四元數(shù)Hermitian張量的特征值反問題及最佳逼近

白 瑞,黃敬頻

(廣西民族大學 數(shù)學與物理學院,廣西 南寧 530006)

0 引 言

四元數(shù)在人臉識別及數(shù)學基礎理論研究均有重要作用[1-2].張量(也稱超矩陣)在醫(yī)療診斷及圖像處理等領域有重要作用[3-5].1995年文獻[6]闡述了實數(shù)域和復數(shù)域上有關(guān)矩陣特征值反問題的研究進展;2016年文獻[7]討論了自共軛四元數(shù)循環(huán)矩陣的特征值反問題;2005年祁力群教授在文獻[8]提出了超對稱張量特征值的概念;2019年文獻[9]利用Moore-Penrose廣義逆討論了四元數(shù)代數(shù)上Sylvester張量方程的可約解;2021年文獻[10] 基于Einstein積討論了復數(shù)域上關(guān)于張量的特征值反問題.然而,關(guān)于四元數(shù)體上具有結(jié)構(gòu)張量的特征值反問題目前未見相關(guān)的研究報道,針對這一情況,本文提出四元數(shù)Hermitian張量的反特征值與最佳逼近問題.

定義1[9]設張量A=(ai1…iMj1…jN)∈I1×…×IM×J1×…×JN,B=(bj1…jNk1…kP)∈J1×…×JN×K1×…×KP，則稱為A與B的Einstein積.

定義2設張量A∈I1×…×IM×I1×…×IM,若存在λ∈及非零張量X∈I1×…×IM,使得

A*MX=Xλ(或A*MX=λX),

則稱λ為A的右(或左)特征值,而X稱為A的屬于特征值λ的右(或左)特征張量.

定義3[14]建立張量A到矩陣A的1-1映射f:SI1,I2,…,IN,J1,J2,…,JN()→TI1I2…IN,J1J2…JN(),其分量對應關(guān)系為

則稱f是張量A的轉(zhuǎn)換算子,記作f(A)=A.

本文具體提出并討論如下兩個問題:

問題1給定s個四元數(shù)張量特征對(Xi,λi),其中Xi∈I1×…×IM,λi∈,i=1,2,…,s且求張量使得:

B*MXi=Xiλi,i=1,2,…,s

(1)

問題2設問題1的解集σ非空,M∈I1×…×IM×I1×…×IM是給定的張量,在σ中求四元數(shù)張量使得:

(2)

1 問題1的解

為說明問題1的合理性,首先證明任意一個四元數(shù)Hermitian張量的特征值均為實數(shù).對此,先給出下面兩個引理.

引理1[2]設A=A*∈n×n是四元數(shù)自共軛矩陣,則存在四元數(shù)酉矩陣U使得UAU*=diag(c1,c2,…,cn),其中ci∈,i=1,2,…,n是A的n個實特征值.

引理2設張量A=A*∈I1×I2×…×IN×I1×I2×…×IN是四元數(shù)Hermitian張量,則存在四元數(shù)酉張量U使得:

U*NA*NU*=Z

(3)

其中張量Z=(zi1i2…iNj1j2…jN)∈I1×I2×…×IN×I1×I2×…×IN的元素為:

(4)

證明設張量A的轉(zhuǎn)換矩陣A=f(A),由A=A*及算子f的性質(zhì)可知A=A*是自共軛矩陣[2].由引理1,存在四元數(shù)酉矩陣U使得:

A=U*ZU=U*diag(c1,c2,…,cg)U

f-1(A)=f-1(U*ZU)=f-1(U*)*Nf-1(Z)*Nf-1(U)

?A=U**NZ*NU?U*NA*NU*=Z,

其中:U=f-1(U)是四元數(shù)酉張量,Z=f-1(Z)是形如(4)的實張量.證畢.

a1111=1,a1121=-k,a1112=-i,a1122=j,a2111=k,a2121=1,a2112=-2j,a2122=i,
a1211=i,a1221=2j,a1212=7,a1222=-k,a2211=-j,a2221=-i,a2212=k,a2222=1.

則由定義3及自共軛四元數(shù)矩陣的酉對角分解可得：

這里U∈4×4是一個四元數(shù)酉矩陣,Z=diag(1,-1,2,8).于是由轉(zhuǎn)換算子f的逆算子可得A=f-1(U*)*2f-1(Z)*2f-1(U),其中U=f-1(U)∈2×2×2×2是一個酉張量,其元素為:

又因為：

所以，實張量Z=f-1(Z)=(zi1i2j1j2)∈2×2×2×2的元素為:

根據(jù)引理2可知,四元數(shù)Hermitian張量的特征值全為實數(shù).對問題1所給的s個四元數(shù)張量特征對(Xi,λi),記:

X=[X1,X2,…,Xs]∈I1×I2×…×IM×s,D=[X1λ1,X2λ2,…,Xsλs]∈I1×I2×…×IM×s

(5)

于是關(guān)于問題1的解可轉(zhuǎn)化為求解下列四元數(shù)張量方程:

B*MX=D,B*=B

(6)

定理1張量方程(6)的可解性等價于張量方程組：

(7)

的可解性.

