適應(yīng)于障礙物真實結(jié)構(gòu)的航天器集群避障運動控制*

周 昊 黨朝輝

1. 西北工業(yè)大學航天學院，西安 710072 2. 西北工業(yè)大學航天飛行動力學技術(shù)重點實驗室，西安 710072

0 引言

碰撞規(guī)避是航天器、無人機、機械臂、輪式機器人等真實個體或集群運動控制所必須考慮的重要因素。尤其在復(fù)雜空間環(huán)境中，由于衛(wèi)星等空間設(shè)備的高昂成本，為保證其正常工作，需要采取合適的策略避免其與障礙物發(fā)生碰撞。而對航天器集群而言，由于機載設(shè)備能力有限，需要采用較為簡單且有效的避障策略?，F(xiàn)有的碰撞規(guī)避算法大致分為慎思規(guī)劃型[1-5]、反應(yīng)控制型[6]和混合集成型三類[7]。人工勢場法是一種典型的反應(yīng)控制型方法，適用于障礙物結(jié)構(gòu)和分布較為簡單的情形，具有控制律設(shè)計簡單、計算速度快等優(yōu)點，在自動駕駛[8]、無人機/航天器編隊飛行[9-11]、航天器交會對接[12-14]、天體著陸探測[4]等領(lǐng)域取得了廣泛應(yīng)用。

由于人工勢函數(shù)的一般形式是一個以點到障礙物距離為自變量的函數(shù)，與障礙物形狀無關(guān)，因而人工勢場法自誕生起便適用于一般形狀障礙物[15]。但除圓形或球形等簡單障礙物之外，點到障礙物表面距離一般沒有解析公式，從而限制了該方法的應(yīng)用范圍。對于長方體、圓柱等較為簡單的非球形障礙物，一種可行的策略是采用高階超二次曲面(superquadric，或稱超橢球，superellipsoid)對障礙物形狀進行近似[15]或逼近[16](在障礙物表面處與其形狀相契合，在無窮遠處趨近于常規(guī)橢球)。該方法可用于航天器近距離機動控制[17]，復(fù)雜區(qū)域中無人機航跡規(guī)劃[18]、大型空間結(jié)構(gòu)自主裝配[19]等任務(wù)，并且可推廣至對圓錐、棱錐、梯形等更多幾何圖形的近似。Ren等受文獻[16]啟發(fā)，提出了一種基于廣義Sigmoid函數(shù)的不規(guī)則曲線/曲面障礙物勢場設(shè)計方法[20]，但由于勢函數(shù)的有界性，缺乏個體與障礙物間距離有界性的證明。Zhang等設(shè)計了一種類似于不規(guī)則天體多面體引力模型的勢場建模方法[21]。陳提等通過將航天器簡化為橢球的組合，并基于橢球表面間的近似距離度量，為航天器集群自主裝配設(shè)計了考慮個體間碰撞規(guī)避的控制律[22]。除避障外，非球形勢場還可用于制導等方面。如張大偉等基于橢圓蔓葉面勢場，實現(xiàn)了航天器安全交會制導(但障礙物仍簡化為球體)[13]，等。

總而言之，對于非球形甚至不規(guī)則形狀的障礙物，由于其外形表征的困難，現(xiàn)有的大多數(shù)基于人工勢場的避障控制研究或者無法使所設(shè)計的人工勢函數(shù)精確擬合障礙物外形，或者依賴于障礙物的絕對位置和精確外形，并且普遍缺乏避障有效性的嚴格證明。為了使航天器/機器人/無人機等真實個體或集群實現(xiàn)在真實障礙環(huán)境下的避障運動，對于結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜的障礙物的精細化碰撞規(guī)避，則普遍采用路徑規(guī)劃方法，如通過臨時改變個體的目標位置以繞開障礙物[23]。這給個體的計算能力以及運動行為決策的實時性帶來了挑戰(zhàn)。

