復(fù)合壓電水平懸臂梁振動俘能特性試驗(yàn)及機(jī)電耦合模型研究

薛曉敏， 馬強(qiáng)力， 王佳佳

(西安交通大學(xué) 人居環(huán)境與建筑工程學(xué)院，西安 710049)

近年來，由于壓電材料優(yōu)良的機(jī)電轉(zhuǎn)換性能，其振動能量回收能力受到了極大的關(guān)注[1]。為了盡可能提高壓電振動能量回收的能力，眾多學(xué)者提出了各種提高壓電俘能效率的方案，包括研發(fā)新型壓電材料與結(jié)構(gòu)、能量收集接口電路和存儲電路優(yōu)化設(shè)計(jì)等[2-4]。針對壓電材料俘能結(jié)構(gòu)而言，最為常見的即為單、雙晶壓電陶瓷懸臂梁形式[5]。例如，F(xiàn)ang等[6]設(shè)計(jì)了一種自由端部設(shè)置鎳質(zhì)量塊的壓電陶瓷懸臂梁俘能器，可以從1g振動環(huán)境下俘獲2.16 μW的電能，且顯示振動共振頻率為609 Hz。Shen等[7]設(shè)計(jì)了類似的壓電陶瓷懸臂梁俘能器，為了降低共振頻率，在自由端部設(shè)置了硅質(zhì)量塊，平均收集功率和功率密度分別為0.32 μW和416 μW/cm3，共振頻率降低到183.8 Hz?？傮w而言，壓電懸臂梁俘能結(jié)構(gòu)振動能量回收能力還非常微弱，僅為若干毫瓦；且結(jié)構(gòu)振動主頻過高，這與環(huán)境振動頻率的低頻現(xiàn)象相互矛盾(振動環(huán)境一般一百赫茲以內(nèi)甚至更低)[8]。此外，現(xiàn)有試驗(yàn)研究主要著眼于壓電陶瓷俘能器的能量回收能力，主要關(guān)注采用何種方法或技術(shù)使得俘能器俘獲最大電能，然而，有關(guān)于力-電物理特性研究甚少涉及，實(shí)際上，機(jī)電耦合特性是振動能轉(zhuǎn)換電能的本質(zhì)內(nèi)在屬性，其深入研究對了解壓電俘能結(jié)構(gòu)的內(nèi)在特性并進(jìn)一步提高能量轉(zhuǎn)換效率至關(guān)重要。

另外，值得注意的是，俘能器的電學(xué)能量輸出與振動能量輸入的關(guān)系復(fù)雜，且隨環(huán)境振動頻率、電路阻抗、阻尼比等因素均有密切關(guān)系[9]。為清楚描述壓電懸臂梁俘能結(jié)構(gòu)機(jī)電關(guān)系，很多學(xué)者開展了相關(guān)模型研究。早期模型研究采用了集中參數(shù)下單自由度解法[10]預(yù)測壓電能量收集器耦合系統(tǒng)的動力學(xué)特性，該方法僅局限單個振動模態(tài)，無法精確描述多物理場耦合問題。作為一種改進(jìn)的方法，Sodano等[11-12]基于Euler-Bernoulli理論提出Rayleigh-Ritz離散形式可以對無限自由度分布系統(tǒng)描述為有限自由度離散系統(tǒng)。最近，Erturk等[13]改進(jìn)了雙壓電晶片懸臂模型，并找出了雙壓電晶片配置的串聯(lián)和并聯(lián)連接的閉合形式解析解，并通過與有限元仿真對比，結(jié)果顯示與解析解吻合。經(jīng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)對比顯示，以上模型驗(yàn)證可較好預(yù)測能量回收能力，即，電功率的峰值或總體均值。實(shí)際上，模型驗(yàn)證還應(yīng)該對壓電俘能器的本質(zhì)特性——機(jī)電耦合特性進(jìn)行對比驗(yàn)證，應(yīng)當(dāng)反映實(shí)際系統(tǒng)機(jī)電耦合特性的重要現(xiàn)象。唯有此，才能充分說明模型的正確性和精確性。然而現(xiàn)有模型還甚少進(jìn)行機(jī)電耦合特性試驗(yàn)驗(yàn)證，其精確性和有效性還有待于在試驗(yàn)或?qū)嶋H工程中獲得進(jìn)一步驗(yàn)證。

