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    重夸克勢(shì)能模型中非微擾貢獻(xiàn)重要性的定量研究

    2023-01-04 07:02:10唐愛琪孫亞男
    廣西物理 2022年2期
    關(guān)鍵詞:微擾夸克虛部

    唐愛琪,楊 航,孫亞男

    (廣西師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,廣西 桂林 541004)

    1 引言

    近數(shù)十年,物理學(xué)家們一直都在尋找脫離禁閉狀態(tài)的夸克膠子物質(zhì),但夸克膠子物質(zhì)存在需要非常嚴(yán)苛的條件,例如要在體系的溫度或者重子數(shù)密度要非常的高才可以存在。在地球,我們可能達(dá)到嚴(yán)苛條件的可能只有相對(duì)論重離子碰撞試驗(yàn)。在進(jìn)行重離子碰撞時(shí),會(huì)產(chǎn)生處于熱平衡的物質(zhì)稱它為“夸克-膠子等離子體”(QGP),即QGP 產(chǎn)生于碰撞初期。又因?yàn)?,體系本身會(huì)發(fā)生膨脹,而導(dǎo)致體系的溫度下降,因此QGP 會(huì)因溫度的降低而演化為強(qiáng)子氣體凍出,從而導(dǎo)致我們最終探測(cè)器探測(cè)到的都是末態(tài)的強(qiáng)子,即我們是無(wú)法直接觀測(cè)到QGP 的!在重離子碰撞試驗(yàn)中,我們無(wú)法之間觀測(cè)到夸克膠子等離子體,我們觀察到的是末態(tài)的強(qiáng)子氣體。在實(shí)驗(yàn)上就只能去分析這些末態(tài)的粒子,當(dāng)然也需要依靠可靠的理論數(shù)據(jù)計(jì)算。對(duì)碰撞早期物質(zhì)狀態(tài)敏感的末態(tài)粒子稱為“QGP 的探針”。[1]本文我們重點(diǎn)利用的探針為:重夸克偶素。由于“重夸克偶素”的質(zhì)量比較大,相對(duì)論效應(yīng)比較弱,所以,通過(guò)非相對(duì)論下的薛定諤方程,我們可以很好的去研究“重夸克偶素”性質(zhì),通過(guò)求解薛定諤方程,我們可以得到“重夸克偶素”的束縛能和本征能。因此,構(gòu)建出能夠很好描述“重夸克偶素”性質(zhì)的重夸克勢(shì)能模型對(duì)研究重夸克偶素的物理性質(zhì)是非常重要的。本文將利用由Karsch,Mehr 和Satz 等人引入、郭云教授改進(jìn)的的重夸克勢(shì)能模型(以下簡(jiǎn)稱“改進(jìn)拓展的KMS 重夸克勢(shì)能模型”)為代表,來(lái)進(jìn)行重夸克勢(shì)能模型中非微擾貢獻(xiàn)重要性的定量研究。

    2 改進(jìn)拓展的KMS 重夸克勢(shì)能模型簡(jiǎn)述

    2.1 原始KMS 重夸克勢(shì)能模型推導(dǎo)及介紹

    由于組成重夸克偶素的夸克的質(zhì)量較大,相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度比較小,因此,當(dāng)粗暴的假設(shè)夸克與反夸克之間的相互作用力是一個(gè)簡(jiǎn)單的靜態(tài)勢(shì)時(shí),就可以應(yīng)用非相對(duì)論來(lái)近似。

    第一個(gè)著名的勢(shì)模型是Cornell 勢(shì):

    其中,αs是強(qiáng)相互作用的耦合常數(shù),σ是弦強(qiáng)度,r 是夸克與反夸克之間的距離。零溫度下的Cornell勢(shì)由微擾部分和非微擾部分的唯象模型σr兩部分構(gòu)成。1988 年,由F.Karsch,M.T.Mehr 和H.Satz 開創(chuàng)性的模仿零溫度下Cornell 勢(shì),引入了有限溫度下的簡(jiǎn)單的勢(shì)能模型,稱為原始的KMS 重夸克勢(shì)能模型。

    其中德拜質(zhì)量mD是與溫度有關(guān)的函數(shù),我們可以看到在有限的溫度下,勢(shì)能(2-2)式表示的重夸克勢(shì)能為指數(shù)的形式。且通過(guò)與格點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比,Karsch 等發(fā)現(xiàn),原始的KMS 重夸克勢(shì)能模型是能夠與格點(diǎn)數(shù)據(jù)中的自由能數(shù)據(jù)擬合良好。

    當(dāng)?shù)掳葙|(zhì)量mD→0時(shí),則有

    我們發(fā)現(xiàn)。此時(shí)的勢(shì)能公式與零溫度時(shí)的Conell 式的形式一模一樣!

