàn)均是自然轉(zhuǎn)捩狀態(tài)。

1.2 計(jì)算方法

本文研究不同邊界層流態(tài)的脈動(dòng)壓力特性，包括其統(tǒng)計(jì)特性和信息熵。統(tǒng)計(jì)特性里面，本文研究了脈動(dòng)壓力的均方根值σ、偏斜度s和陡峭度k，計(jì)算方法如式（1）所示。偏斜度和陡峭度衡量了脈動(dòng)壓力概率密度分布偏離Gauss分布的程度：

式中，p是脈動(dòng)壓力，i是序號(hào)，N是采集數(shù)量，p是壓力均值。

本文還研究了不同流態(tài)脈動(dòng)壓力的信息熵I（Information entropy）。信息熵的概念是Shannon于1948年提出的，他用信息熵的概念來描述信源的不確定度，計(jì)算方法如式（2）所示：

式中，P是事件xi發(fā)生的概率，n是事件個(gè)數(shù)。

對(duì)于一個(gè)均值為0的時(shí)間序列x = x(t)，設(shè)其概率密度分布函數(shù)為f(x)，則有以下關(guān)系式：

若考慮分布在區(qū)間[xi,xi+1]上的概率，有P(xi)=f(xi)(xi+1-xi)= f(xi)Δx。所以式（2）可以表示為：

將式（3）帶入式（4），可得：

本文進(jìn)一步將不同流態(tài)脈動(dòng)壓力的統(tǒng)計(jì)特性σ、s和k與式（5）中信息熵聯(lián)系起來。

對(duì)g(x)=log2f(x)進(jìn)行四階Taylor展開并舍掉誤差項(xiàng)，則有以下關(guān)系：

將式（6）帶入式（5），可得：

將式（3）帶入式（7），可得：

式（9）是一個(gè)線性方程組，其解如式（10）所示，詳細(xì)的求解過程請(qǐng)參考附錄A。

式（6）中，x =0時(shí)，可得c0=log2f（0）。將式（10）和c0帶入式（8），可得：

特殊情況下，對(duì)于Gauss分布，有s=0，k =3，f(0)=，式（11）變?yōu)椋?/p>

參考Gauss分布發(fā)現(xiàn)，式（11）中的f(0)與σ有關(guān)。在這里，不妨假設(shè) f(0)=這時(shí)式（11）變?yōu)椋?/p>

這樣，本文就將信息熵I與統(tǒng)計(jì)量σ、s和k聯(lián)系了起來。

值得注意的是，在推導(dǎo)式（13）的過程中，使用了兩個(gè)假設(shè)：

假設(shè)一：脈動(dòng)壓力概率密度分布函數(shù)f(x)的對(duì)數(shù)g(x)= log2f(x)服從四階Taylor展開形式；

假設(shè)二：脈動(dòng)壓力概率密度分布函數(shù)f(x)在x =0處的取值f(0)與脈動(dòng)壓力均方根值σ的倒數(shù)服從線性回歸模型 f(0)=

這兩個(gè)假設(shè)均是基于Gauss分布來考慮的。對(duì)于假設(shè)一：一個(gè)Gauss分布的概率密度分布函數(shù)f(x)的對(duì)數(shù)g(x)=log2f(x)是一個(gè)關(guān)于x的二次函數(shù)，所以，如果一個(gè)脈動(dòng)壓力時(shí)間序列的概率密度分布函數(shù)與Gauss分布相差不大的話，其應(yīng)該也可以使用一個(gè)多項(xiàng)式來表達(dá)，為了精度更高，在這里我們選擇了四階Taylor展開形式。對(duì)于第二條假設(shè)：一個(gè)Gauss分布f(x)在x = 0處的取值為 f(0)=所以本文假設(shè)，脈動(dòng)壓力概率密度分布函數(shù)f(x)在x =0處的取值也大概服從這種關(guān)系。

