含裂紋正交各向異性體的數(shù)值分析方法概述

余海玲，王 娟，彭佳琪，王根石

(新余學(xué)院建筑工程學(xué)院，江西 新余 338004)

正交各向異性材料是一種具有高比強(qiáng)度、質(zhì)量輕便等優(yōu)勢(shì)的復(fù)合材料，在土木工程、航天航空工程、機(jī)械制造等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。正交各向異性材料區(qū)別于各向同性材料，其常用的數(shù)值分析方法包括有限元法、擴(kuò)展有限元法、比例邊界有限元法及無(wú)網(wǎng)格法等。

1 有限元法

在眾多的數(shù)值分析方法中，有限元法[1]的發(fā)展相對(duì)來(lái)說(shuō)是最為成熟的，它是一種求取復(fù)雜微分方程近似解的有效工具。運(yùn)用有限元法分析問(wèn)題時(shí)需要對(duì)計(jì)算域進(jìn)行劃分，即有限個(gè)互不重疊且相互連接的單元，在每個(gè)單元內(nèi)選擇基函數(shù)，為逼近單元中的真解，則將單元基函數(shù)進(jìn)行線性組合。整個(gè)計(jì)算域的基函數(shù)可以看作是由每個(gè)單元基函數(shù)構(gòu)成，整個(gè)計(jì)算域內(nèi)的解可看成是由所有單元上的近似解組成。有限元法通俗直觀，計(jì)算效率高，一般數(shù)值精度也較高。目前，有很多基于有限元法原理的軟件，比較常用的有ANSYS、ABAQUS等，其強(qiáng)大的軟件兼容性奠定了有限元法在材料力學(xué)分析方面的重要作用。但是采用有限元法分析問(wèn)題時(shí)，需要在整個(gè)計(jì)算域內(nèi)部劃分單元，尤其是分析形狀復(fù)雜的三維體時(shí)，有限元的單元?jiǎng)澐蛛y度較大。在分析斷裂問(wèn)題時(shí)，為了保證計(jì)算結(jié)果的正確性，必須要在裂尖處劃分較為精細(xì)的單元，當(dāng)裂紋擴(kuò)展時(shí)，要重復(fù)地劃分單元，計(jì)算工作量較大。程宸、萬(wàn)水等[2]基于界面力學(xué)理論中關(guān)于正交各向異性材料應(yīng)力強(qiáng)度因子的內(nèi)容，借用ANSYS有限元分析軟件，計(jì)算了含邊緣界面裂紋和中央界面裂紋的裂尖應(yīng)力強(qiáng)度因子，研究表明，應(yīng)力強(qiáng)度因子隨著材料主軸方向的變化而變化，由于這種方法存在一定的可改進(jìn)性，中央界面裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算結(jié)果并不是很精確，但總體來(lái)說(shuō)該方法在一定程度上是可行的，需做進(jìn)一步的改進(jìn)。

2 擴(kuò)展有限元法

擴(kuò)展有限元法是在傳統(tǒng)有限元法的基礎(chǔ)上做了重大改進(jìn)，其主要思路是將計(jì)算域內(nèi)的間斷用擴(kuò)充帶有不連續(xù)性質(zhì)的插值函數(shù)來(lái)表示。采用擴(kuò)展有限元法分析時(shí)，描述的不連續(xù)場(chǎng)與網(wǎng)格邊界完全獨(dú)立，故其在裂紋分析上有較大的優(yōu)越性。此外，這種方法的引入不僅可以有效處理裂紋擴(kuò)展問(wèn)題，還給帶有孔洞和夾雜的非均勻材料的分析帶來(lái)了便利。Asadpoure與Mohamadi等[3]采用擴(kuò)展有限元法，分析了含裂紋的正交各向異性體，并計(jì)算了五種不同的材料主方向下含邊界裂紋正交各向異性板裂尖的正則化應(yīng)力強(qiáng)度因子，與Aliabadi與Sollero[4]得到的結(jié)果一致。徐建新和郝宇基于擴(kuò)展有限元的理論，運(yùn)用Paris公式及最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則確定了裂紋的擴(kuò)展速度和方向，通過(guò)具體算例計(jì)算，驗(yàn)證了使用擴(kuò)展有限元法在計(jì)算兩端受拉的邊界裂紋正交各向異性板在不同的材料主方向角度下對(duì)應(yīng)的無(wú)量綱化應(yīng)力強(qiáng)度因子，與文獻(xiàn)[3，4]的結(jié)果吻合度較高。此外，還模擬了裂紋擴(kuò)展的規(guī)律，得到以下結(jié)論：當(dāng)材料主方向角度小于時(shí)，裂紋的擴(kuò)展速度隨著主方向角度的增加而減小；當(dāng)材料主方向角度大于時(shí)，裂紋的擴(kuò)展速度隨著角度的增加而增大。在主方向角度增加的過(guò)程中，裂紋擴(kuò)展的角度變化呈現(xiàn)反正弦變化規(guī)律。通過(guò)具體的算例，驗(yàn)證了擴(kuò)展有限元法在分析裂紋擴(kuò)展問(wèn)題上具有較大的優(yōu)勢(shì)。