鑒于以上背景，本文將對壓電單晶懸臂梁俘能片的能量轉(zhuǎn)換特性進(jìn)行相關(guān)試驗(yàn)和理論研究。設(shè)計(jì)并搭建復(fù)合壓電懸臂水平梁振動電能回收電路系統(tǒng)，并在懸臂梁自由端配重質(zhì)量塊，以此改變俘能結(jié)構(gòu)振動特性。通過試驗(yàn)觀測，探討外接電路負(fù)載、激勵頻率和質(zhì)量塊質(zhì)量對俘能效率的影響規(guī)律，為壓電俘能器優(yōu)化設(shè)計(jì)提供基礎(chǔ)依據(jù)；通過試驗(yàn)觀測，探究不同加載條件下的壓電俘能系統(tǒng)的機(jī)電耦合特性及其變化，為后續(xù)模型驗(yàn)證提供重要基礎(chǔ)；以試驗(yàn)研究結(jié)果為基礎(chǔ)，提出有限元模型和機(jī)電耦合數(shù)學(xué)模型用以模擬壓電懸臂梁的能量收集重要耦合特性；最后，將仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比，驗(yàn)證了所提機(jī)電耦合數(shù)學(xué)模型的有效性。

本文的試驗(yàn)和理論研究對進(jìn)一步挖掘壓電材料振動-電能收集能力具有重要意義，為壓電俘能結(jié)構(gòu)及優(yōu)化電路設(shè)計(jì)提供重要參考。

1 壓電單晶懸臂薄梁俘能性能試驗(yàn)

PPA(piezo protection advantage)是美國美德公司以壓電陶瓷為原材料制成的商業(yè)化系列產(chǎn)品，包括作動器、傳感器、俘能器等。其中1001型號是最為典型的壓電單晶薄片的振動俘能器產(chǎn)品之一，如圖1所示。該壓電片為多種材料復(fù)合黏結(jié)而成，除壓電陶瓷外還包括聚酯、金屬銅、不銹鋼和聚酰亞胺，如表1所示。以上多種材料的復(fù)合有效改善了壓電陶瓷脆性特性并適當(dāng)提高結(jié)構(gòu)剛度。

圖1 PPA壓電俘能片實(shí)物Fig.1 PPA piezoelectric harvester patch

表1 PPA壓電俘能片結(jié)構(gòu)及參數(shù)

1.1 試驗(yàn)方法

為探究壓電俘能片的俘能特性，本文開展其懸臂梁結(jié)構(gòu)的振動能量回收電能的特性試驗(yàn)研究。試驗(yàn)裝置實(shí)物如圖2(a)所示。激振路徑為：通過信號發(fā)生器輸送激勵信號，經(jīng)功率放大器對信號放大，繼而輸入到激振器用以激振俘能片進(jìn)行電能俘能。試驗(yàn)數(shù)據(jù)測試對象包括振動應(yīng)變(懸臂梁固定端中心處)、俘獲電壓和電流，均由數(shù)據(jù)采集器進(jìn)行采集。本試驗(yàn)中采用的儀器如表2所示。

表2 壓電懸臂梁俘能試驗(yàn)儀器

1.1.1 電路設(shè)計(jì)及測試

根據(jù)電功率公式(即P=i·v，其中：v和i分別為電壓和電流；P為功率)設(shè)計(jì)振動能量俘獲電路：PPA與電阻箱串聯(lián)形成回路，數(shù)據(jù)采集器電壓通道與電阻箱并聯(lián)用以測量回路電壓，數(shù)據(jù)采集器電流通道與電阻箱串聯(lián)用以測量回路電流。根據(jù)數(shù)據(jù)采集器采集的電流和電壓即可換算得出PPA俘獲的電能功率。

