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    “隨機(jī)數(shù)表法”的學(xué)生錯(cuò)誤認(rèn)知與思維矯正*

    2023-01-05 10:48:30郝結(jié)紅
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年12期
    關(guān)鍵詞:錯(cuò)誤概念數(shù)字

    郝結(jié)紅

    (南京師范大學(xué)附屬揚(yáng)子中學(xué) 210048)

    趙雨林

    (揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 225000)

    蘇教版高中數(shù)學(xué)教科書必修二“簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣”中要求學(xué)生掌握兩種簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法:抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法.學(xué)生此前未曾接觸過“隨機(jī)數(shù)表”的概念,并且在后續(xù)的章節(jié)學(xué)習(xí)中也很少涉及,因此學(xué)生對(duì)此知識(shí)的認(rèn)知有一定的困難.為此,筆者在教學(xué)過程中,提前準(zhǔn)備了一個(gè)盒子和10個(gè)小球,設(shè)計(jì)通過抽簽法與全班學(xué)生現(xiàn)場(chǎng)制作“隨機(jī)數(shù)表”.目的是讓學(xué)生體驗(yàn)隨機(jī)數(shù)表的生成過程,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,加深對(duì)隨機(jī)數(shù)表的理解.

    1 意料之外——概念混淆現(xiàn)象

    課堂上每次邀請(qǐng)兩位學(xué)生上臺(tái)演示,一位負(fù)責(zé)摸球,另一位負(fù)責(zé)記錄數(shù)字,如此重復(fù),很快一張“隨機(jī)數(shù)表”就制作好了.學(xué)生踴躍參與,課堂氣氛活躍,但出乎意料的是學(xué)生產(chǎn)生了三種錯(cuò)誤認(rèn)知.

    錯(cuò)誤1“小球放回”與“小球不放回”相混淆

    由于隨機(jī)數(shù)表中每個(gè)位置上的數(shù)字都是在 0~9十個(gè)數(shù)字中隨機(jī)產(chǎn)生的,因此每個(gè)位置上的數(shù)字都可以通過抽簽法產(chǎn)生.具體操作為:用十個(gè)大小、形狀完全相同的乒乓球分別寫上0~9這十個(gè)數(shù)字,放入一個(gè)箱中并攪拌均勻,從箱中隨機(jī)抽取一個(gè)球,記下球上的數(shù)字,完成第一次抽簽;然后將小球放回箱中,繼續(xù)第二次抽簽……如此重復(fù)下去即可得到一張隨機(jī)數(shù)表.

    學(xué)生的錯(cuò)誤做法:從箱中抽取一個(gè)球并記下第一個(gè)數(shù)字后,沒有將小球放回箱中就開始第二次抽簽.不少學(xué)生認(rèn)為,抽過的球是不能放回箱中繼續(xù)再供下次抽取的,這是原先抽簽法步驟中明確要求的.

    錯(cuò)誤2“制作隨機(jī)數(shù)表”與“隨機(jī)數(shù)表法”相混淆

    師生一起制作隨機(jī)數(shù)表的過程讓學(xué)生感受隨機(jī)數(shù)表是由隨機(jī)數(shù)組成的,進(jìn)一步地認(rèn)識(shí)到隨機(jī)數(shù)表法滿足簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的四個(gè)特點(diǎn),是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的一種方法.

    學(xué)生的錯(cuò)誤觀點(diǎn):不少學(xué)生認(rèn)為“制表”的過程就是隨機(jī)數(shù)表法“查表”的過程,將“制表”和“查表”相混淆.

    錯(cuò)誤3“小球放回等可能”與“小球不放回等可能”相混淆

    上述三種錯(cuò)誤是學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)時(shí)產(chǎn)生的,作為教師必須重視,不能潦草解釋或直接忽視,要真正地答疑解惑,幫助學(xué)生跨過認(rèn)知障礙,感受數(shù)學(xué)的理性之美.

    2 情理之中——錯(cuò)誤認(rèn)知形成原因

    2.1 過程性錯(cuò)誤與合理性錯(cuò)誤

    李善良博士將數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中的錯(cuò)誤分為兩種:一為過程性錯(cuò)誤,二為“合理性”錯(cuò)誤.前者指數(shù)學(xué)概念形成過程中,從實(shí)例到意象、意象到定義、聯(lián)系到網(wǎng)絡(luò)、運(yùn)用到體系、批判到創(chuàng)新的各個(gè)環(huán)節(jié)中,出現(xiàn)錯(cuò)誤的或不完全的反應(yīng)與操作.后者主要指概念學(xué)習(xí)中階段、水平的轉(zhuǎn)變,不同的個(gè)性傾向等所帶來(lái)的概念學(xué)習(xí)的障礙而造成的錯(cuò)誤[1].相對(duì)而言,過程性錯(cuò)誤具有短暫性、外顯性,是可以預(yù)防與避免的.而“合理性”錯(cuò)誤則具有隱蔽性、長(zhǎng)期性,帶有合理性、規(guī)律性、不可避免性.分析與區(qū)別這兩大類錯(cuò)誤,有助于透徹認(rèn)識(shí)概念學(xué)習(xí),有助于教學(xué)指導(dǎo)與預(yù)防矯正.

