一道向量試題的多角度探析

陳 余，龍佳慧，李林春

(貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴州貴陽(yáng)，550025)

1 試題呈現(xiàn)

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2 試題立意分析

2.1 考查基礎(chǔ)知識(shí)立意

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》要求學(xué)生理解平面向量的幾何意義和代數(shù)意義；掌握平面向量的概念、加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算和平面向量的基本定理以及平面向量的應(yīng)用；能夠使用向量語(yǔ)言、方法對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行表述，同時(shí)可以運(yùn)用向量的相關(guān)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)生活、物理或數(shù)學(xué)中的問(wèn)題[1].本題綜合考查了平面向量、函數(shù)、不等式等內(nèi)容，與《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》的要求具有一致性.

2.2 考查思想方法立意

向量作為數(shù)與形之間的關(guān)鍵紐帶，能夠融數(shù)、形于一體，涉及的知識(shí)面較廣.向量通常與不等式、函數(shù)等整合解題，尤其在解決向量參數(shù)取值范圍這類題目時(shí)，經(jīng)常借助函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.本題重點(diǎn)考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想以及函數(shù)與方程思想.

3 解法探析

解法1坐標(biāo)法+線性規(guī)劃

如圖1：以B為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，BA所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系[2]，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y).

圖1 坐標(biāo)法+線性規(guī)劃

則A(0,1),B(0,0),C(2,0),D(2,1),

∵直線BD與圓相切，

∴直線l與圓有公共點(diǎn)，即圓心C到直線l的距離d≤r，

評(píng)析：本解法通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，從代數(shù)角度分析，將向量參數(shù)取值范圍的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題.但是此類題型中有些約束條件會(huì)比較復(fù)雜，難以求解可行域，導(dǎo)致求解目標(biāo)函數(shù)范圍時(shí)計(jì)算量偏大，效率不高.

解法2判別式法

化簡(jiǎn)得：25x2-20(z+3)x+20z2-40z+84=0.

由解法1得：直線與圓有交點(diǎn)，方程有解，

∴z2-4z+3≤0，

∴1≤z≤3，

∴λ+μ≤3，故選A.

評(píng)析：本解法由解法1中直線與圓有交點(diǎn)得到啟發(fā)——利用判別式法求解.但在把直線方程代入圓方程求解△的過(guò)程中，計(jì)算量較大，容易出錯(cuò).

解法3參數(shù)方程(三角換元法)

∵-1≤sin(φ-θ)≤1，

∴1≤sin(φ-θ)+2≤3，即1≤λ+μ≤3，故選A.

評(píng)析：本解法利用向量的特殊性，將幾何與代數(shù)進(jìn)行巧妙轉(zhuǎn)化，為函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用奠定基礎(chǔ)，本題借助圓的參數(shù)方程、輔助角公式及三角函數(shù)的有界性進(jìn)行求解，巧妙地突破了本題的難點(diǎn)，過(guò)程與解法1、2相比更加簡(jiǎn)潔，便于學(xué)生理解.

解法4等面積法+橢圓參數(shù)方程

如圖2：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BD,交BD于點(diǎn)E,連接CE，

圖2 等面積法+橢圓參數(shù)方程

由等面積法得：

BC·CD=BD·CE，

∴sin(θ+φ)+2≤1+2=3，∴λ+μ≤3，故選A.

評(píng)析：在求解圓的半徑過(guò)程中，本解法區(qū)別于解法1中利用“點(diǎn)到直線的距離公式”，而是采用等面積法，過(guò)程更加直觀、算法更加簡(jiǎn)潔.然后綜合運(yùn)用橢圓的參數(shù)方程、輔助角公式及正弦函數(shù)的有界性進(jìn)行求解，雖涉獵的知識(shí)領(lǐng)域較廣，但是便于理解，計(jì)算量較小.