1.1.2 結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及測試

在激振器頂桿通過夾具將PPA俘能片夾持，形成懸臂梁俘能器結(jié)構(gòu)，如圖2(b)所示。此外，為了探究結(jié)構(gòu)振動特性(自振頻率)的變化與電能回收能力的關(guān)系，還在懸臂梁自由端配重不同質(zhì)量的質(zhì)量塊(0，12.5 g，18.5 g和25 g)。

圖2 PPA懸臂梁振動俘能試驗(yàn)系統(tǒng)Fig.2 Test system for energy harvest from PPA cantilever

1.2 試驗(yàn)測試結(jié)果

基于1.1節(jié)試驗(yàn)系統(tǒng)，本文考慮不同的加載工況：電路負(fù)載為0～90 kΩ(間隔為5 kΩ)，簡諧激勵頻率為0～150 Hz(間隔5 Hz)，自由端配重0，12.5 g，18.75 g，25 g。典型工況(電路負(fù)載30 kΩ，激勵頻率30 Hz和配重12.5g)試驗(yàn)測試結(jié)果，如圖3所示。圖3(a)～圖3(c)為應(yīng)變、電壓和電流時程響應(yīng)，其響應(yīng)頻率均與激勵頻率一致。其中，應(yīng)變峰值1.905×10-9、電壓峰值17.99 V和電流峰值0.619 4 mA。圖3(d)～圖3(f))為特性關(guān)系曲線，其中，圖3(d)和圖3(e)顯示電壓-應(yīng)變和電流-應(yīng)變關(guān)系曲線呈現(xiàn)近似橢圓形回線，這是因?yàn)槟芰哭D(zhuǎn)換存在時滯現(xiàn)象致使應(yīng)變與電壓(電流)同頻異相導(dǎo)致的。圖3(f)顯示功率-應(yīng)變關(guān)系曲線呈現(xiàn)近似“蝴蝶形”回線，這是因?yàn)闅W姆定律導(dǎo)致應(yīng)變與功率存在倍頻關(guān)系。

需要指出的是，圖3(a)應(yīng)變幅值向上明顯偏置了0.362×10-9，為其半幅的23%。應(yīng)變的偏移導(dǎo)致電壓和電流也發(fā)生偏置，其中電壓偏置7.4%，電流偏置6.4%；以上應(yīng)變、電學(xué)響應(yīng)的偏置現(xiàn)象普遍存在于所有試驗(yàn)結(jié)果中，僅表現(xiàn)為不同工況的偏置程度有差別而已。比如，配重為0的工況(激勵頻率120 Hz和負(fù)載10 kΩ)，其應(yīng)變偏置11%，電壓偏置2.5%和電流偏置2.2%?？傮w而言，當(dāng)懸臂梁自由端配重加大時偏置現(xiàn)象更顯著。由此判斷，懸臂梁自身和配重的重力效應(yīng)是導(dǎo)致俘能器在簡諧振動環(huán)境下，應(yīng)變響應(yīng)、電學(xué)響應(yīng)仍存在一定程度偏置的主要原因。

圖3 典型工況的試驗(yàn)結(jié)果Fig.3 Typical test results

為進(jìn)一步探究不同加載工況(電路負(fù)載、激勵頻率和配重)對壓電俘能器機(jī)電轉(zhuǎn)換關(guān)系的影響規(guī)律，本文對各種加載條件下電能回收能力進(jìn)行了觀測分析。

1.2.1 變激勵頻率分析

預(yù)設(shè)激振器一定加速度幅值(增益)，由0均勻增大激振頻率至150 Hz，觀察俘能器應(yīng)變響應(yīng)的變化規(guī)律，即掃頻試驗(yàn)。一般而言，當(dāng)頻率接近自振頻率時將產(chǎn)生諧頻共振現(xiàn)象，此時的應(yīng)變、電學(xué)響應(yīng)幅值將達(dá)到峰值，其對應(yīng)的頻率即為結(jié)構(gòu)主頻。當(dāng)懸臂梁無配重時，掃頻至123.3 Hz，單變應(yīng)變振幅譜峰值為2.696 2 Hz-1，說明結(jié)構(gòu)配重為零時俘能片諧振頻率為123.3 Hz。