    對(duì)于“錯(cuò)誤1”,利用抽簽法制作隨機(jī)數(shù)表的過程中,受到之前學(xué)習(xí)抽簽法“不放回”的影響,學(xué)生認(rèn)為既然用了抽簽法,就不能再放回,卻沒有考慮到隨機(jī)數(shù)表中的每個(gè)數(shù)字都是在0~9十個(gè)數(shù)字中隨機(jī)產(chǎn)生的,學(xué)生在兩者之間建立了不恰當(dāng)?shù)穆?lián)系,混淆了抽簽法和運(yùn)用抽簽法制作隨機(jī)數(shù)表.用概念原型等代替數(shù)學(xué)概念、分類不合理、抽象不完善、概念定義與概念相脫離、概念間建立不恰當(dāng)?shù)穆?lián)系等錯(cuò)誤,屬于過程性錯(cuò)誤.對(duì)于“錯(cuò)誤2”,學(xué)生之所以會(huì)混淆“制表”和“查表”,是因?yàn)樗麄冋`認(rèn)為隨機(jī)數(shù)表的制作過程是隨機(jī)數(shù)表法的過程,同樣屬于過程性錯(cuò)誤.對(duì)于“錯(cuò)誤3”,學(xué)生根據(jù)以往學(xué)習(xí)的概率知識(shí)認(rèn)為放回是等可能、不放回不是等可能,是用原來(lái)的思維審視新的概念,按過去的經(jīng)驗(yàn)、結(jié)論、方法對(duì)概念作看似合理的推廣或限制,屬于“合理性”錯(cuò)誤.

    2.2 學(xué)生觀點(diǎn)與專家觀點(diǎn)

    數(shù)學(xué)概念的形成離不開恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方式.鮑德納認(rèn)為,教師以事先設(shè)計(jì)好的教學(xué)模式來(lái)進(jìn)行教學(xué)或許能教得很好,但是卻不見得能使學(xué)生學(xué)到東西,這是因?yàn)榻虒W(xué)內(nèi)容所呈現(xiàn)的順序是基于專家的觀點(diǎn),而不是“學(xué)生的觀點(diǎn)”[2].所以我們需要考慮:對(duì)于每個(gè)數(shù)學(xué)概念,學(xué)生原有的觀點(diǎn)是什么?學(xué)生的觀點(diǎn)與專家的觀點(diǎn)有哪些差異?教學(xué)中如何去協(xié)調(diào)這些差異?

    教師的教學(xué)思想、教學(xué)行為,學(xué)生原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和情景的意義建構(gòu)是否被教師考慮都會(huì)不同程度地影響學(xué)生的學(xué)習(xí)效果.以教為主的教學(xué)側(cè)重行為目標(biāo),較少考慮學(xué)生,合理性數(shù)學(xué)錯(cuò)誤便較易且較多地出現(xiàn),如“錯(cuò)誤3”;以學(xué)為主的教學(xué)則重視學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和情景的意義建構(gòu),過程性的數(shù)學(xué)錯(cuò)誤相對(duì)較多,如“錯(cuò)誤1”和“錯(cuò)誤2”都是學(xué)生在課堂摸球?qū)嶒?yàn)中自然產(chǎn)生的.

    2.3 數(shù)學(xué)元認(rèn)知與元認(rèn)知監(jiān)控

    數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)認(rèn)為,數(shù)學(xué)元認(rèn)知指的是人們對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)的自我認(rèn)識(shí)和自我控制.數(shù)學(xué)元認(rèn)知在人的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中具有統(tǒng)攝作用,是思維活動(dòng)的核心成分.[3]不同學(xué)生個(gè)體的認(rèn)知活動(dòng)雖彼此有差別,但元認(rèn)知的監(jiān)控、調(diào)節(jié)是各項(xiàng)學(xué)習(xí)活動(dòng)所具有的共同特征,也是學(xué)習(xí)活動(dòng)是否有效的決定因素之一.正是數(shù)學(xué)元認(rèn)知的存在,才使得數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)具有動(dòng)機(jī)功能、調(diào)控功能、選擇功能、解釋功能、建構(gòu)功能、提取功能、遷移功能、生成功能、轉(zhuǎn)化功能、激活功能等,從而防止錯(cuò)誤認(rèn)知結(jié)構(gòu)納入.