3 比例邊界有限元法

比例邊界有限元法是一種半解析數(shù)值方法，當(dāng)采用比例邊界有限元法分析問(wèn)題時(shí)，需要重新建立一個(gè)比例邊界坐標(biāo)系，該坐標(biāo)系包含比例中心、徑向坐標(biāo)和環(huán)向坐標(biāo)等。與邊界元法一樣，采用該方法分析時(shí)，無(wú)須在整個(gè)結(jié)構(gòu)內(nèi)部劃分單元，僅需在計(jì)算域的環(huán)向上進(jìn)行節(jié)點(diǎn)離散，使空間維度降低了一維，不需要設(shè)立相應(yīng)的基本解；徑向上進(jìn)行解析求解，無(wú)須離散，大大提高了計(jì)算效率與精度。此外，該方法在求解裂紋問(wèn)題和無(wú)限域問(wèn)題上特別高效。2002年，Song與Wolf采用這種方法成功模擬了各向異性材料裂紋問(wèn)題，在最后的算例中，具體分析了在切應(yīng)力作用下含邊界裂紋正交各向異性板的應(yīng)力強(qiáng)度因子與其收斂性，并與Tan、Gao基于邊界元法分析邊界裂紋正交各向異性板的結(jié)果進(jìn)行了比較，結(jié)果較為吻合，驗(yàn)證了該方法高精度、高效率的特點(diǎn)。

4 無(wú)網(wǎng)格法

無(wú)網(wǎng)格法是一種在有限元法基礎(chǔ)上發(fā)展而來(lái)的數(shù)值模擬方法。該方法采用基于點(diǎn)的近似，可以徹底或部分地消除網(wǎng)格，在處理不連續(xù)和大變形問(wèn)題時(shí)，可以拋開(kāi)網(wǎng)格重構(gòu)，具有很強(qiáng)的自適應(yīng)能力。依據(jù)構(gòu)造試函數(shù)，求解方程和處理邊界條件的方法不同，可對(duì)無(wú)網(wǎng)格法進(jìn)行劃分。目前，無(wú)網(wǎng)格方法有十幾種，如光滑粒子法、重構(gòu)核粒子法、擴(kuò)散單元法、無(wú)單元伽遼金法、無(wú)單元伽遼金比例邊界法等。其中，無(wú)單元伽遼金法應(yīng)用最為廣泛，這種方法前后處理方便，準(zhǔn)確性高，但是該方法基于移動(dòng)最小二乘法，導(dǎo)致構(gòu)造的形函數(shù)不滿足插值性質(zhì)，從而增加了本質(zhì)邊界條件的施加難度。為了改進(jìn)移動(dòng)最小二乘法的不足，Lancaster、Salkauskas提出了插值型移動(dòng)最小二乘法，采用該方法構(gòu)造出的形函數(shù)雖滿足Kronecker delta函數(shù)性質(zhì)，然而該方法卻只能運(yùn)用在節(jié)點(diǎn)處奇異的權(quán)函數(shù)，這同樣會(huì)增加數(shù)值處理的難度。此外，王聚豐和孫鳳欣等人提出將插值型移動(dòng)最小二乘法進(jìn)行改進(jìn)，改進(jìn)的插值方法以非奇異權(quán)函數(shù)為基礎(chǔ)，并在計(jì)算形函數(shù)時(shí)會(huì)比傳統(tǒng)的移動(dòng)最小二乘法少一個(gè)待定系數(shù)，可使計(jì)算過(guò)程大大簡(jiǎn)化，奇異矩陣出現(xiàn)的概率也會(huì)大大減小。陳莘莘、王娟與童谷生在改進(jìn)的插值型移動(dòng)最小二乘法的框架下，將比例邊界有限元法與無(wú)單元伽遼金法結(jié)合，提出了插值型無(wú)單元伽遼金比例邊界法，采用該方法成功地分析了各向同性彈性材料、壓電材料的斷裂問(wèn)題，通過(guò)具體的算例，驗(yàn)證了這種方法求解裂紋問(wèn)題的適用性。張成勛應(yīng)用二階一致無(wú)網(wǎng)格法，成功地分析了正交各向異性材料的力學(xué)問(wèn)題，并通過(guò)懸臂梁、變體力方板、兩端固定梁等算例計(jì)算了相應(yīng)的位移與應(yīng)力，與解析解的吻合度較高，充分驗(yàn)證了無(wú)網(wǎng)格法的高精度與高效率。

5 展望

插值型無(wú)單元伽遼金比例邊界法是一種新型的邊界型無(wú)網(wǎng)格法，這種方法繼承了比例邊界有限元法與無(wú)網(wǎng)格法的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)具備了較高的計(jì)算效率和精度，尤其適合求解斷裂問(wèn)題。目前，還沒(méi)有基于正交各向異性材料斷裂問(wèn)題的插值型無(wú)單元伽遼金比例邊界法的相關(guān)文獻(xiàn)，故而采用該方法分析含裂紋正交各向異性體具有一定的研究?jī)r(jià)值與實(shí)用價(jià)值，可為分析含裂紋正交各向異性體提供有效路徑。