匯總試驗(yàn)結(jié)果，結(jié)構(gòu)配重為0，12.5 g，18.75 g和25 g時，其諧振頻率分別為123.2 Hz，31.2 Hz，25.75 Hz和21.94 Hz，顯然較大的配重可顯著降低結(jié)構(gòu)主頻，如圖4所示。圖4的縱坐標(biāo)功率譜幅值進(jìn)行歸一化處理在0～100%內(nèi)，便于各工況的對比分析。

圖4 激勵頻率對俘能性能影響Fig.4 Influence of excitation frequency on harvesting capacity

1.2.2 變電路負(fù)載分析

除了振動環(huán)境的影響，俘能器內(nèi)部電路負(fù)載的大小也會對能量采集效率產(chǎn)生影響。于是此次設(shè)定特定激勵頻率和末端配重，僅通過調(diào)整負(fù)載電阻值觀察其對壓電系統(tǒng)能量俘獲能力的影響規(guī)律。

試驗(yàn)結(jié)果顯示電阻負(fù)載對應(yīng)變、電學(xué)響應(yīng)幅值具有明顯影響，與激振頻率類似，俘能器俘能效率與內(nèi)在電阻數(shù)值顯著相關(guān)，只有將電路負(fù)載調(diào)整到最佳數(shù)值附近，才能為俘能器挖掘潛在最大電能提供重要保證。比如，當(dāng)激振頻率20 Hz、配重25 g條件下，電阻調(diào)整到50 kΩ時獲得功率峰值為2.249 mW。

匯總試驗(yàn)結(jié)果，當(dāng)配質(zhì)量為0，12.5 g，18.5 g和25 g，電阻負(fù)載分別在10 kΩ，30 kΩ， 35 kΩ和50 kΩ時，俘能器達(dá)到功率峰值，如圖5所示。圖5的縱坐標(biāo)功率進(jìn)行歸一化處理在0～100%內(nèi)，便于各工況的對比分析。

圖5 電阻負(fù)載對俘能性能影響Fig.5 Influence of excitation frequency on harvesting capacity

1.2.3 最佳配置分析

通過研究，發(fā)現(xiàn)壓電單晶懸臂梁俘能器的激勵頻率、電路負(fù)載對懸臂梁俘能結(jié)構(gòu)的能量俘獲能量有重要影響。基于以上結(jié)果，接下來將探討俘能結(jié)構(gòu)優(yōu)化(配重)問題。值得一提的是，為了保證試驗(yàn)條件的統(tǒng)一性，激振器增益設(shè)定了相同數(shù)值，但由于開環(huán)電路特性使得各個工況加速度激勵幅值并非保持同一水平。鑒于此，本文將各工況下的電功率換算為單位加速度幅值(1 m/s2)下的數(shù)值，便于比較分析。

單位加速度幅值加載條件下，不同配重俘能結(jié)構(gòu)在各自最佳電阻負(fù)載設(shè)置下，獲得的電功率隨激勵頻率的變化，如圖6所示。圖6中不同配重俘能結(jié)構(gòu)在各工況下的轉(zhuǎn)換功率峰值和功率均值，如表3所示。通過對比分析，發(fā)現(xiàn)配重為18.75 g的俘能結(jié)構(gòu)，其在近似諧頻25 Hz和最佳電阻負(fù)載35 kΩ下，獲得了最大的功率峰值35.42 mW和最大的功率均值5.589 8 mW。說明了壓電懸臂梁結(jié)構(gòu)俘能系統(tǒng)的最佳配重應(yīng)為18.75 g，而并非是越大的配重應(yīng)獲得更大的電能。