本文利用一種可由膠囊體(兩端面用半球替代的圓柱)、長方體等基本幾何體組成的復(fù)雜障礙物，設(shè)計一種可同時證明閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性及避障效果的避障運動控制方法。具體地，以參考航天器附近的航天器編隊形成運動控制為例，本文首先基于基本幾何體勢場以及參考航天器的幾何結(jié)構(gòu)，并借鑒經(jīng)典人工勢場的形式，給出一種適應(yīng)其幾何形狀的參考航天器勢場建模方法；然后針對編隊形成任務(wù)，為航天器集群設(shè)計一種考慮個體間、個體與障礙物間碰撞規(guī)避的控制律，并對該控制律作用下閉環(huán)誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及碰撞規(guī)避效果進行了嚴格的理論分析。最后通過仿真案例，說明所設(shè)計控制律在編隊形成和碰撞規(guī)避方面的有效性。

1 問題描述

考慮由n個航天器組成的集群相對于另一尺寸較大、結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的參考航天器的運動。其中參考航天器繞中心天體以圓軌道運動。因而可在參考航天器當?shù)厮?當?shù)劂U直坐標系(簡稱為LVLH坐標系，其原點位于參考航天器質(zhì)心處，x軸沿中心天體質(zhì)心到參考航天器質(zhì)心方向，z軸沿參考航天器角動量方向，y軸按右手定則確定)中，將集群中任意一個航天器i(稱為追蹤航天器，i= 1,2,…,n)的運動表示為如下C-W方程：

(1)

其中,ξi= (xi,yi,zi)T∈R3×1為質(zhì)心位置坐標，ζi∈R3×1為質(zhì)心速度坐標，Ui∈R3×1為控制量，D21和D22分別為：

ω表示參考航天器繞中心天體的公轉(zhuǎn)軌道角速度。

2 障礙物的簡化及其人工勢場建模

當給定障礙物幾何外形以及位置和方位參數(shù)后，其周圍的人工勢函數(shù)建?？砂凑照系K物幾何外形簡化→基本幾何單元分解→基本幾何單元勢函數(shù)構(gòu)造→基本幾何單元勢函數(shù)疊加4個步驟進行(應(yīng)保證各基本幾何單元均為凸幾何體)，得到的人工勢函數(shù)負梯度即為所需的人工勢場。

考慮到航天器一般可簡化為基本幾何體的組合，我們分別給出點到兩種基本幾何體的距離公式，分別為點P(x,y,z)到膠囊體(兩端面用半球替代的圓柱)的距離公式：

(2)

以及點P(x,y,z)到長方體的距離公式：

(3)

其中,C(xC,yC,zC)分別為兩種幾何體的中心，r為膠囊體端部半球半徑，h為膠囊體的高，a，b和c分別為長方體的長、寬、高，如圖1所示。膠囊體縱軸默認沿z軸方向，長方體的長、寬、高默認沿x、y、z方向，否則先進行坐標變換，再套用上述公式。

圖1 兩種基本幾何體參數(shù)示意圖

在此基礎(chǔ)上給出上述幾何體人工勢函數(shù)形式化的表達式為:

(4)

(5)

如果參考航天器B可表示為基本幾何體Bi(i=1,2,…,nb，nb為參考航天器基本幾何單元個數(shù))的并集，并用VBi(x,y,z)表示基本幾何體Bi的勢函數(shù)，則參考航天器的人工勢函數(shù)可以表示為：

(6)

其負梯度即為參考航天器人工勢場。

我們參考中國空間站結(jié)構(gòu)，先分別合并各艙段的太陽能電池板以及橫縱兩組艙段本體，再分別用兩個膠囊體近似橫縱兩組艙段，用五個長方體近似各艙段的太陽能電池板，從而可將參考航天器幾何結(jié)構(gòu)表示為圖1中的7個基本幾何體的組合，得到圖2所示的參考航天器簡化幾何結(jié)構(gòu)。

圖2 參考航天器結(jié)構(gòu)圖

于是參考航天器的勢場/勢函數(shù)可表示為這些基本幾何體的勢場/勢函數(shù)的疊加。進而可以在追蹤航天器的控制律中設(shè)計合適的避障項，使得追蹤航天器在成功到達目標位置的同時，與參考航天器間的距離始終大于某一閾值，從而避免與其發(fā)生碰撞。

3 航天器集群控制律設(shè)計

使追蹤航天器i(i=1,2,…,n)運動到目標位置可視為使追蹤航天器i的如下誤差系統(tǒng)漸近收斂到0：

(7)

(8)

