基于四元數(shù)的滾珠絲杠副載荷分布求解方法

羅飛 程紅梁 凌維安 王超 張昭

(1. 南京航空航天大學(xué)，南京 210016；2. 博世華域轉(zhuǎn)向系統(tǒng)有限公司，南京 210033)

0 引言

滾珠絲杠副作為一種傳動(dòng)裝置，是汽車傳動(dòng)系統(tǒng)中常見(jiàn)的關(guān)鍵部件，同時(shí)也在機(jī)床加工、航空航天等領(lǐng)域中被廣泛使用[1]。汽車轉(zhuǎn)向器是汽車轉(zhuǎn)向控制的重要零部件，該結(jié)構(gòu)的受力形式極為復(fù)雜，有軸向力、徑向力、彎矩等，這些力與力矩往往耦合作用，使運(yùn)動(dòng)副產(chǎn)生復(fù)雜變形，通過(guò)滾動(dòng)體與滾道的擠壓產(chǎn)生接觸力；運(yùn)動(dòng)副的載荷分布直接關(guān)系著滾珠絲杠副的疲勞性能，只有在確定了運(yùn)動(dòng)副的載荷分布形后，才能進(jìn)一步計(jì)算結(jié)構(gòu)相關(guān)的性能參數(shù)，例如剛度、變形、接觸應(yīng)力等[2]。有限元法作為一種數(shù)值方法可以用來(lái)分析滾珠絲杠副，但是需要對(duì)模型進(jìn)行較為復(fù)雜的前處理，耗時(shí)較長(zhǎng)，不利于滾珠絲桿副的快速設(shè)計(jì)；因此，理論方法研究仍不可或缺。

滾珠絲杠副的載荷分布求解基于赫茲接觸公式，需要計(jì)算滾珠-滾道擠壓變形-壓力的函數(shù)關(guān)系式，通過(guò)絲杠與螺母的相對(duì)變形描述滾珠的擠壓。在傳統(tǒng)的研究中，總是將滾珠與滾道的接觸變形在某一個(gè)平面內(nèi)把接觸變形分解到接觸點(diǎn)上，楊陽(yáng)，陳蔚芳基于赫茲接觸理論，在假設(shè)兩個(gè)接觸角(滾珠與絲杠的接觸角以及滾珠與螺母滾道的接觸角)相同的前提下，建立了相鄰滾珠間的接觸變形關(guān)系，并建立了滾珠載荷分布的數(shù)學(xué)模型[3]，張陳靈，范元?jiǎng)捉⒘俗冃螀f(xié)調(diào)條件下的滾珠絲杠副載荷分布模型[4]。對(duì)于傾轉(zhuǎn)變形的處理也是通過(guò)復(fù)雜的三角函數(shù)關(guān)系，變換到接觸點(diǎn)上進(jìn)行求解滾珠的擠壓變形[5]。這種基于分解的思想太過(guò)復(fù)雜，公式推導(dǎo)也比較繁瑣。四元數(shù)是一種在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中被廣泛使用的以描述矢量空間旋轉(zhuǎn)的工具[6]，通過(guò)指定旋轉(zhuǎn)軸，可以輕易將矢量的旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換為一個(gè)矩陣操作；四元數(shù)的應(yīng)用在自動(dòng)控制領(lǐng)域較多，孟德元提出了兩類基于四元數(shù)表征的航天器全局姿態(tài)控制同步協(xié)議，保證了航天器姿態(tài)在物理意義下的全局同步[7]。陶慶鳳基于四元數(shù)開(kāi)發(fā)了一個(gè)機(jī)械手臂系統(tǒng)，以實(shí)現(xiàn)機(jī)械手臂姿態(tài)的快速解算[8]。

本文基于四元數(shù)求解滾珠絲杠副在復(fù)合受載下的載荷分布形式，將滾珠的與滾道相對(duì)變形中的傾轉(zhuǎn)分量采用四元數(shù)描述，將滾道描述改寫(xiě)為參數(shù)曲線，并利用參數(shù)曲線的剛體位移計(jì)算滾珠的擠壓變形，采用牛頓迭代法求解滾珠的載荷分布。

1 載荷分布模型

1.1 四元數(shù)的矩陣形式

四元數(shù)根據(jù)實(shí)部和虛部記作：

(1)