圖6 俘能性能綜合對比Fig.6 Comprehensive comparison of harvesting capacity

表3 俘能性能綜合對比

總而言之，電路負(fù)載、激勵頻率和結(jié)構(gòu)配重需要綜合考慮，尋求系統(tǒng)的最佳匹配是激發(fā)其潛在電能俘獲能力的重要途徑。

2 壓電懸臂梁俘能有限元建模

有限元分析軟件ABAQUS具有強(qiáng)大的多物理場分析能力，同時還可做系統(tǒng)的分析和研究，本文采用該軟件對壓電單晶復(fù)合懸臂梁進(jìn)行實(shí)體建模。通過仿真分析探討壓電懸臂梁的機(jī)電轉(zhuǎn)換關(guān)系和特性。

依據(jù)實(shí)際情況設(shè)定分層材料特性參數(shù)、幾何尺寸，設(shè)定一端固定一端自由邊界條件，并于固定端施加加速度簡諧激勵。在模型中，采用六面體八節(jié)點(diǎn)壓電單元(C3D8E)模擬壓電陶瓷層(PZT-5H)；采用六面體八節(jié)點(diǎn)實(shí)體單元模擬非壓電材料(聚酯、金屬銅、不銹鋼和聚酰亞胺)。層間連接采用“TIE”約束命令以此模擬封裝的PPA制品。本次仿真可實(shí)現(xiàn)無質(zhì)量塊壓電懸臂梁俘能特性計(jì)算。ABAQUS的PPA懸臂梁模型，如圖7所示。

圖7 PPA壓電懸臂梁ABAQUS模型Fig.7 ABAQUS model of PPA piezoelectric cantilever

為了驗(yàn)證仿真方法的正確性，本文對工況一致的仿真與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比。頻率50 Hz簡諧激勵下的俘能壓電片的電壓時程響應(yīng)，其中試驗(yàn)電路負(fù)載為10 kΩ，如圖8所示。該工況下的仿真電壓時程響應(yīng)與試驗(yàn)測試結(jié)果幅值和頻率均吻合較好，幅值誤差為8%(見圖8(a))。該工況下的電壓-應(yīng)變曲線關(guān)系，試驗(yàn)曲線呈現(xiàn)橢圓形，而仿真結(jié)果為線性關(guān)系(見圖8(b))。對比所有工況，仿真電壓幅值預(yù)測與試驗(yàn)結(jié)果吻合良好，誤差保證在15%以內(nèi)；仿真電壓與應(yīng)變關(guān)系均為線性，與試驗(yàn)回線不同，但其斜率與試驗(yàn)回線的平均斜率基本保持一致。

出現(xiàn)以上結(jié)果的原因解釋如下：①仿真計(jì)算獲得的電壓為俘能片內(nèi)部電壓vp，而試驗(yàn)中很難直接測得內(nèi)部電學(xué)響應(yīng)，通常需通過連接外部電路測得，因此，試驗(yàn)結(jié)果實(shí)際上為外部(電路)電壓v。根據(jù)本文試驗(yàn)電路情況，vp與數(shù)據(jù)采集獲得v為并聯(lián)關(guān)系，即v=vp，因此內(nèi)、外電壓的幅值和頻率應(yīng)一致。仿真和試驗(yàn)的電壓響應(yīng)幅值和頻率一致性吻合良好，驗(yàn)證了有限元仿真計(jì)算的正確性，見圖8(a)；②有限元仿真對象是俘能片在振動環(huán)境下由于電荷發(fā)生偏移集中繼而產(chǎn)生電位差的過程，該vp與結(jié)構(gòu)應(yīng)變同頻同相，而試驗(yàn)中由于外接了電路，使得v與結(jié)構(gòu)應(yīng)變存在同頻異相的現(xiàn)象；內(nèi)外部電壓相位差為0.005 s(=0.087～0.074)，見圖8(a)；仿真(內(nèi)部)電壓-應(yīng)變的同頻同相，使得特性曲線為線形關(guān)系，而試驗(yàn)的(外部)電壓-應(yīng)變的同頻異相，使得特性曲線呈現(xiàn)橢圓形，見圖8(b)。

總之，有限元模型法可較好的預(yù)測俘能器的內(nèi)部電壓，但要獲得俘能器外接電路的電學(xué)響應(yīng)和俘能效果，還需借助壓電懸臂梁俘能數(shù)學(xué)模型進(jìn)行預(yù)測。