    2.2 改進(jìn)拓展的KARSCH-MEHR-SATZ 重夸克勢(shì)能模型的介紹與探索

    在2007 年,M.Laine 等人首次提出重夸克勢(shì)能模型有虛部并將有限溫度下的重夸克勢(shì)能模型表示成復(fù)值的形式后,KMS 重夸克勢(shì)能模型也在不斷的發(fā)展、變化。實(shí)際上,2.1 中提到的(2-2)式就是原始的KMS重夸克勢(shì)能模型,它可以去定性的描述格點(diǎn)數(shù)據(jù),但引起物理學(xué)家思考的是:重夸克偶素的質(zhì)量并不都是足夠大的,如粲夸克偶素或底夸克偶素,它們?cè)诜窍鄬?duì)論的極限下并不能使用微擾勢(shì)能去描述其間的相互作用,所以,一個(gè)包含非微擾項(xiàng)的勢(shì)能形式脫穎而出了。為描述非微擾的影響,2019 年,郭云教授等借助E.Megias等人提及的二維膠子凝聚的貢獻(xiàn),嘗試提出解決的方法:在微擾(延遲)膠子傳播子中加入了一個(gè)新的唯象式。[錯(cuò)誤!未定義書簽。]通過(guò)傅里葉變換即可得到擴(kuò)展的KMS 重夸克勢(shì)能模型的實(shí)部具體形式如下:

    同理,擴(kuò)展的KMS 重夸克勢(shì)能模型虛部具體形式如下:

    其中:

    即VKMS=ReV+iImV,為擴(kuò)展的KMS 勢(shì)能模型。

    那么擴(kuò)展的KMS 勢(shì)能模型得到的數(shù)據(jù)能否在格點(diǎn)數(shù)據(jù)范圍內(nèi)呢?2017 年,Y.Burnier 和A.Rothkopf 發(fā)表了擁有淬火QCD 格點(diǎn)數(shù)據(jù)的文章,與擴(kuò)展的KMS 勢(shì)能模型擬合情況如圖1、圖2:

    圖1 淬火QCD格點(diǎn)數(shù)據(jù)(藍(lán)點(diǎn))和擴(kuò)展KMS勢(shì)能模型中的實(shí)部ReV的比較,其中,ReV由紅實(shí)曲線表示,只考慮微擾貢獻(xiàn)的由黑虛曲線表示。[1]

    圖2 淬火QCD格點(diǎn)數(shù)據(jù)(藍(lán)點(diǎn))和擴(kuò)展KMS勢(shì)能模型中的實(shí)部ImV的比較,其中,ImV由紅實(shí)曲線表示,只考慮微擾貢獻(xiàn)的由黑虛曲線表示。[2]

    通過(guò)圖1 和圖2 可以發(fā)現(xiàn):擴(kuò)展KMS 重夸克勢(shì)能模型的實(shí)部部分與格點(diǎn)數(shù)據(jù)擬合的很好,且當(dāng)距離較大時(shí)的行為明顯是夸克禁閉的行為;但擴(kuò)展KMS 重夸克勢(shì)能模型的虛部部分在隨著r 的增大,發(fā)生集聚增大的變化并超過(guò)了格點(diǎn)數(shù)據(jù)。雖擴(kuò)展的KMS 模型虛部擬合效果不如人意,但仍比只考慮微擾貢獻(xiàn)有了明顯進(jìn)步,這也提醒我們,目前擴(kuò)展的KMS 勢(shì)能模型,特別是虛部部分仍然需要進(jìn)行進(jìn)一步的改進(jìn)。

    幸運(yùn)的是,在對(duì)擴(kuò)展的KMS 重夸克勢(shì)能模型與淬火QCD 格點(diǎn)數(shù)據(jù)擬合情況并不滿意后,為了更好的符合格點(diǎn)數(shù)據(jù)的虛部部分,郭云教授等繼續(xù)又對(duì)擴(kuò)展的KMS 重夸克勢(shì)能模型進(jìn)行了再一次的改進(jìn),改進(jìn)思路在非微擾項(xiàng)中在二維膠子傳播子中繼續(xù)加入新的貢獻(xiàn),并同樣再進(jìn)行傅里葉變換,即可得到改進(jìn)拓展KMS重夸克勢(shì)能模型。