其中，標(biāo)量s為實(shí)部，向量v為虛部。四元數(shù)運(yùn)算內(nèi)容較為繁雜，我們只用到其矩陣表示形式即可。

根據(jù)四元數(shù)相關(guān)知識(shí)，任意空間向量的旋轉(zhuǎn)可以表示為對(duì)應(yīng)四元數(shù)的運(yùn)算。向量v1繞任意標(biāo)準(zhǔn)向量(單位向量)u按右手坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)θ角度后指向變化為v2，可以用四元數(shù)乘法描述，表示為：

v2=qv1q*

(2)

v1=[0,v1],v2=[0,v2]是實(shí)部為零的四元數(shù)，也稱純四元數(shù)。q為表示旋轉(zhuǎn)的單位四元數(shù)，q*為q的共軛。q表示為：

(3)

將(3)式表示為矩陣乘法形式，令：

(4)

(5)

其中，θ為繞向量u轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，[ux,uy,uz]T[ux,uy,uz]T為向量u的三個(gè)方向的分量。則轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣可表示為：

(6)

對(duì)應(yīng)向量旋轉(zhuǎn)空間轉(zhuǎn)動(dòng)可以表示為：

v2=Q·v1

(7)

由圖1易知，空間轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的四元數(shù)不是唯一的，對(duì)于任意向量，繞u方向旋轉(zhuǎn)θ角和繞-u方向旋轉(zhuǎn)2π-θ角所進(jìn)行的變換是完全一致的。

圖1 向量旋轉(zhuǎn)示意圖Fig.1 Vector rotation diagram

1.2 接觸變形求載荷分布

靜止/低速運(yùn)動(dòng)時(shí)滾珠絲杠副受力可以按靜力學(xué)分析，滾珠處于靜力平衡狀態(tài)。一般認(rèn)為滾珠與滾道的接觸變形處于彈性范圍內(nèi)，滿足赫茲接觸假設(shè)前提條件；研究忽略滾珠滾道之間的摩擦力。由此滾珠受載后變形可以轉(zhuǎn)化為滾道曲線之間的相對(duì)變形，假定螺母固定，絲杠相對(duì)螺母有變形量。

滾珠絲杠副的節(jié)圓半徑為R0，滾珠半徑為rb，內(nèi)外圈滾道半徑為ri、re，接觸角β0，導(dǎo)程角為λ?？梢酝茖?dǎo)出：

R1=R0-(re-rb)cos(β0)

(8)

R2=R0-(ri-rb)cos(β0)

(9)

其中，R1為外圈滾道參數(shù)圓曲線的半徑,R2為內(nèi)圈滾道參數(shù)圓曲線的半徑。考慮到內(nèi)外圈滾道偏移有：

(10)

(11)

(12)

(13)

L=R0tan(λ)

(14)

理想狀態(tài)下滾珠球心運(yùn)動(dòng)路徑沿著參數(shù)L0，L0的表達(dá)式：

x=R0cos(t)
L0∶y=R0sin(t),t∈[0,2π]
z=Lt

(15)

螺母滾道圓心參數(shù)曲線：

(16)

(17)

絲杠滾道圓心參數(shù)曲線：

(18)

(19)

(a) (b)圖2 滾珠絲杠副坐標(biāo)系及參數(shù)示意Fig.2 Coordinate system and parameter illustration of ball screw

上述參數(shù)曲線表明，四點(diǎn)接觸的滾珠絲杠副螺母和絲杠各有兩條參數(shù)曲線，上標(biāo)N/S標(biāo)明螺母/絲杠，下標(biāo)L/R標(biāo)明參數(shù)曲線對(duì)應(yīng)滾道圓弧指向圓心的左右位置。在外載作用下，螺母和絲杠間發(fā)生相對(duì)位移，包括繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)和三個(gè)平動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)方向定義xoy在平面內(nèi)，轉(zhuǎn)軸角為φ，轉(zhuǎn)動(dòng)角度為θ，則對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)動(dòng)四元數(shù)，圖2描述了絲杠與滾珠的接觸情況。

(20)

(21)

(22)

滾珠受到滾道擠壓產(chǎn)生的變形量為變形前后的參數(shù)曲線間距離變化決定，變形前滾道參數(shù)線距離為：

A=re+ri-2rb

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

赫茲接觸理論給出了接觸變形與接觸載荷關(guān)系，下式中K為剛度特性系數(shù)，計(jì)算式取決于接觸點(diǎn)處的曲率參數(shù)、材料參數(shù)等。

δi1=max(Ai1-A,0)

(28)

δi2=max(Ai2-A,0)

(29)

(30)

(31)

對(duì)絲杠內(nèi)部N個(gè)工作滾珠(不考慮反向器中的滾珠)，沿曲線參數(shù)值遞增方向i=1,…,N為滾珠分解受力和力矩，可以得到：

(32)