    “錯(cuò)誤1”的產(chǎn)生是由于學(xué)生發(fā)生了“概念打架”,剛學(xué)過抽簽法后又用抽簽法來(lái)制表,但對(duì)于隨機(jī)數(shù)表是什么還沒有真正搞清楚,所以產(chǎn)生了錯(cuò)誤認(rèn)識(shí).“錯(cuò)誤2”是學(xué)生先入為主,因?yàn)閯倢W(xué)完隨機(jī)數(shù)表的概念后就制表,學(xué)生便混淆了“制表”與“查表”.這兩個(gè)錯(cuò)誤認(rèn)知可通過教學(xué)環(huán)節(jié)的調(diào)整來(lái)解決,把隨機(jī)數(shù)表的介紹和通過例題講解如何使用隨機(jī)數(shù)表的教學(xué)環(huán)節(jié)放在制作隨機(jī)數(shù)表之前,這樣可以避免“概念打架”與“先入為主”的兩個(gè)錯(cuò)誤認(rèn)知.“錯(cuò)誤3”產(chǎn)生的原因是由于學(xué)生沒有學(xué)習(xí)過條件概率,但教師依然可以通過舉例講解和畫樹狀圖來(lái)幫助其克服認(rèn)知障礙.

    3 當(dāng)務(wù)之急——學(xué)生思維矯正策略

    基于以上認(rèn)知錯(cuò)誤的歸因分析,教師在第二個(gè)班級(jí)授課時(shí)改進(jìn)教學(xué),從思維矯正的角度來(lái)調(diào)整學(xué)生思維活動(dòng)形式,收到較好的教學(xué)效果.

    3.1 開展小組討論,引發(fā)認(rèn)知沖突

    建構(gòu)主義認(rèn)識(shí)論認(rèn)為,認(rèn)識(shí)、學(xué)習(xí)的過程不是簡(jiǎn)單地輸入和儲(chǔ)存信息的過程,而是主動(dòng)地將原有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和新信息進(jìn)行比較、分析、判斷、選擇和重組.[4]由于學(xué)生的錯(cuò)誤概念暴露的機(jī)會(huì)比較少,因此發(fā)現(xiàn)得越及時(shí)越好.開展小組合作學(xué)習(xí),組內(nèi)同伴相互交流時(shí)可以將隱蔽的錯(cuò)誤概念顯露出來(lái),當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的認(rèn)知與別人不同時(shí)就會(huì)產(chǎn)生認(rèn)知沖突,引發(fā)思考后經(jīng)過順應(yīng)過程形成正確的認(rèn)知.因此筆者用小組合作學(xué)習(xí)方式矯正學(xué)生相異構(gòu)想.

    教學(xué)改進(jìn)1在制作隨機(jī)數(shù)表前,讓學(xué)生討論如何動(dòng)手制作一張隨機(jī)數(shù)表.

    思維活動(dòng) (對(duì)“錯(cuò)誤1”的回應(yīng))讓學(xué)生仔細(xì)思考,如果“不放回”地抽取,那會(huì)導(dǎo)致什么樣的結(jié)果?是不是這個(gè)隨機(jī)數(shù)表只有十個(gè)數(shù)字組成?這符合實(shí)際嗎?

    從隨機(jī)數(shù)表的定義來(lái)看,表中任一位置出現(xiàn)任一數(shù)字的概率相同,且不同位置的數(shù)字之間是獨(dú)立的.也就是說表中的每個(gè)數(shù)字是在0~9十個(gè)數(shù)字中隨機(jī)產(chǎn)生的,那么當(dāng)我們用抽簽法確定了第一個(gè)位置上的隨機(jī)數(shù)時(shí),也就代表第一個(gè)位置上隨機(jī)數(shù)抽取完成了,實(shí)際上就是第一次抽簽完成,接下來(lái)進(jìn)行第二次抽簽來(lái)確定第二個(gè)位置上的隨機(jī)數(shù).