2 結(jié)果與討論

本文使用脈動(dòng)壓力方法對(duì)翼型邊界層進(jìn)行了轉(zhuǎn)捩探測，研究了不同邊界層流態(tài)脈動(dòng)信息的統(tǒng)計(jì)特征。

2.1 轉(zhuǎn)捩的RMS判據(jù)

在進(jìn)行轉(zhuǎn)捩判斷時(shí)，本文使用的是成熟的脈動(dòng)壓力RMS判據(jù)。

以Re =1.1×106為例對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。在Re =1.1×106和α=2°的情況下，轉(zhuǎn)捩結(jié)果如圖2所示，其中圖2（a）是典型位置處的波形，圖2（b）是不同位置處的RMS值。

可以看出，轉(zhuǎn)捩位置處脈動(dòng)壓力的時(shí)域特性與層流和湍流中的脈動(dòng)壓力時(shí)域特性顯著不同，即轉(zhuǎn)捩區(qū)內(nèi)的脈動(dòng)壓力振幅更大，并且表現(xiàn)出更明顯的間歇性。在轉(zhuǎn)捩過程中，由于擾動(dòng)的線性演化和非線性演化，使得擾動(dòng)幅值大幅增加，在這個(gè)過程中，許多物理量也會(huì)隨之劇烈變化，比如壁面摩擦應(yīng)力、溫度、壓力脈動(dòng)等特征。在層流區(qū)，擾動(dòng)幾乎沒有發(fā)展，這時(shí)傳感器感受到的壓力脈動(dòng)呈現(xiàn)與白噪聲接近的形態(tài)；流動(dòng)發(fā)生轉(zhuǎn)捩時(shí)，壓力脈動(dòng)會(huì)急劇變化，其幅值、頻率等都會(huì)發(fā)生顯著變化；轉(zhuǎn)捩為湍流后，脈動(dòng)壓力的變化會(huì)再次平穩(wěn)下來。使用脈動(dòng)壓力RMS轉(zhuǎn)捩判據(jù)對(duì)轉(zhuǎn)捩位置進(jìn)行判斷，即與層流和湍流相比，轉(zhuǎn)捩位置的脈動(dòng)壓力RMS值存在峰值。該狀態(tài)下，x/c =0.65位置處脈動(dòng)壓力存在一個(gè)RMS峰值，即x/c =0.65為轉(zhuǎn)捩位置。

圖2 迎角α = 2°情況下的轉(zhuǎn)捩結(jié)果Fig.2 Transition result for the airfoil with an angle of attack at α = 2°

為了進(jìn)一步驗(yàn)證轉(zhuǎn)捩位置的準(zhǔn)確性，本文將傳統(tǒng)RMS判據(jù)獲得的轉(zhuǎn)捩位置與計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，如圖3所示。散點(diǎn)為實(shí)驗(yàn)結(jié)果，計(jì)算結(jié)果是eN方法[23-24]的計(jì)算結(jié)果，黑色實(shí)線為N = 8時(shí)的計(jì)算結(jié)果，紅色虛線是N = 9時(shí)的計(jì)算結(jié)果?？梢钥闯?，本文實(shí)驗(yàn)結(jié)果與計(jì)算結(jié)果一致，說明本文實(shí)驗(yàn)的轉(zhuǎn)捩探測結(jié)果是可靠的。

2.2 不同流態(tài)的（s，k）分布

前文介紹了轉(zhuǎn)捩的RMS判據(jù)，其實(shí)脈動(dòng)壓力RMS值就是均方根值σ，本節(jié)對(duì)另外兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量—偏度s和陡度k進(jìn)行討論。

圖3轉(zhuǎn)捩位置的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.3 Comparison of the transition locations between numerical and experimental data