圖8 典型工況的ABAQUS模型與試驗(yàn)結(jié)果對比Fig.8 Typical response comparison of ABAQUS model with test data

3 壓電懸臂梁俘能數(shù)學(xué)建模

鑒于有限元模型模擬壓電單晶懸臂梁俘能特性的缺陷，提出一種機(jī)電耦合數(shù)學(xué)模型。

3.1 不考慮重力效應(yīng)的機(jī)電模型(原模型)

3.1.1 耦合振動方程

基于Euler-Bernoulli假設(shè)，在基礎(chǔ)激勵下，有末端配重的均質(zhì)單晶懸臂梁受迫振動方程如下

(1)

圖9 PPA壓電懸臂梁俘能機(jī)電模型示意Fig.9 Schematic diagram of energy harvest system for PPA cantilever

(2)

式中：qk(t)為模態(tài)坐標(biāo)；φk(x)為模態(tài)函數(shù)；vp為壓電材料產(chǎn)生的內(nèi)部電壓；ωk為第k階模態(tài)無阻尼固有頻率；ξk為模態(tài)機(jī)械阻尼比；fk為激勵模態(tài)力函數(shù)和λk為耦合項(xiàng)[14]。

3.1.2 耦合電路方程

壓電本構(gòu)方程定義了應(yīng)變(S)或應(yīng)力(T)，電荷密度位移(D)和電場(E)之間的相互作用。于是，壓電本構(gòu)的張量(應(yīng)力-電荷形式)可簡化表示如下：

(3)

(4)

式(3)中壓電的軸向應(yīng)變分量在復(fù)合梁中的子結(jié)構(gòu)層與梁在位置x處的曲率成正比，由此可以計(jì)算出由于該應(yīng)變引起的電場分量。由于外部電路導(dǎo)納為1/R，根據(jù)Gauss定律積分形式可獲得輸出電壓為

(5)

式中：R為電阻負(fù)載兩端的電壓；A3為x-z平面的電極面積。將式(4)代入式(5)，并結(jié)合壓電層平均彎曲應(yīng)變曲率關(guān)系，獲得式(6)

(6)

然后，根據(jù)Kirchhoff定律，內(nèi)部電流ip表達(dá)式如下

(7)

式(6)和式(7)右端相同，于是合并兩式求解內(nèi)部電流。一般而言，試驗(yàn)中很難直接測得內(nèi)部電流ip，通常都是測試獲得外部回路的電流i。于是，根據(jù)歐姆定律則可獲得外部電路電流

i(t)=vp(t)/R

(8)

根據(jù)電路情況，內(nèi)部電壓vp與數(shù)據(jù)采集獲得外部電壓v為并聯(lián)關(guān)系，即v=vp。

此外，為便于求解，式(6)按模態(tài)展開形式如下

(9)

3.2 考慮重力效應(yīng)的機(jī)電模型(修正模型)

機(jī)電耦合模型以簡諧振動為假設(shè)，依此求解獲得的電壓和電流響應(yīng)也為簡諧振動。然而，在1.2節(jié)特性試驗(yàn)過程中，發(fā)現(xiàn)簡諧激勵振動下的懸臂梁俘能電學(xué)響應(yīng)存在明顯偏置現(xiàn)象，而且該現(xiàn)象會隨著自由端配重的增加而更加顯著。鑒于此，本文將充分考慮配重重力效應(yīng)對壓電懸臂梁俘能響應(yīng)的影響，對機(jī)電耦合模型進(jìn)行改進(jìn)，進(jìn)一步提高模型精度，使其適應(yīng)更廣泛的懸臂梁俘能系統(tǒng)。

