例析含參數(shù)的一元一次方程問(wèn)題

唐崇明

在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常遇到系數(shù)用字母來(lái)表示的一元一次方程，這樣的方程我們稱之為含字母系數(shù)的方程，也叫“含參方程”。這類(lèi)問(wèn)題題型多變，富有思考性。下面就讓我們一起探究此類(lèi)問(wèn)題吧！

類(lèi)型一 利用方程的定義求參數(shù)的值

例1 已知（k-2）x[k-1]=3是關(guān)于x的一元一次方程，則k的值為 。

【解析】根據(jù)一元一次方程的定義可知：一元一次方程只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1，未知數(shù)的系數(shù)不等于0，而且方程必須是整式方程。

解：由題意知[k-2≠0，k-1=1，]解得k=-2。

類(lèi)型二 利用方程解求參數(shù)的值

例2 已知關(guān)于x的方程3a（x+5）=6x+1無(wú)解，求a的值。

【解析】解決本題需先將方程轉(zhuǎn)化為“ax=b”的形式，當(dāng)a=0且b≠0時(shí)，此方程無(wú)解。

解：原方程可化為（3a-6）x=1-15a。

因?yàn)樵匠虩o(wú)解，所以[3a-6=0，1-15a≠0，]

解得a=2。

問(wèn)題拓展 已知關(guān)于x的方程a（2x+b）=12x+6有無(wú)數(shù)多個(gè)解，求a、b的值。

【解析】參照上題的思路，解決本題需先將方程轉(zhuǎn)化為“ax=b”的形式，當(dāng)a=0且b=0時(shí)，此方程有無(wú)數(shù)多個(gè)解。

解：原方程可化為（2a-12）x=6-ab。

因?yàn)樵匠逃袩o(wú)數(shù)多個(gè)解，

所以[2a-12=0，6-ab=0，]解得[a=6，b=1。]

類(lèi)型三 利用兩個(gè)方程解之間的關(guān)系求參數(shù)的值

例3 已知關(guān)于x的方程[2x-a3][-x-a2]=x-1與方程3（x-2）=4x-5的解相同，求a的值。

【解析】對(duì)于此類(lèi)兩個(gè)方程具有相同解的問(wèn)題，我們一般有如下的兩種思路來(lái)解決：第一種思路，先將第二個(gè)方程解出來(lái)，將求得的解代入第一個(gè)方程，求出參數(shù)a的值；第二種思路，分別將兩個(gè)方程解出來(lái)，由于兩個(gè)方程具有相同的解，可以得到關(guān)于參數(shù)a的方程，從而求出a的值。

解法一：解方程3（x-2）=4x-5，得x=-1。

因?yàn)閮蓚€(gè)方程的解相同，所以，

將x=-1代入[2x-a3][-x-a2]=x-1，

得[-2-a3][--1-a2]=-1-1，

解得a=-11。

解法二：解方程3（x-2）=4x-5，得x=-1。

解方程[2x-a3][-x-a2]=x-1，

得x=[6+a5]。

因?yàn)閮蓚€(gè)方程的解相同，

所以[6+a5]=-1，解得a=-11。

問(wèn)題拓展 兩個(gè)關(guān)于x的方程分別是2（x-1）=3m-1與3x+2=-2（m+1），它們的解互為相反數(shù)，求m的值。

【解析】對(duì)于此題，我們可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)方程中均含有參數(shù)m，同時(shí)這兩個(gè)解互為相反數(shù)，因此利用例3的第二種思路解決此題較為簡(jiǎn)單。首先分別用含有m的代數(shù)式表示出兩個(gè)方程的解，再根據(jù)解互為相反數(shù)，可以得到兩個(gè)解的和為0。

解：解方程2（x-1）=3m-1，得x=[3m+12]。

解方程3x+2=-2（m+1），得x=[-2m+43]。

因?yàn)閮蓚€(gè)方程的解互為相反數(shù)，

所以[3m+12]+（[-2m+43]）=0，

解得m=1。

類(lèi)型四 利用方程的整數(shù)解求參數(shù)的值

例4 已知方程x=6-mx是關(guān)于x的一元一次方程，當(dāng)m取什么整數(shù)時(shí)，方程的解為正整數(shù)？

【解析】此類(lèi)方程的解為正整數(shù)，首先應(yīng)用含有m的代數(shù)式來(lái)表示方程的解，然后根據(jù)解為正整數(shù)以及m為整數(shù)這兩個(gè)條件，可以得知解中的分母是分子的正約數(shù)，最后得出m的值。

解：整理方程，得（m+1）x=6，

所以x=[6m+1]。

因?yàn)閤為正整數(shù)，且m為整數(shù)，

所以m+1是6的正約數(shù)，則m+1=1、2、3、6，即m=0、1、2、5。

類(lèi)型五 利用方程的錯(cuò)解求參數(shù)的值

例5 小明解關(guān)于x的方程[3x-25]=[x-a10]-2去分母時(shí)，方程右邊的-2沒(méi)有乘10，求得的解為x=[15]，試求出方程正確的解。

【解析】對(duì)于此類(lèi)題型，我們首先要將錯(cuò)解代入寫(xiě)錯(cuò)的方程中，然后求出待定字母的值，再將求得的待定字母的值代入原方程，求出方程正確的解。

解：根據(jù)題意，得x=[15]是方程10×（[3x-25]）=10×[x-a10]-2的解，

所以2×（3×[15]-2）=（[15]-a）-2，

解得a=1。

解方程[3x-25]=[x-110]-2，得x=[-175]。

所以方程正確的解為x=[-175]。

總之，在解決含有參數(shù)的一元一次方程的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，同學(xué)們需要認(rèn)真研讀題目，把握題意，針對(duì)問(wèn)題的核心，將對(duì)應(yīng)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的方程，最終得出答案。

（作者單位：江蘇省建湖縣秀夫初級(jí)中學(xué)）