二元交換算子間的弱支配關系

張麗珠,薄其高,李 鋼

齊魯工業(yè)大學(山東省科學院) 數(shù)學與統(tǒng)計學院,山東 濟南 250353

支配關系作為二元算子間的一種二元關系,首次出現(xiàn)在概率度量空間[1-2]中,與概率度量空間笛卡爾積的構造緊密相關。后來,眾多學者圍繞支配關系做了大量研究,其應用領域涉及:模糊等價關系[3,5-6]、模糊序關系[4]和模糊關系的傳遞性問題[7-10],其中涉及到三角模、三角余模[11],甚至更一般的聚合算子[12-13]間的支配關系。另外,二元算子間的支配關系與Minkowski不等式、凸函數(shù)、雙對稱性方程等都有一定的關聯(lián)[17];文獻[14-16]從理論角度研究了合取型聚合算子與析取型聚合算子間的支配關系。

文獻[17]引入了二元算子間的弱支配關系,可以看作是支配關系的一種推廣。另一方面,弱支配關系也可以看作模態(tài)方程[18-19]的不等式推廣,其中模態(tài)方程與一些結合性方程有關,在模糊理論中有著廣泛應用。注意到文獻[17]僅給出了嚴格三角模之間弱支配關系的初步結果。因此,對于更一般算子的弱支配關系研究需要更多的關注。

本文主要討論二元交換算子弱支配關系的性質(zhì),結構如下:第一節(jié)給出聚合算子的基本定義及結論;第二節(jié)證明了弱支配關系在對偶及同構情況下保持不變;第三節(jié)討論了二元交換算子的單位元、吸收元對弱支配關系的影響,另外,給出了三角模、三角余模、可表示一致模之間的弱支配關系相關結論。

1 預備知識

本節(jié)我們回顧一些關于聚合算子的相關定義及結論。

定義1:若A:[0,1]2→[0,1]是一個遞增的映射,并且滿足邊界條件A(0,0)=0,A(1,1)=1,則稱A為二元聚合算子。若對于任意x1,x2∈[0,1],聚合算子A滿足:

(1)A(x1,x2)≤min(x1,x2),則稱A為合取的;

(2)A(x1,x2)≥max(x1,x2),則稱A為析取的。

定義2:若一元算子n:[0,1]→[0,1]是遞減的,且n(0)=1,n(1)=0,則稱n為否定。如果否定n是嚴格遞減且連續(xù),則稱n為嚴格否定。進一步,如果否定n是對合的,即對所有的x∈[0,1],有n(n(x))=x,那么稱n為強否定。強否定:n(x)=1-x,?x∈[0,1],被稱為標準否定。

定義3:設F:[0,1]2→[0,1]是一個二元算子。

(1)設n為強否定。對于任意的x,y∈[0,1],由F*(x,y)=n(F(n(x),n(y)))定義的F:[0,1]2→[0,1]稱為F的n-對偶。

(2)設φ:[0,1]→[0,1]是一個雙射,稱Fφ(x,y)=φ-1(F(φ(x),φ(y))),?x,y∈[0,1],為F的φ同構。

注1:若F是聚合算子,那么F*,Fφ也是聚合算子。

定義4:若二元算子T(S):[0,1]2→[0,1],滿足:

(1) 結合性:T(x,T(y,z))=T(T(x,y),z);

(2) 交換性:T(x,y)=T(y,x);

(3)單調(diào)性:當y≤z,有T(x,y)≤T(x,z);

(4)邊界條件:T(x,1)=x(S(x,0)=x)。

則稱T(S)為三角模(三角余模)。

從以上定義可知,三角模和三角余模具有不同的邊界條件。事實上,三角模和三角余模在某種意義上是對偶的。

三角模、三角余模作為聚合算子存在一定的缺陷,文獻[20]給出了它們的推廣形式。

定義5:若二元算子U:[0,1]2→[0,1],滿足結合性、交換性、關于每個變元遞增且存在單位元e∈[0,1],即對于任意x∈[0,1],使得U(e,x)=x,則稱U為一致模。在單位元e=0或e=1的情況下,一致模U就變?yōu)槿悄；蛉怯嗄！?/p>