    具體形式如下:

    同理,改進(jìn)擴(kuò)展的KMS 重夸克勢(shì)能的虛部具體形式如下:

    其中:

    又,考慮到夸克的質(zhì)量mQ有限,為提高解得的夸克態(tài)波函數(shù)的精度,選擇加入一個(gè)與成比例而與自旋無(wú)關(guān)的一個(gè)修正值。即,為改進(jìn)擴(kuò)展的KMS 重夸克勢(shì)能模型最終形式,如(2-12)式。同樣與淬火QCD 格點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比,發(fā)現(xiàn)在實(shí)部擬合依然很好的情況下,虛部部分的擬合也有了很大的改進(jìn)[2]。

    現(xiàn)在,我們通過(guò)將(2-9)式帶入薛定諤方程,即可求出重夸克偶素的本征能,我們將利用mathmatica程序,對(duì)改進(jìn)拓展的KMS 重夸克勢(shì)能模型帶入薛定諤方程進(jìn)行計(jì)算以獲得重夸克偶素的本征值。

    我們可以看到(2-12)式包含微擾項(xiàng)和非微擾項(xiàng),為了去探索改進(jìn)拓展的KMS 重夸克勢(shì)能模型中非微擾貢獻(xiàn)重要性,我們選擇將σ=0時(shí)的改進(jìn)拓展的KMS 重夸克勢(shì)能模型,如(2-13)式,并同樣利用mathmatica程序?qū)⑵鋷胙Χㄖ@方程以獲得無(wú)非微擾時(shí)重夸克偶素的本征值。

    當(dāng)σ=0時(shí),

    通過(guò)改重變溫度和夸克偶素的質(zhì)量可以得到兩種情況下對(duì)應(yīng)不同溫度、不同質(zhì)量的相應(yīng)本征能。通過(guò)的兩種情況對(duì)比,我們可以得到,當(dāng)重夸克偶素的質(zhì)量達(dá)到多少時(shí),非微擾不再影響本征能的值,達(dá)到定量研究改進(jìn)拓展的KMS 重夸克勢(shì)能模型中非微擾貢獻(xiàn)重要性的目的

    3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

    我們利用mathmatic程序,對(duì)改進(jìn)拓展的KMS重夸克勢(shì)能模型進(jìn)行計(jì)算,并計(jì)算了多種溫度下不同質(zhì)量的下的本征能,利用數(shù)據(jù)所畫圖像如圖3所示。

    圖3 黑色曲線為溫度0.192*1.1GeV時(shí),其中黑色虛線代表σ=0時(shí)本征能隨質(zhì)量的變化,黑色實(shí)線代表σ=0.215時(shí)本征能隨質(zhì)量的變化;紅色曲線為溫度0.192*5.0GeV時(shí),其中紅色虛線曲線代表σ=0時(shí)本征能隨質(zhì)量的變化,紅色實(shí)線代表σ=0.215時(shí)本征能隨質(zhì)量的變化;藍(lán)色曲線為溫度0.192*10.0GeV時(shí),其中藍(lán)色虛線代表σ=0時(shí)本征能隨質(zhì)量的變化,藍(lán)色實(shí)線代表σ=0.215時(shí)本征能隨質(zhì)量的變化。

    4 結(jié)論

    通過(guò)圖3 的橫向的對(duì)比,我們發(fā)現(xiàn)在同一溫度下,隨著重夸克質(zhì)量的升高非微擾部分對(duì)通過(guò)重夸克勢(shì)能模型得到的本征能的影響逐漸降低,當(dāng)重夸克質(zhì)量一定程度時(shí)(如溫度為0.192*1.1GeV,重夸克質(zhì)量為50GeV 時(shí)),非微擾部分基本不能再影響本征能的值。

    即,我們可以得到結(jié)論:當(dāng)重夸克質(zhì)量一定程度時(shí)(如溫度為0.192*1.1GeV,重夸克質(zhì)量為50GeV 時(shí)),非微擾部分不能再影響重夸克本征能的值。

    而我們知道,實(shí)際上,像b夸克偶素態(tài)這樣的最大的夸克質(zhì)量也僅為4.7GeV,顯然在現(xiàn)實(shí)中,重夸克勢(shì)能模型中的非微擾貢獻(xiàn)是非常重要、不能被忽略的!

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