證明若張量方程(6)有解,可得張量方程(7)也有解.反之,給定A為張量方程組(7)的一個解,則由[(A+A*)/ 2]*=(A+A*)/2可知,B=(A+A*)/2為Hermitian張量且滿足方程(6).證畢.

定理1表明,只要得到張量方程組(7)的一般解,就可得到問題1的解.因此，只需考慮張量方程組(7)的求解問題.

定理2設張量A1∈K1×…×KN×J1×…×JN,D1∈K1×…×KN×J1×…×JN,A2∈J1×…×JN×P1×…×PN,D2∈J1×…×JN×P1×…×PN,則張量方程組：

(8)

有解的充要條件為:

(9)

此時它的通解為:

(10)

其中V為任意張量.

證明若(8)有解X1,則由A1*NX1=D1,X1*NA2=D2可得

A1*ND2=A1*N(X1*NA2)=(A1*NX1)*NA2=D1*NA2,

可知X1包含在(10)之中.證畢.

根據(jù)定理1和定理2,可得問題1的解.

X**MD=D**MX,D*1X+*MX=D

(11)

其中X,D如(5)所示.當(11)成立時,B的通解表達式為:

(12)

證明根據(jù)定理2,立即可得張量方程組(7)有解的充要條件為(11)成立.在此條件下,張量方程組(7)關(guān)于B的通解為:

B=(X*)+*1D*+ LX**MD*1X++ LX**MY*MRX

(13)

B=(D*1X+)*+RX*MD*1X++RX*MY*MRX

(14)

其中Y為任意四元數(shù)張量.結(jié)合(14)和定理1可知,(12)即為四元數(shù)張量方程(6)的通解表達式.證畢.

證明由(5)式可令D=X*1Λ,其中Λ=diag(λ1,λ2,…,λs),則由張量內(nèi)積的定義以及X+*MRX=0,RX*MX=0,得:

(15)

2 問題2的解

為討論問題2的解,先給出下面的引理.

證明令N=L*NT-T*NL,則由L*=L,T*=-T可知N*=N,從而tr(N)=Re[tr(N)].又由文獻[2]定理4.2.10和張量內(nèi)積的定義可得Re[tr(L*NT)]=Re[tr(T*NL)],所以:

?L,T?+?T,L?=tr(L**NT)+tr(T**NL)=tr(L**NT+T**NL)=tr(L*NT-T*NL)=tr(N)=
Re[tr(N)]=Re[tr(L*NT-T*NL)]=Re[tr(L*NT)]-Re[tr(T*NL)]=0,

證畢.

于是關(guān)于問題2的解,有如下結(jié)果:

定理5設問題1的解集σ非空,M∈I1×…×IM×I1×…×IM為一給定的四元數(shù)張量,則存在Hermitian張量:

(16)

(17)

于是由(17)及張量的Frobenius范數(shù)定義得:

(18)

把問題1的通解表達式(12)代入(18)可得:

(19)

因此，由(19)可知:

(20)

(21)

3 數(shù)值算例

例2給定四元數(shù)張量如下4個特征對

則可得:

X=[X1,X2,…,Xs]∈I1×I2×…×IM×s,D=[X1λ1,X2λ2,…,Xsλs]∈I1×I2×…×IM×s.

X(:,:,1)=X1,X(:,:,2)=X2,X(:,:,3)=X3,X(:,:,4)=X4,
D(:,:,1)=X1λ1,D(:,:,2)=X2λ2,D(:,:,3)=X3λ3,D(:,:,4)=X4λ4.

利用Matlab軟件計算可得張量D:

張量X的Moore-Penrose 廣義逆為:

由于X*1X+=I,因此RX=0,這時對于任意給定的M∈2×2×2×2,問題2的最佳逼近解為

4 結(jié) 論

討論了基于Einstein積的四元數(shù)Hermitian張量的特征值反問題.對給定的s個四元數(shù)張量特征對,主要通過張量的轉(zhuǎn)換算子和張量的Moore-Penrose廣義逆,獲得問題1有解的充要條件以及通解表達式.對于最佳逼近問題2,根據(jù)張量范數(shù)的性質(zhì),得到其最佳逼近解.本文結(jié)果把四元數(shù)矩陣的特征值反問題推廣到了四元數(shù)結(jié)構(gòu)張量的特征值反問題,拓廣了四元數(shù)張量的相關(guān)結(jié)果.