代入到原誤差系統(tǒng)式(7)可得到如下閉環(huán)誤差系統(tǒng):

(9)

其中,VB為公式(6)定義的障礙物勢函數(shù)，Vij為個體i和j(j= 1,2,…,n,j≠i)之間的勢函數(shù)，可類似于公式(4)，定義為

(10)

其中，Do> 0 為個體間碰撞規(guī)避檢測距離閾值，cSpacecraft> 0 稱為個體間碰撞規(guī)避系數(shù)。

上述誤差系統(tǒng)控制律式(8)對應(yīng)于原系統(tǒng)式(1)的控制律為：

(11)

為了證明閉環(huán)誤差系統(tǒng)式(7)的穩(wěn)定性，我們可以為整個集群構(gòu)造如下形式的正定李雅普諾夫函數(shù):

(12)

(13)

滿足半負定條件。所以在所設(shè)計的集群航天器控制律式(11)作用下，各航天器的閉環(huán)誤差系統(tǒng)式(9)是穩(wěn)定的，在不陷入局部極值的情況下能夠使航天器集群收斂到期望構(gòu)型。另一方面，由于障礙物排斥勢場在邊界處趨于無窮大，而包含障礙物勢函數(shù)的集群李雅普諾夫函數(shù)式(12)隨時間單調(diào)遞減，因此個體與障礙物表面不會發(fā)生碰撞。

4 仿真與結(jié)果分析

所得的仿真結(jié)果如圖3～6所示。可以發(fā)現(xiàn)，航天器集群能夠以10-6km量級的較高精度收斂到目標構(gòu)型，并且集群個體間、個體與障礙物之間分別保持4.842 m和9.718 m以上的安全距離，同時個體控制量幅值處于10-4km/s2的可接受量級處。因而，所設(shè)計的控制律和參數(shù)取值能夠保證航天器編隊形成任務(wù)的安全成功執(zhí)行。

圖3 航天器集群編隊形成運動軌跡

圖4 各航天器位置誤差模值隨時間變化圖

圖5 各航天器控制量模值隨時間變化圖

圖6 航天器集群個體間及與障礙物表面最小距離變化圖

與之對比，在其他參數(shù)完全相同的情況下，采用文獻[22]中的一種橢球近似障礙物勢場重新進行仿真。其中障礙物基本幾何單元由其包絡(luò)橢球替代，對應(yīng)的人工勢函數(shù)可表示為如下形式：

(14)

圖7 障礙物包絡(luò)橢球及其到點P(x,y, z)近似距離構(gòu)造

仿真參數(shù)η= 10-8km4/s2，γ=100 km-1，其他參數(shù)同上。得到的仿真結(jié)果如圖8～9所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，由于在整個空間中避障力始終存在，集群最終構(gòu)型出現(xiàn)一定誤差(比期望構(gòu)型半徑偏大)。在γ不夠大時，這種現(xiàn)象較為明顯。并且，該方法會縮小個體的允許運動空間(位于圖7所示的包絡(luò)橢球之外)，限制了在軌服務(wù)空間范圍。

圖8 橢球近似障礙物勢場下的航天器集群運動軌跡

圖9 橢球近似障礙物勢場下的各航天器位置誤差模值隨時間變化圖

5 結(jié)論

研究了適應(yīng)于空間障礙物真實結(jié)構(gòu)的航天器集群避障運動控制問題。基于所建立的適應(yīng)于空間障礙物形狀的人工勢場，為航天器集群編隊形成設(shè)計了一種避障控制律，分析了閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。仿真結(jié)果驗證了所設(shè)計的控制律在目標構(gòu)型形成、碰撞規(guī)避等方面的有效性。與已有的橢球近似人工勢場研究相比，本文勢場適應(yīng)于外形更一般化的障礙物的具體形狀特征。與已有無界形式的非球形人工勢場研究相比，本文勢場僅利用鄰近障礙物信息，并且僅依賴于個體與障礙物表面間的相對測量信息，擺脫了對障礙物整體幾何結(jié)構(gòu)的依賴。后續(xù)需要對所設(shè)計的控制律結(jié)構(gòu)加以改進，以取得更好的避障運動效果。同時需要研究不同參數(shù)對性能指標的影響，為該方法的實際應(yīng)用提供設(shè)計依據(jù)。