(33)

擠壓力的方向用空間單位向量表示：

(34)

(35)

函數(shù)unit()表示向量單位化。

上述推導(dǎo)建立了變形量—載荷分布——外載荷之間的遞推關(guān)系。通常情況下是已知外載荷F0=[Fx0,Fy0,Fz0,Mx0,My0]T,未知變形量δ=[δx,δy,δz,φ,θ]和載荷分布?？赏ㄟ^(guò)牛頓迭代調(diào)整變形量使外載荷等于滾珠合力、合力矩。

2 驗(yàn)證算例

2.1 算例一

MESYS軟件是由瑞士MESYS AG公司開(kāi)發(fā)的專業(yè)滾動(dòng)軸承計(jì)算分析軟件，可以按照ISO/TS 16281標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算滾珠絲杠副的載荷分布。某型號(hào)四點(diǎn)接觸滾珠絲杠副參數(shù)見(jiàn)表1，根據(jù)本文的分析流程編寫(xiě)MATLAB程序計(jì)算絲杠的載荷分布，并與MESYS軟件計(jì)算結(jié)果對(duì)比。

表1 某型號(hào)滾珠絲杠副參數(shù)

當(dāng)給定外載[Fx0,Fy0,Fz0,Mx0,My0]T時(shí)(力單位：N；力矩單位：N·m)，基于本文算法和MESYS軟件計(jì)算得到的載荷分布如圖3所示?？梢?jiàn)本文算法計(jì)算結(jié)果與軟件計(jì)算結(jié)果基本吻合。

(a)

2.2 算例二

滾珠絲杠副在受載后會(huì)發(fā)生軸向/徑向變形，而且受載后的載荷——變形關(guān)系并不是純粹的線性關(guān)系?？紤]到實(shí)際生產(chǎn)制造過(guò)程中，滾珠因各種因素不可避免會(huì)有制造誤差，也需要考慮滾珠的幾何公差?？紤]幾何誤差只需要修正公式(27)～(28)，使變形量包含直徑誤差err，修改后的滾珠變形量計(jì)算值為：

δi1=max(Ai1-A+err,0)

(36)

δi2=max(Ai2-A+err,0)

(37)

其余分析過(guò)程完全一致，不需要做其他修改。圖4計(jì)算了在不同誤差下軸向變形隨著軸向力的變化曲線，可以發(fā)現(xiàn)，不同誤差的曲線起點(diǎn)不一樣，這是因?yàn)楫?dāng)誤差為正值時(shí)，滾珠與滾道是過(guò)盈配合，滾珠之間緊密貼合，受軸向力后滾珠間沒(méi)有剛體位移，整體軸向變形為滾珠間的相對(duì)變形與滾珠滾道的相對(duì)變形的疊加；當(dāng)誤差為負(fù)值時(shí)，滾珠與滾道是間隙配合，整個(gè)滾珠絲杠副的軸向變形由滾珠與滾珠間的剛體位移以及相對(duì)變形與滾珠和滾道的相對(duì)變形疊加而成。因此，對(duì)于負(fù)值誤差的曲線必然比正值誤差的曲線要高，隨著加載，滾珠之間受擠壓后逐漸貼合在一起，剛體位移逐漸消失，在線彈性小變形假設(shè)下，整個(gè)結(jié)構(gòu)的軸向變形的變化就趨于穩(wěn)定。圖5計(jì)算了在不同誤差下隨著徑向力的變化引起的徑向變形的變化，圖5的曲線趨勢(shì)大致與圖4差不多，原因與圖4的基本相同，此處不再贅述。

圖4 軸向剛度Fig.4 Axial stiffness

圖5 徑向剛度Fig.5 Radial stiffness

3 結(jié)論

(1)基于四元數(shù)法建立了滾珠絲杠副在復(fù)合受載下滾珠與滾道的變形與載荷分布計(jì)算模型，將接觸變形中的傾轉(zhuǎn)部分表達(dá)為四元數(shù)的方式，能夠很容易計(jì)算滾珠的變形量，在構(gòu)建變形-載荷分布-外載的函數(shù)關(guān)系后，可以采用牛頓迭代法求解。

(2)針對(duì)不同的載荷形式，分別對(duì)比了本文算法以及MESYS的結(jié)果，兩者基本吻合；考慮不同誤差的情況下，通過(guò)將誤差量疊加到變形上的方式，計(jì)算了滾珠絲杠副分別受軸向力與徑向力逐漸加載的軸向變形以及徑向變形；以上算例表明了本文算法的正確性以及適應(yīng)性。