圖4 是不同雷諾數(shù)情況下偏度s和陡度k的相圖（s，k）。關(guān)于翼型邊界層不同流態(tài)的這種相圖，就目前作者掌握的資料來看，屬于首次繪制。從圖4可見，就不同流態(tài)的統(tǒng)計(jì)量而言，不僅均方根值σ有明顯區(qū)別（圖2），偏度和陡度在（s，k）相圖上也有顯著區(qū)別。對(duì)于層流而言，其在（s，k）相圖上呈現(xiàn)斜率更大的線性分布，接近s=0，說明層流信息的偏度幾乎為0，其與Gauss分布的偏度接近；對(duì)于湍流而言，其在（s，k）相圖上呈k ≈3的直線分布，其與Gauss分布的陡度接近；對(duì)于轉(zhuǎn)捩而言，其在（s，k）相圖上的分布較湍流更為靠下，其特征與Gauss分布相差較大。而且不同雷諾數(shù)下的分布規(guī)律基本一致。

將不同雷諾數(shù)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果放在一起進(jìn)行對(duì)比，如圖6所示，其中圖6（a）是（s，k）在直角坐標(biāo)系下的相圖，圖6（b）是其以（0，）為原點(diǎn)進(jìn)行極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后的極坐標(biāo)相圖?？梢?，不同流態(tài)的（s，k）分布是顯著不同的，且在原點(diǎn)（0，）（式（13）的奇點(diǎn)）處沒有（s，k）分布。這在一定程度上說明了翼型邊界層內(nèi)的脈動(dòng)壓力信息不會(huì)呈現(xiàn)s= 0、k =的統(tǒng)計(jì)特征。

本文首次繪制了翼型邊界層不同流態(tài)脈動(dòng)壓力信息的（s，k）分布，分析了其在直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)下的分布特點(diǎn)。本文整理的數(shù)據(jù)可對(duì)研究人員建立分類模型和數(shù)據(jù)分析提供數(shù)據(jù)支持。

2.3 不同流態(tài)的信息熵

前文討論了翼型邊界層不同流態(tài)脈動(dòng)壓力信息的均方根值σ、偏度s和陡度k的分布，本節(jié)對(duì)其信息熵I的分布進(jìn)行討論。

圖4 不同雷諾數(shù)情況下(s, k)的相圖Fig.4 Phase diagram of (s, k) parameters under different Reynoldsnumbers

圖5 不同雷諾數(shù)情況下(s,k)的極坐標(biāo)相圖Fig.5 Phase diagram of (s, k)parametersin the polar coordinate under different Reynolds numbers

圖6 不同流態(tài)的（s,k）分布Fig.6 Distribution of (s, k) parametersfor different flow states

在1.2節(jié)，本文詳細(xì)推導(dǎo)了信息熵I與均方根值σ、偏度s和陡度k的內(nèi)在數(shù)學(xué)聯(lián)系，本節(jié)首先對(duì)式（13）進(jìn)行了驗(yàn)證。在推導(dǎo)式（13）的過程中，使用了兩個(gè)假設(shè)，見1.2節(jié)。

對(duì)于假設(shè)一，以Re = 1.1×106和α=2°的情況為例進(jìn)行說明。圖7是不同流態(tài)（層流、轉(zhuǎn)捩和湍流）脈動(dòng)壓力信息概率密度分布函數(shù)f的對(duì)數(shù)形式g的計(jì)算值與四階Taylor展開擬合結(jié)果的對(duì)比。散點(diǎn)是對(duì)f函數(shù)求對(duì)數(shù)的實(shí)際計(jì)算結(jié)果，線條是關(guān)于g函數(shù)的四階Taylor展開擬合結(jié)果?？梢姡瑢?duì)于不同流態(tài)而言，使用四階Taylor展開均能對(duì)g進(jìn)行精度較好的模擬，說明本文引入的第一個(gè)假設(shè)合理，計(jì)算結(jié)果可信。

圖7 四階Taylor展開驗(yàn)證Fig.7 Verification of the 4th-order Taylor expansion

另一方面，由圖7可知，層流、湍流和轉(zhuǎn)捩脈動(dòng)壓力信息概率密度分布函數(shù)的對(duì)數(shù)g表現(xiàn)出的形態(tài)有顯著差異。轉(zhuǎn)捩信息的g函數(shù)表現(xiàn)出更寬的橫坐標(biāo)分布，且有較大范圍的“平臺(tái)”區(qū)；層流信息的g函數(shù)表現(xiàn)出比較窄的橫坐標(biāo)分布，其形態(tài)更為“瘦高”；而湍流信息的g函數(shù)形態(tài)介于轉(zhuǎn)捩和層流之間。