    3.2 調(diào)整教學(xué)順序,促進(jìn)同化順應(yīng)

    建構(gòu)的過程是同化和順應(yīng),當(dāng)新知識(shí)與原有知識(shí)結(jié)構(gòu)和思維方式相符時(shí)就被同化,否則就會(huì)被排斥,當(dāng)然也可能經(jīng)修正、重組后再被吸收.由皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展論可知,同化是引起認(rèn)知結(jié)構(gòu)量的變化,而順應(yīng)是引起認(rèn)知結(jié)構(gòu)質(zhì)的變化,順應(yīng)的難度遠(yuǎn)大于同化.[4]教材通常都是按照知識(shí)之間的邏輯關(guān)系編排的,教師的任務(wù)是引導(dǎo)學(xué)生把這種邏輯關(guān)系清晰地表達(dá)出來(lái).既然同化是先前知識(shí)對(duì)新學(xué)知識(shí)的作用,順應(yīng)是新學(xué)知識(shí)對(duì)原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的改造,那么厘清知識(shí)的生成順序就顯得非常重要,因?yàn)椤白钹徑钡闹R(shí)最利于同化,有序的知識(shí)利于形成結(jié)構(gòu).

    教學(xué)改進(jìn)2調(diào)整教學(xué)順序,把制作隨機(jī)數(shù)表的過程放在隨機(jī)數(shù)表法之后,主次分明.

    思維活動(dòng) (對(duì)“錯(cuò)誤2”的回應(yīng))隨機(jī)數(shù)表除了可以用抽簽法來(lái)制作,還可以通過計(jì)算機(jī)生成,教材附錄中就是計(jì)算機(jī)生成的隨機(jī)數(shù)表.一般情況下,我們只要學(xué)會(huì)利用隨機(jī)數(shù)表進(jìn)行抽樣即可.

    課堂上再附加一道例題,并利用教材上的隨機(jī)數(shù)表讓學(xué)生體驗(yàn)用隨機(jī)數(shù)表抽取樣本的方法.在完成隨機(jī)數(shù)表法項(xiàng)目任務(wù)之后,再呈現(xiàn)隨機(jī)數(shù)表的制作過程,進(jìn)而強(qiáng)化學(xué)生對(duì)隨機(jī)數(shù)表的認(rèn)識(shí).

    3.3 了解已有經(jīng)驗(yàn),實(shí)現(xiàn)概念轉(zhuǎn)變

    教師了解學(xué)生的知識(shí)現(xiàn)狀、對(duì)教育背景的知覺情況以及錯(cuò)誤概念的形成過程,是改進(jìn)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵之一.只有這樣,才能為制訂相應(yīng)的矯正策略提供目標(biāo),也為最終達(dá)成矯正目標(biāo)提供可能.因此,必須采取行之有效的誘導(dǎo)方法,使學(xué)生顯露自己的思維過程和知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu).

    教學(xué)改進(jìn)3增加一個(gè)課后思考題,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.

    思維活動(dòng) (對(duì)“錯(cuò)誤3”的回應(yīng))為了使問題能解釋得清楚,學(xué)生學(xué)習(xí)條件概率后再講會(huì)方便得多.因?yàn)槌楹灧ㄊ枪降?,是一個(gè)常識(shí),大部分學(xué)生都是知道而且認(rèn)可的.因此向?qū)W生提供一道課后思考題:有一個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng),抽箱里有十個(gè)號(hào)簽,分別是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.只有一個(gè)號(hào)簽是中獎(jiǎng)號(hào)碼,小紅、小剛和小明三個(gè)人依次抽獎(jiǎng),請(qǐng)分別計(jì)算三人中獎(jiǎng)的概率.

    4 言下之意——善待錯(cuò)誤重在理解

    教學(xué)是一門遺憾的藝術(shù),課堂就是犯錯(cuò)的地方.發(fā)生上述認(rèn)知錯(cuò)誤反映出學(xué)生有思考精神,也有質(zhì)疑意識(shí).作為教師,既要鼓勵(lì)學(xué)生積極思考問題和發(fā)現(xiàn)問題,還要和學(xué)生一起解決問題,真正實(shí)現(xiàn)善待錯(cuò)誤、包容錯(cuò)誤、珍視錯(cuò)誤,化錯(cuò)誤為資源,從錯(cuò)誤中學(xué)習(xí),在學(xué)習(xí)中悟道.教師必須理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué).這樣,才能充分把握知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程、重點(diǎn)、難點(diǎn)和關(guān)鍵,才能抓住內(nèi)容的核心,才能設(shè)置有利于學(xué)生理解知識(shí)的教學(xué)主線,才能在教學(xué)中提出具有啟發(fā)性和挑戰(zhàn)性的問題,才能有針對(duì)性地有效指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),最終實(shí)現(xiàn)提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)、發(fā)展思維能力、培育理性精神的目標(biāo).

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