接下來,讓我們回顧一下幾類常見一致模。

定理1.1:設U為具有單位元e∈]0,1[的一致模,并且除e點外,x→U(x,0)和x→U(x,1)是連續(xù)的。

(1)若U(0,1)=0,那么

(2)若U(0,1)=1,那么

其中,T是三角模,S是三角余模。形如公式(1)中的一致模類記為Umin,形如公式(2)中的一致模類記為Umax。

定義6:設e∈]0,1[。若存在一個連續(xù)嚴格遞增的函數(shù)h:[0,1]→[-∞,+∞],且h(0)=-∞,h(e)=0,h(1)=+∞,使得二元算子U:[0,1]2→[0,1]滿足:任意(x,y)∈[0,1]2{(0,1),(1,0)},有U(x,y)=h-1(h(x)+h(y)),U(1,0)=U(0,1)∈{0,1}。則稱U為可表示一致模,函數(shù)h稱為U的加法生成子。

文獻[21]給出了三角模、三角余模的另外一種推廣形式。

定義7:若二元算子F:[0,1]2→[0,1],滿足結合性、交換性、關于每個變元遞增且存在吸收元k∈[0,1],使得:

(1)對于任意x∈[0,1],F(k,x)=k,

(2)?x≤k,F(x,0)=0;?x≥k,F(x,1)=x，

則稱F為零模，當k=0時,我們得到三角模,當k=1時,我們得到三角余模。

接下來,讓我們回顧一下零模的一般結構。

定理1.2:設F:[0,1]2→[0,1]是零模,且F(1,0)=k≠0,1。那么F具有如下結構:

其中,T是三角模,S是三角余模。

現(xiàn)在我們回顧一下支配關系和弱支配關系的定義。

定義8:設F,G為定義在單位區(qū)間[0,1]上的二元算子。對于任意x1,x2,y1,y2∈[0,1],

F(G(x1,y2),G(x2,y1))≤G(F(x1,x2),F(y1,y2))，

(4)

稱G支配F,記為F?G。

對于任意x1,x2,y1∈[0,1],

F(x1,G(x2,y1))≤G(F(x1,x2),y1)，

(5)

稱G弱支配F,記為F<

注2:設F,G為具有共同單位元e的二元算子。若F<

2 對偶及同構意義下的弱支配關系

本節(jié),我們討論了弱支配關系在對偶及同構意義下的變化規(guī)律。

定理2.1:設F,G:[0,1]2→[0,1]為二元交換算子,F*和G*分別為它們的n-對偶。則F<

證明:設交換算子F<

G*(x1,F*(x2,y1))=n(G(n(x1),n(F*(x2,y1))))

=n(G(n(x1),n(n(F(n(x2),n(y1))))

=n(G(n(x1),F(n(x2),n(y1))))

=n(G(F(n(x2),n(y1)),n(x1)))

≤n(F(n(y1),G(n(x2),n(x1))))

=n(F(n(y1),n(G*(x2,x1))))

=F*(y1,G*(x2,x1))

=F*(G*(x1,x2),y1)。

因此,G*<

反之,因為(F*)*=F,(G*)*=G,所以結論成立。

定理2.2:設F,G:[0,1]2→[0,1]為二元算子,φ是一個雙射,Fφ,Gφ分別為它們的φ同構。

(1) 若φ是遞增的,則F<

(2)若φ是遞減的,則F<>Gφ。

證明:(1)設二元算子F<

Fφ(x1Gφ(x2,y1))=φ-1(F(φ(x1),φ(Gφ(x2,y1))))

=φ-1(F(φ(x1),φ(φ-1)(G(φ(x2),φ(y1))))

=φ-1(F(φ(x1),G(φ(x2),φ(y1))))

≤φ-1(G(F(φ(x1),φ(x2)),φ(y1)))

=φ-1(G(φ(φ-1(F(φ(x1),φ(x2))))),φ(y1)

=φ-1(G(φ(Fφ(x1,x2)),φ(y1)))

=Gφ(Fφ(x1,x2),y1)。

(2)若φ是遞減的,證明與(1)相似。

定理2.3:設F=(〈ai,bi,Fi〉)i∈I和G=(〈ai,bi,Gi〉)i∈I為如下定義的序和:

其中Fi,Gi均為合取聚合算子。則F<

反之,設Fi<

(ii)x2=min(x1,x2,y1)且x2∈[ai,bi],y1∈[ai,bi],i∈I。有y1>bi,G(x2,y1)=min(x2,y1)=x2,

F(x1,G(x2,y1))=F(x1,x2)=min(F(x1,x2),y1)=G(F(x1,x2),y1)。

(iii)x2=min(x1,x2,y1)且x2∈[ai,bi],?i∈I。有F(x1,x2)=min(x1,x2)=x2,G(x2,y1)=min(x2,y1)=x2。所以,F(x1,G(x2,y1))=F(x1,min(x2,y1))=F(x1,x2)=x2=G(x2,y1)=G(min(x1,x2),y1)=G(F(x1,x2),y1)。

(v)x1=min(x1,x2,y1)且x1∈[ai,bi],x2∈[ai,bi],i∈I。有F(x1,x2)=min(x1,x2)=x1。

若y1∈[ai,bi],F(x1,G(x2,y1))=F(x1,G(bi,y1))≤G(F(x1,bi),y1))=G(F(x1,x2),y1)。

若y1>bi,F(x1,G(x2,y1))≤x1=G(x1,y1)=G(F(x1,x2),y1)。

(vi)x1=min(x1,x2,y1)且x1∈[ai,bi],?i∈I。有

F(x1,G(x2,y1))=min(x1,G(x2,y1))≤x1=G(x1,y1)=G(min(x1,x2),y1)=G(F(x1,x2),y1)。

(vii)y1=min(x1,x2,y1),i∈I。證明與(i)、(ii)、(iii)類似。

3 交換二元算子間的弱支配關系

本節(jié)我們主要討論二元交換算子弱支配關系的一些性質(zhì),并給出三角模、三角余模、一致模弱支配關系的相關結論。

對于具有吸收元的二元交換算子間的弱支配關系,我們有如下結論成立。

定理3.1:設F,G:[0,1]2→[0,1]為二元交換算子,分別具有吸收元k,f。若F<

證明:設交換算子F<f,令(5)中x1=k,y1=f,得F(k,G(x2,f))≤G(F(k,x2),f)。根據(jù)條件知F(k,x)=k,G(f,x)=f,我們得到k≤G(k,f)=f,與假設矛盾。因此k≤f。

推論3.1:設F和G為零模,分別具有吸收元k1,k2。若k1>k2,那么F<

例1:設F和G為如下定義的零模,它們的吸收元k1=0.6,k2=0.4,

令(5)中x1=0.6,y1=0.4,得F(0.6,G(x2,0.4))≤G(F(0.6,x2),0.4),即0.6≤0.4,矛盾,所以F<

推論3.2:設F和G為一致模,F(0,1)=F(1,0)=k1,G(0,1)=G(1,0)=k2。若k1>k2,那么F<

證明:首先,我們證F(x,F(0,1))=F(x,F(1,0))=F(0,1),G(x,G(0,1))=G(x,G(1,0))=G(0,1)成立,即k1,k2分別為F和G的吸收元。根據(jù)一致模的結構,我們分以下兩種情況證明:設e為F和G的單位元,

(1)x≤e

F(x,F(0,1))=F(x,F(1,0))=F(F(x,0),1)=F(0,1),G(x,G(0,1))=G(x,G(1,0))=G(G(x,0),1)=G(0,1)。

(2)x≥e

F(x,F(1,0))=F(x,F(0,1))=F(F(x,1),0)=F(1,0),G(x,G(1,0))=G(x,G(0,1))=G(G(x,1),0)=G(1,0)。

根據(jù)定理3.1知推論成立。

例2:設F和G為如下定義的二元算子:

根據(jù)定理1.1可知,F和G為一致模且F∈Umax,G∈Umin,F(0,1)=F(1,0)=1,G(0,1)=G(1,0)=0。

令(5)中x1=0.6,y1=0.5,得F1(0.6,F2(x2,0.5))≤F2(F1(0.6,x2),0.5),即0.6≤0.5,矛盾,所以F<

定理3.2:設F,G:[0,1]2→[0,1]為二元交換、遞增算子。

(1)若F≥Max,G≤Min,則G弱支配F不成立;