基于Gauss理論，自由端質(zhì)量塊m對懸臂梁產(chǎn)生附加應(yīng)變，見圖9。接著引發(fā)的額外電壓如下

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

3.3 機(jī)電模型求解

耦合振動方程和耦合電路方程綜合形成機(jī)電耦合方程，即式(2)和式(9)的聯(lián)立。實(shí)際上，它們?yōu)橐粚ξ⒎址匠探M，但要獲得該微分方程組的解析解非常困難。頻率響應(yīng)函數(shù)(frequency response function,FRF)可用來表征測試系統(tǒng)在給定頻率下的穩(wěn)態(tài)輸入個輸出的關(guān)系，其具有直觀反映測試系統(tǒng)在各個不同頻率簡諧輸入信號的響應(yīng)特性。為獲得穩(wěn)態(tài)解，本文將采用FRF對機(jī)電耦合微分方程組進(jìn)行數(shù)值求解。

假設(shè)懸臂梁固定端激勵簡諧力函數(shù)fk(t)=Fkeωtj，其幅值Fk可由式(15)表達(dá)

(15)

式中：A0為固定端橫向位移幅值；ω為激勵頻率；j為虛部數(shù)值。

基于線性系統(tǒng)假設(shè)，模態(tài)坐標(biāo)寫成幅值為Qk的復(fù)數(shù)qk(t)=Qkeωtj，電壓響應(yīng)寫成幅值為V的復(fù)數(shù)v(t)=Veωtj，于是機(jī)電耦合方程可以表達(dá)如下

(16)

(17)

求解式(16)、式(17)，即可獲得外部/內(nèi)部電壓v/vp和內(nèi)部電流ip響應(yīng)

v(t)/vp(t)=eωtj×

(18)

ip(t)=eωtj×

(19)

4 機(jī)電模型驗(yàn)證

為便于誤差分析，本文對所有算例根據(jù)配重組合特定電阻分類4組。第一組配重為0和電路負(fù)載10 kΩ下的算例；第二組配重為12.5 g和電路負(fù)載為45 kΩ下的算例；第三組配重為18.75 g和電路負(fù)載45 kΩ的算例；第四組配重為25 g和電路負(fù)載50 kΩ的算例。每組則通過變化激勵頻率獲得各種不同工況。

4.1 誤差分析

為了驗(yàn)證模型對特性曲線模擬的精確性和有效性，定義特性曲線誤差百分比如下

Err(k)=

(20)

式中：Err(k)為特定電路電阻和質(zhì)量塊配置下，第k工況(激勵頻率為變量)模型誤差；vexp/vsim為測試/模型結(jié)果的電壓響應(yīng)；iexp/isim則表示測試/模型結(jié)構(gòu)的電流響應(yīng)，由于電流和電壓對功率的貢獻(xiàn)為等效的，因此公式中它們的權(quán)重各占50%。

采用FRF法，對同樣工況的試驗(yàn)算例進(jìn)行了對應(yīng)機(jī)電耦合方程的求解，并獲得一系列仿真結(jié)果。負(fù)載50 kΩ，頻率10 Hz，配重25 g工況下的原模型和修正模型仿真效果對比，如圖10所示。發(fā)現(xiàn)兩種模型均可對應(yīng)變-電壓橢圓曲線有效描述，其中，修正模型更為有效，還可對該回線的偏置(向右下)趨勢進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測(見圖10(a)和圖10(b))；類似地，修正模型除有效描述應(yīng)變-功率蝴蝶曲線之外，還可對該回線的偏置(向右)現(xiàn)象有效模擬(見圖10(c)和圖10(d))。直觀而言，修正模型對壓電單晶懸臂梁機(jī)電特性描述更靈活、更有效。

圖10 模型與修正模型擬合典型試驗(yàn)數(shù)據(jù)的效果對比Fig.10 Simulation comparison between model and improved model with typical test data