對(duì)于假設(shè)二，本文對(duì)所有實(shí)驗(yàn)狀態(tài)的結(jié)果進(jìn)行了計(jì)算，如圖8所示，其中，散點(diǎn)是實(shí)驗(yàn)結(jié)果，直線是的計(jì)算結(jié)果。可見，f(0)與脈動(dòng)壓力均方根值σ的倒數(shù)或σ與f(0)的倒數(shù)呈顯著的線性關(guān)系；且實(shí)驗(yàn)結(jié)果與=的直線計(jì)算結(jié)果擬合優(yōu)度達(dá)到R2=0.9，說明該直線模型能較好地反映實(shí)驗(yàn)結(jié)果分布規(guī)律，證明本文引入的第二條假設(shè)也合理。

圖8 線性回歸模型驗(yàn)證Fig.8 Verification of the linear regression model

事實(shí)上，本文提出的第二點(diǎn)線性回歸假設(shè)是基于Gauss分布思考的。對(duì)于均值為0的Gauss分布來說：

前文對(duì)本文引入的兩個(gè)假設(shè)進(jìn)行了詳細(xì)的分析討論，驗(yàn)證了假設(shè)的合理性。為了驗(yàn)證式（13）的正確性，只驗(yàn)證兩個(gè)假設(shè)的正確性是不夠的，需對(duì)式（13）本身進(jìn)行進(jìn)一步的驗(yàn)證。

因此，本文仍然以Re = 1.1×106為例進(jìn)行說明，對(duì)式（13）進(jìn)行驗(yàn)證，如圖9所示。其中，散點(diǎn)是直接使用式（2）進(jìn)行計(jì)算的結(jié)果，虛線和點(diǎn)線分別是使用式（11）和式（13）計(jì)算的結(jié)果，黑色和紅色分別代表x/c = 0.475和x/c = 0.65。

圖9 不同方法計(jì)算的信息熵I比較Fig.9 Comparison of the information entropy I calculated using different methods

可見，使用本文推導(dǎo)的公式（11）和公式（13）對(duì)信息熵I進(jìn)行計(jì)算均能得到較為準(zhǔn)確的結(jié)果，且式（13）較式（11）能夠更緊密地將I和（σ，s，k）聯(lián)系起來。這也間接證明了本文引入的兩個(gè)假設(shè)的正確性。另一方面，信息熵表征了一個(gè)隨機(jī)變量的不確定性，該值越大表明隨機(jī)變量越無序。在x/c =0.475位置處，當(dāng)α =6°時(shí)信息熵最大（圖9黑顏色），該位置也是α =6°時(shí)最接近轉(zhuǎn)捩的位置。在x/c =0.65位置處，當(dāng)α=0°時(shí)信息熵最大（圖9紅顏色），該位置也是α=0°時(shí)發(fā)生轉(zhuǎn)捩的位置（圖3）?？梢?，脈動(dòng)壓力信號(hào)的信息熵一定程度上能反映流動(dòng)形態(tài)。

圖10是不同流態(tài)的（s，k，I）分布，包括3-D圖、俯視圖、前視圖和側(cè)視圖，圖中的I1代表的是式（13）右邊第一項(xiàng)，即：

相較于圖6（a），圖10增加了一個(gè)維度I1。圖中，藍(lán)色散點(diǎn)是層流，紅色散點(diǎn)是轉(zhuǎn)捩，黑色散點(diǎn)是湍流。

從圖10可以看出，相較于偏度s，陡度k對(duì)I1的影響更為顯著，在k =的截面附近，k的微小變化會(huì)帶來I1的顯著變化。本文注意到，湍流特征處于k≈3的截面上（圖4和圖6（a）），而轉(zhuǎn)捩特征位于k ＜3的截面上，更遠(yuǎn)離k =的截面，I1的變化更為平緩。可見相較于轉(zhuǎn)捩，湍流信息的I1值變化可能會(huì)更顯著。

