利用通性通法證明2022年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽平面幾何題

凌惠明

(江蘇省南京市金陵中學(xué) 210005)

2022年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(預(yù)賽)加試(A卷)第1題以簡(jiǎn)潔的圖形、豐富的內(nèi)涵，為考生能力的發(fā)揮留下了廣闊的空間．本文提供幾種利用通性通法來證明的方法，供大家欣賞．

1 題目

圖1

(本題滿分40分)如圖1，在凸四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，對(duì)角線BD上一點(diǎn)P滿足∠APB=2∠CPD，線段AP上兩點(diǎn)X,Y滿足∠AXB=2∠ADB，∠AYD=2∠ABD．證明：BD=2XY．

2 證明

本題的證明分為兩個(gè)邏輯段．

2.1 第一個(gè)邏輯段

圖2

分析1由∠ABC=∠ADC=90°很容易想到A,B,C,D在以AC為直徑的圓O上，由∠AXB=2∠ADB或∠AYD=2∠ABD聯(lián)想到圓周角定理，可以考慮利用圓O來尋找角與角之間的關(guān)系，從而可以得到A,O,B,X四點(diǎn)共圓，A,O,D,Y四點(diǎn)共圓(圖2)，進(jìn)而可以得到 △OXY∽△CDB．

具體證明過程可參考組委會(huì)提供的參考答案，這里不再贅述．

分析2如果沒有想到利用圓周角定理來轉(zhuǎn)化∠AXB=2∠ADB，可以考慮在⊙O中將兩個(gè)角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，構(gòu)造等腰三角形解決問題．

具體證明過程如下：

圖3

如圖3，取AC中點(diǎn)O，因?yàn)椤螦BC=∠ADC=90°，所以A,B,C,D在以AC為直徑的圓O上，且P,B位于AC同側(cè)．延長(zhǎng)AP交⊙O于點(diǎn)G，因?yàn)椤螦XB=2∠ADB=2∠AGB=∠XGB+∠XBG，所以∠XGB=∠XBG，則XB=XG．又OG=OB，則OX⊥BG，故∠OXY=90°-∠XGB=90°-∠ADB=∠CDB．同理，∠OYX=∠CBD，故△OXY∽△CDB．

2.2 第二個(gè)邏輯段

具體證明過程可參考組委會(huì)提供的參考答案，這里不再贅述．

分析2延長(zhǎng)AP后形成角平分線，構(gòu)造三角形全等解決問題．

具體證明過程如下：

圖4

圖5 圖6

分析4可以利用平行尋找角與角之間的關(guān)系，結(jié)合中位線來得到相似比，具體證明過程如下.

分析5由于角與角之間的關(guān)系比較豐富，也可以考慮利用正弦定理來得到相似比，具體證明過程如下.

圖7

3 結(jié)語(yǔ)

今年的這道平面幾何題延續(xù)了最近幾年聯(lián)賽對(duì)學(xué)生平面幾何方面的能力上的要求，突出了運(yùn)用基本知識(shí)、定理和方法來思考和解決問題，是一道非常好的賽題．遺憾的是，從賽后反饋來看，仍然有不少學(xué)生面對(duì)條件∠AXB=2∠ADB和∠AYD=2∠ABD束手無策，面對(duì)條件∠APB=2∠CPD更是一片茫然.這啟示我們?cè)谄綍r(shí)給學(xué)生訓(xùn)練時(shí)要更加積極地去探究解題思路的合理性，探究通性通法的運(yùn)用，從而提升分析問題和解決問題的能力！