(2)設任意x∈[0,e],有G(e,x)=G(x,e)=x,F(e,e)=e。若F<

(3)設任意x∈[e,1],有F(e,x)=F(x,e)=x,G(e,e)=e。若F<

證明:(1) 設F≥Max,G≤Min。對于任意x1,x2,y1∈[0,1],且y1

F(x1,G(x2,y1))≥max(x1,G(x2,y1))≥x1>y1≥min(F(x1,x2),y1)≥G(F(x1,x2),y1),

對比(5),知G弱支配F不成立。

(2)假設對于任意x∈[0,e],有G(e,x)=G(x,e)=x,F(e,e)=e。令(5)中x1=x2=e,y1≤e,有F(e,G(e,y1))≤G(F(e,e),y1)。通過假設條件得,F(e,y1)≤G(e,y1)=y1。令(5)中x2=e,y1≤x1≤e,有F(x1,G(e,y1))≤G(F(x1,e),y1),根據(jù)F的交換性及G的單調(diào)性,F(x1,y1)≤G(x1,y1)。根據(jù)算子F,G的交換性,對于任意x1,y1≤e,有F(y1,x1)≤G(y1,x1)。因此在[0,e]2上,F≤G。

(3)假設對于任意x∈[e,1],有F(e,x)=F(x,e)=x,G(e,e)=e。令(5)中x2=y1=e,e≤x1,有F(x1,G(e,e))≤G(F(x1,e),e)。通過假設條件得,x1=F(x1,e)≤G(x1,e)。令(5)中x2=e,e≤y1≤x1,有F(x1,G(e,y1))≤G(F(x1,e),y1),根據(jù)G的交換性及F的單調(diào)性,F(x1,y1)≤G(x1,y1)。根據(jù)算子F,G的交換性,對于任意x1,y1≥e,有F(y1,x1)≤G(y1,x1)。因此在[e,1]2上,F≤G。

對于三角模和三角余模的弱支配關系有如下結論。

引理3.1:設F,G為具有共同單位元e∈[0,1]的二元算子。若F<

證明:令(5)中x2=e,得F(x1,G(e,y1))≤G(F(x1,e),y1),即F(x1,y1)≤G(x1,y1)。所以F≤G。

定理3.3:設F,G為二元交換算子。

(1)設F和G均為三角模。若F<

(2)設F和G為三角余模。若F<

(3)設F和G分別為三角模和三角余模。若G=SM,那么F<

(4)設F和G分別為三角余模和三角模,那么F<

證明:(1) 根據(jù)引理3.1可得F≤G。

(2)根據(jù)引理3.1可得F≤G。

(3)對于任意x1,x2,y1∈[0,1],分以下兩種情況證明:

若x2≤y1,那么SM(F(x1,x2),y1)=max(F(x1,x2),y1)=y1≥F(x1,y1)=F(x1,SM(x2,y1))。

若x2>y1,那么SM(F(x1,x2),y1)=max(F(x1,x2),y1)≥F(x1,x2)=F(x1,SM(x2,y1))。

因此結論成立。

(4)令(5)中x2=0,x1≤y1,得F(x1,G(0,y2))≤G(F(x1,0),y2),即x1≤G(x1,y1)。又因為任意三角模G≤TM,所以G(x1,y1)=min(x1,y1)。根據(jù)G的交換性,知G=TM。令(5)中x2=1,x1≤y1得F(x1,G(1,y1))≤G(F(x1,1),y1),即F(x1,y1)≤y1。又因為F≥SM,所以F(x1,y1)=max(x1,y1)。根據(jù)F的交換性,知F=SM。

現(xiàn)在,我們討論可表示一致模之間的弱支配關系。

證明:若U1>>U2,即對于任意x1,x2,y1∈[0,1],有

U2(x1,U1(x2,y1))≤U1(U2(x1,x2),y1)。

(6)

如果h1,h2分別為U1,U2的加法生成子,對于x1,x2,y1∈]0,1[,(6)可表示為

反之,若函數(shù)g是凸的,證明(6)成立。若x1,x2,y1∈{0,1},則根據(jù)U1(1,0)=1,U2(1,0)=0知

U2(x1,U1(x2,y1))≤U1(U2(x1,x2),y1)

成立。若x1,x2,y1∈]0,1[,則根據(jù)上面的證明,易得(6)成立。

所以,結論成立。

4 結 論

本文主要研究了二元算子間的弱支配關系。我們證明了在同構及對偶意義下,弱支配關系是保持不變的;分析了二元算子的單位元(吸收元)之間的序關系對算子間弱支配關系的影響;得到三角模、三角余模、可表示一致模弱支配關系的相關結論。