F3上一類極化碼的性質(zhì)

高俊杰,李秀麗

青島科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 山東 青島 266061

極化碼[1]是目前唯一在理論上能達(dá)到香農(nóng)極限的編碼方案。經(jīng)過信道合成和信道分裂,隨著碼長的增加,分裂后的信道要么成為信道容量趨于1的無噪信道要么成為信道容量趨于0的純噪信道。信道極化是一個(gè)普遍現(xiàn)象,不局限于某個(gè)特定矩陣[2]。階數(shù)較高的矩陣極化速率更快,相應(yīng)的信道也具有更好的可靠性和極化率。高階核矩陣下的極化編碼構(gòu)造成為一個(gè)重要的研究方向。

1 預(yù)備知識

設(shè)W是q元輸入離散無記憶信道,輸入集為X(X=Fq),輸出集為Y。記為:W:X→Y。

定義1:q元輸入信道W:X→Y的對稱容量:

定義2:q元輸入信道W的巴特查里亞參數(shù)(巴氏參數(shù)):

上述公式均使用以q為底的對數(shù),因此有0≤I(W)≤1,0≤Z(W)≤1。

定義3:信道WN的轉(zhuǎn)移概率:

表示由向量gi+1,…,gl生成的線性空間,dH(gi,…)表示向量gi與… 間的漢明距離。

2 核矩陣的選取

最后一行元素全部非零的下三角矩陣列排列后一定不是上三角矩陣,根據(jù)核矩陣可以發(fā)生極化的充要條件[3]知,最后一行元素全部非零的下三角可逆矩陣一定可以發(fā)生極化。下文我們選取了一個(gè)矩陣指數(shù)為0.543 6的下三角可逆核矩陣進(jìn)行了討論。

3 基于核矩陣的極化碼

合成后信道的轉(zhuǎn)移概率:

分裂后信道的轉(zhuǎn)移概率:

分裂后信道的巴氏參數(shù):

定義7:設(shè)W是一個(gè)三元離散無記憶信道。若對任意y∈Y有W(y|0)=W(y|1)=W(y|2)或W(y|0)=W(y|1)=W(y|2),則稱W是三元擦除信道。

當(dāng)W(y|0)=W(y|1)=W(y|2)時(shí),y被稱作擦除符號。W(y|0)對所有擦除符號的和稱為信道W的擦除概率。

定理1:設(shè)W是一個(gè)擦除概率為ε的三元擦除信道,則

證明:我們記W(y1|i)=ai,W(y2|i)=bi,W(y3|i)=ci其中i=0,1,2。

其中:

因此:

信道不同輸出向量不同,但輸出向量的各分量都取值于F3。根據(jù)F3中刪除符號的多少進(jìn)行分類,我們分四種情況進(jìn)行討論:

第一類:F3中的元素都是刪除符號:

依據(jù)定義有:

因?yàn)閃(0|0)+W(1|0)+W(2|0)=ε,所以在證明時(shí)我們將轉(zhuǎn)移概率寫成W(0|0),W(1|0),W(2|0)的形式。

W(2|0)+3W(0|0)W2(1|0)+3W(0|0)W2(2|0)+3W2(1|0)W(2|0)+3W2(1|0)W(2|0)

=[W(0|0)+W(1|0)+W(2|0)]3=ε3。

所以當(dāng)F3里面的元素全是刪除符號時(shí):

第二類:F3中的元素只有兩個(gè)是刪除符號:記兩個(gè)刪除符號一個(gè)是x,一個(gè)是y,非刪除符號為z。

因?yàn)閃(x|0)+W(y|0)=ε,所以在證明時(shí)我們將轉(zhuǎn)移概率寫成W(x|0),W(y|0)的形式。

=[W(x|0)+W(y|0)]3+[W(x|0)+W(y|0)]2=ε3+ε2，

第三類:F3中的元素只有一個(gè)刪除符號:記刪除符號是x,非刪除符號是y,z。

根據(jù)定義有:

因?yàn)閃(x|0)=ε,所以在證明時(shí)我們將轉(zhuǎn)移概率寫成W(x|0)的形式。

第四類:F3中的元素都不是刪除符號。

4 小 結(jié)

本文在給定核矩陣的基礎(chǔ)上研究了碼長為3n的極化碼。通過信道的合成和分裂,我們探究了不同信道的迭代方法和參數(shù)性質(zhì)。在有限域F3上核矩陣更具多樣性,因此核矩陣的選擇更加的困難,相應(yīng)的計(jì)算也更加復(fù)雜。若將核矩陣的極化率與巴氏參數(shù)同時(shí)考慮,哪個(gè)核矩陣的極化率和巴氏參數(shù)能同時(shí)達(dá)到相對最優(yōu)？這個(gè)問題值得進(jìn)一步研究,但是這無疑是復(fù)雜且困難的。