圖10 不同流態(tài)的（s，k，I）分布Fig.10 Distribution of (s, k,I) parameters for different flow states

整體來看，轉(zhuǎn)捩信息的I1值（式（13）右邊第一項(xiàng)）是變化最為平緩的，這是其特征分布遠(yuǎn)離奇點(diǎn)所引起的。由于轉(zhuǎn)捩信息的脈動(dòng)壓力均方根值σ是最大的，因此轉(zhuǎn)捩信息對(duì)信息熵I的貢獻(xiàn)主要體現(xiàn)在式（13）右邊第三項(xiàng)log2本文推導(dǎo)的公式有助于人們深刻理解信息熵與一般統(tǒng)計(jì)量之間的內(nèi)在關(guān)系。

在使用傳統(tǒng)的基于脈動(dòng)壓力RMS的轉(zhuǎn)捩判據(jù)進(jìn)行轉(zhuǎn)捩判斷時(shí)，由于只使用了一個(gè)統(tǒng)計(jì)量σ，因此，該判據(jù)是一維的。本文將該判據(jù)擴(kuò)展至四維空間（σ，s，k，I），但由于四維空間無法可視化，因此本文只呈現(xiàn)了四維空間（σ，s，k，I）在三維空間（s，k，I）中的投影結(jié)果，即圖10。

3 結(jié) 論

本文使用脈動(dòng)壓力方法對(duì)翼型邊界層進(jìn)行了轉(zhuǎn)捩探測，深入研究了自然轉(zhuǎn)捩情況下翼型邊界層不同流態(tài)的脈動(dòng)壓力統(tǒng)計(jì)特征，包括均方根值σ、偏度s、陡度k和信息熵I。通過繪制不同流態(tài)的（s ，k）相圖進(jìn)行研究，結(jié)果表明層流信息的偏度s與Gauss分布的偏度接近；湍流信息的陡度k 與Gauss分布的陡度接近；而轉(zhuǎn)捩在（s，k）相圖上的分布較與Gauss分布相差較大。

通過引入兩條假設(shè)，詳細(xì)推導(dǎo)了信息熵I與σ、s、k之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，建立了I與σ、s、k之間的顯式表達(dá)式，從而將傳統(tǒng)的基于脈動(dòng)壓力RMS值判據(jù)的一維決策空間擴(kuò)展為了由多個(gè)統(tǒng)計(jì)量構(gòu)成的四維決策空間（σ，s，k，I）。

本文工作有助于人們深刻理解信息熵與一般統(tǒng)計(jì)量之間的內(nèi)在關(guān)系，有助于研究人員后續(xù)的數(shù)據(jù)分析、分類模型建立以及規(guī)則提取等。

致謝：感謝NF-3風(fēng)洞的楊新合、李智廣、張習(xí)良和李敏芳等實(shí)驗(yàn)人員為本文實(shí)驗(yàn)付出的辛勤勞動(dòng)！

附錄A

正文式（9）（即式（A1））是一個(gè)線性方程組，本附錄介紹正文中式（9）到式（10）的求解過程。

由式（A1）的第四個(gè)式子可得：

將式（A2）帶入式（A1）的前三個(gè)等式，可得：

對(duì)于式（A3），第一個(gè)式子乘以15，第三個(gè)式子乘以k，可得：

式（A4）中，第一個(gè)式子與第三個(gè)式子相減，第二個(gè)式子乘以-2k可得：

通過式（A5）可得：

將式（A6）帶入式（A3）中的第一個(gè)式子，可求解出c4：

注意到正文式（8）中并沒有參數(shù)c1，因此，沒有對(duì)c1進(jìn)行求解。至此，c2、c3和c4全部解出：

特殊地，對(duì)于Gauss分布，有s= 0，k = 3，這時(shí)，有：