解法5等和線法

補(bǔ)充：平面向量共線表達(dá)：

如圖3，當(dāng)且僅當(dāng)P點(diǎn)與E點(diǎn)重合時(shí)，λ+μ=1

圖3 等和線法

當(dāng)P點(diǎn)位于其他位置時(shí)，

∴λ+μ=k(x+y),又∵E′、B、D三點(diǎn)共線，∴x+y=1，∴λ+μ=k，

所以需要做一個(gè)三角形與△ABD相似，并且相似比為k,并且經(jīng)過(guò)P點(diǎn)，如圖3所示，所以λ+μ=k>1,

∴k最大時(shí)，λ+μ最大，即平移B′D′使之與圓相切于另一邊時(shí)最大，此時(shí)△AB″D″與△ABD的相似比為3.

∴k最大為3，∴(λ+μ)max=kmax=3，故選A.

評(píng)析：本解法借助等和線法找出參數(shù)取最大值時(shí)圓與直線的位置關(guān)系，根據(jù)三點(diǎn)共線巧妙地構(gòu)造平行線，再利用三角形的相似比得出結(jié)果.此方法具有技巧性、過(guò)程簡(jiǎn)潔，有利于學(xué)生解決此類復(fù)雜題型.

4 一題多變——多題一解

4.1 改變形狀

解析：∵O是三角形ABC的外心，

∴O在三角形的內(nèi)部，假設(shè)該銳角三角形的外接圓的半徑為1，

∴λ+μ<-1或λ+μ>1，如果λ+μ>1，則O應(yīng)該在三角形外部，

∴該三角形不是銳角三角形，與已知矛盾，則λ+μ<-1.

評(píng)析：本題僅僅將題目圖形改成平行四邊形，這樣更改之后的題目不適合使用建系進(jìn)行處理，但是從等和線法的角度可以進(jìn)行巧妙、快速的求解；本題的變式更加深入地表現(xiàn)了平面向量基本定理以及幾何意義和數(shù)形結(jié)合等基本方法和基本思想，更具有選拔功能.

解析：如圖4，延長(zhǎng)AF、DE交于點(diǎn)M，延長(zhǎng)AB、DC交于點(diǎn)N，則四邊形AMDN為菱形，當(dāng)P點(diǎn)位于邊界CE上時(shí)，λ+μ取最小值，

圖4

故此時(shí)λ+μ=3，即λ+μ的最小值為3.

4.2 改變形狀、條件及所求

解法2因?yàn)轭}目沒(méi)有特別說(shuō)明△ABC是什么三角形，所以不妨設(shè)為等腰直角三角形，則立刻變?yōu)榫€性規(guī)劃問(wèn)題，可快速求解(解法略).

( )

解析：(坐標(biāo)法+三角函數(shù))如圖5所示，以O(shè)為原點(diǎn)，OA、OB所在直線為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系.

圖5

解析：建立如圖6所示的直角坐標(biāo)系.

圖6

則A(-1，-1)，B(1，-1)，C(1，1)，D(-1，1)，

解析：如圖7，以A為原點(diǎn)，AB、AD所在直線為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系.

圖7

則A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1).

化簡(jiǎn)得：(x-1)2+(y-2)2=2.

得x=λ，y=μ，所以λ2+μ2=x2+y2表示圓(x-1)2+(y-2)2=2上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，其最大值等于圓心(1,2)到原點(diǎn)的距離加上半徑的平方，即

5 教學(xué)建議

一題多解是教師在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中常用的手段和方式，對(duì)教師而言，一題多解既可以幫助教師提升解題能力，為啟發(fā)學(xué)生思考提供思路，也可以深入挖掘題目中涉及的基本知識(shí)、基本思想、數(shù)學(xué)模型等.對(duì)學(xué)生而言，一題多解可提升數(shù)學(xué)思維的靈活性和發(fā)散性，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，進(jìn)一步提升分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.一題多解不是教學(xué)的目的，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的有效途徑，變式和推廣還可發(fā)散學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).教師在教學(xué)中應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生多角度思考、分析問(wèn)題，關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性，滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).