通過觀察所有工況下的仿真結(jié)果，采用原模型及修正模型模擬試驗(yàn)數(shù)據(jù)的特性曲線誤差百分比，如圖11所示。總體而言，誤差基本集中在20%以內(nèi)，但不可否認(rèn)，誤差范圍隨著工況不同有所變化，越接近最佳工況(最佳頻率)，其誤差呈現(xiàn)遞減趨勢，均小于10%；當(dāng)工況逐漸遠(yuǎn)離最佳工況時，誤差也逐漸增大。以第一組為例(見圖11(a))，在120 Hz(最接近諧振頻率123.2 Hz)下，采用原模型和其修正模型的誤差比較接近，誤差分別為8.09%和7.80%；而當(dāng)20 Hz(最遠(yuǎn)離共振頻率)下，采用原模型和修正模型誤差則差別加大，誤差分別為84.63%和49%。為了觀測模型整體精度，將第一組的10個工況的模型誤差進(jìn)行平均，則顯示原模型和修正模型平均誤差分別為29.37%和23.2%，采用修正模型平均誤差比原模型明顯提高21%。類似地，第二組、第三組、第四組的誤差分布規(guī)律基本類似，(見圖11(b)～圖11(d))。

圖11 模型與修正模型誤差對比Fig.11 Error comparison between model and improved model

4.2 等效誤差分析

對于振動俘能器而言，振動環(huán)境為其能量轉(zhuǎn)換的主要來源，而振動環(huán)境非簡單特定頻率和幅值的簡諧激勵，而是具有不可預(yù)測的各種幅值和頻率的隨機(jī)激勵。當(dāng)環(huán)境振動頻率與結(jié)構(gòu)主頻接近時，俘能能力大大提升，反之，當(dāng)環(huán)境振動頻率遠(yuǎn)離結(jié)構(gòu)主頻時，俘能能力大大減弱。因此，模型的有效性不但和特性曲線描述誤差有關(guān)，還應(yīng)和相應(yīng)工況的能量占比相關(guān)?；诖耍疚奶岢觥暗刃д`差百分比EErr”，用以衡量模型預(yù)測能量回收能力的評判指標(biāo)。

以前述不同配重分類組別為例，定義組內(nèi)第k工況下獲得的功率響應(yīng)幅值為N(k)，組內(nèi)所有工況獲得的總功率響應(yīng)幅值為∑N(k)，于是第k工況的能量占比NR(k)為

(21)

于是，該g組采用模型獲得的等效誤差百分比為

EErr(g)={∑NR(k)·Err(k)}×100%

(22)

等效誤差百分比EErr(g)綜合體現(xiàn)了模型對g結(jié)構(gòu)在各頻率外激勵下的能量俘獲能力的有效評判。原模型和修正模型在4個分組中的等效誤差，如表4所示。其中原模型平均等效誤差為16.93%，模型經(jīng)過改進(jìn)后，其平均等效誤差減小到12.98%，精度整體提高了23.33%。驗(yàn)證了修正模型的精確性和有效性，說明改進(jìn)模型可用于精確預(yù)測壓電單晶懸臂梁回收能量數(shù)值以及機(jī)電特性曲線的描述。

表4 原模型與修正模型等效誤差對比

5 結(jié) 論

本文對壓電單晶懸臂水平梁的俘能特性進(jìn)行了試驗(yàn)和模型研究。

(1)通過壓電俘能懸臂梁俘能性能試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)其力-電轉(zhuǎn)換呈現(xiàn)復(fù)雜特性；發(fā)現(xiàn)懸臂梁的自由端配重、外部激勵頻率以及內(nèi)部電路負(fù)載對系統(tǒng)能力回收均具有重要影響，其最佳匹配下才可為俘能器挖掘潛在最大電能提供重要保證。

(2)提出壓電俘能懸臂俘能力電耦合數(shù)學(xué)模型用以預(yù)測其振動能量俘獲的電能。通過與有限元模型對比，驗(yàn)證了其不但可以精確模擬力、電響應(yīng)幅值和頻率，還可有效擬合應(yīng)變-電壓、應(yīng)變-電流和應(yīng)變-功率等復(fù)雜特性曲線；通過與試驗(yàn)結(jié)果的誤差對比分析，同時驗(yàn)證了考慮重力效應(yīng)的修正模型還可較好預(yù)測特性曲線的偏置現(xiàn)象，充分驗(yàn)證所提修正模型描述俘能特性更為全面、更為有效。

以上試驗(yàn)研究和模型研究成果對探究壓電懸臂梁俘能系統(tǒng)振動能量回收能力及其在工程上的有效應(yīng)用提供重要的理論基礎(chǔ)。