復(fù)雜工況下分?jǐn)?shù)階永磁同步風(fēng)力發(fā)電機(jī)混沌運(yùn)動(dòng)的H∞魯棒控制

楊 莉， 黃天民， 丁菊霞， 魏 偉

(1. 成都信息工程大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，成都 610225； 2. 西南交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院，成都 610031；3. 四川農(nóng)業(yè)大學(xué) 建筑與城鄉(xiāng)規(guī)劃學(xué)院，成都 611830)

隨著化石資源的稀少和污染排放的增加，風(fēng)能等可再生能源在未來(lái)幾十年將大幅度增長(zhǎng)，并在緩解氣候變化和實(shí)現(xiàn)能源可持續(xù)性方面發(fā)揮關(guān)鍵作用[1]。相對(duì)于雙饋風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)[2]，直驅(qū)永磁同步風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)因無(wú)齒輪箱，從而具有能量損失小、可靠性高、低電壓穿越能力強(qiáng)和維護(hù)成本低等特點(diǎn)[3]。直驅(qū)永磁同步風(fēng)力發(fā)電機(jī)組因其低故障率及低維護(hù)成本，成為風(fēng)能資源豐富、設(shè)施空間充足、占地面積少、噪聲污染少的海上風(fēng)電場(chǎng)的主要風(fēng)電機(jī)型[4]。但永磁同步電機(jī)對(duì)系統(tǒng)參數(shù)和外部負(fù)載擾動(dòng)非常敏感，Li等[5-6]研究表明在某參數(shù)范圍或某工作條件下會(huì)呈現(xiàn)出混沌振蕩行為[7]，主要表現(xiàn)為電機(jī)轉(zhuǎn)速或轉(zhuǎn)矩的劇烈振蕩、系統(tǒng)不規(guī)則的電磁噪聲、控制性能不穩(wěn)定等，進(jìn)而對(duì)電網(wǎng)造成較大沖擊。楊國(guó)良等[8]首次研究了直驅(qū)永磁同步風(fēng)力發(fā)電機(jī)組中的混沌現(xiàn)象，并在非線性混沌模型基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)出滑?？刂破鳌Ｍ趵诘萚9]針對(duì)永磁同步風(fēng)力發(fā)電機(jī)組混沌運(yùn)動(dòng)，采用(takagi-sugeno，T-S)模糊模型將非線性永磁同步風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為線性子系統(tǒng)，并設(shè)計(jì)出模糊混沌跟蹤控制器有效抑制混沌運(yùn)動(dòng)。但是自然界中所有的物理現(xiàn)象都是以分?jǐn)?shù)階形式存在的[10]，整數(shù)階微分方程只是分?jǐn)?shù)階微分方程的一個(gè)特例。Xue等[11]建立了分?jǐn)?shù)階永磁同步電機(jī)模型，并分析其混沌特性。Yang等[12]針對(duì)具有外部擾動(dòng)的永磁同步風(fēng)力發(fā)電機(jī)組混沌問(wèn)題，采用T-S模糊隸屬度規(guī)則將非線性分?jǐn)?shù)階永磁同步風(fēng)力發(fā)電機(jī)模型轉(zhuǎn)化為等效線性子模型，并設(shè)計(jì)出模糊控制器有效抑制混沌運(yùn)動(dòng)。

時(shí)滯現(xiàn)象[13]是指信號(hào)在傳輸過(guò)程中有延遲產(chǎn)生，廣泛存在各類實(shí)際控制系統(tǒng)中，例如電機(jī)系統(tǒng)[14]、電力系統(tǒng)[15]、風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)[16]等。對(duì)風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)本質(zhì)特性認(rèn)識(shí)不足、不熟悉其工作環(huán)境或者建模錯(cuò)誤，都會(huì)使得風(fēng)能轉(zhuǎn)換系統(tǒng)受到參數(shù)或信號(hào)傳輸時(shí)滯的影響。時(shí)滯將導(dǎo)致風(fēng)電系統(tǒng)電流波形失真、電壓損失或轉(zhuǎn)矩振蕩等[17]。

基于上述討論，本文研究了具有狀態(tài)時(shí)滯和外界負(fù)載擾動(dòng)的分?jǐn)?shù)階永磁同步風(fēng)力發(fā)電機(jī)混沌狀態(tài)的穩(wěn)定性分析與控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題。針對(duì)分?jǐn)?shù)階永磁同步風(fēng)力發(fā)電機(jī)組建立了分?jǐn)?shù)階T-S模糊混沌模型，并設(shè)計(jì)出模糊狀態(tài)記憶的H∞魯棒控制器。Lyapunov穩(wěn)定性分析與數(shù)值模擬仿真表明，在該控制器作用下，永磁同步風(fēng)力發(fā)電機(jī)混沌運(yùn)動(dòng)得到有效抑制。研究結(jié)果表明對(duì)抑制復(fù)雜工況運(yùn)行下的永磁同步風(fēng)力發(fā)電機(jī)混沌運(yùn)動(dòng)具有較好的理論意義與實(shí)用價(jià)值。

1 永磁同步風(fēng)力發(fā)電機(jī)分?jǐn)?shù)階T-S模糊模型

1.1 分?jǐn)?shù)階微積分理論

連續(xù)函數(shù)f(t)的Caputo型α階微分定義[18]為

(1)

式中，m-1<α

分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)定義[19]為

(2)

式中，x(0)=x0為初始條件,x(t)=[x1,x2,…,xn]。

1.2 分?jǐn)?shù)階永磁同步風(fēng)力發(fā)電機(jī)混沌模型

根據(jù)文獻(xiàn)[20]所給出的整數(shù)階模型，可得出氣隙均勻的分?jǐn)?shù)階永磁同步風(fēng)力發(fā)電機(jī)混沌模型為

(3)

(4)

1.3 分?jǐn)?shù)階永磁同步風(fēng)力發(fā)電機(jī)T-S模糊混沌模型

將分?jǐn)?shù)階永磁同步風(fēng)力發(fā)電機(jī)非線性混沌模型式(4)轉(zhuǎn)換為式(5)矩陣表達(dá)形式

(5)

式中：x(t)和u(t)分別為系統(tǒng)狀態(tài)變量和控制變量；A和B為系統(tǒng)參數(shù)且A=[-1 0 0; 0 -1μ; 0σ-σ]；[x(t)]為系統(tǒng)非線性表達(dá)式且有[x(t)]=[x2x3; -x1x3; 0]。

考慮具有狀態(tài)時(shí)滯和外界負(fù)載擾動(dòng)的分?jǐn)?shù)階永磁同步風(fēng)力發(fā)電機(jī)混沌模型的矢量表達(dá)式為

(6)

式中：x(t-τ)和w(t)分別為狀態(tài)時(shí)滯變量和負(fù)載擾動(dòng)變量；Aτ和Bw分別為時(shí)滯變量和擾動(dòng)參數(shù)矩陣；z(t)為性能輸出變量；C，Cτ和Dw為具有適當(dāng)維數(shù)的實(shí)數(shù)矩陣。

根據(jù)T-S模糊規(guī)則，建立分?jǐn)?shù)階永磁同步風(fēng)力發(fā)電機(jī)非線性系統(tǒng)式(6)的模糊混沌模型為

Rulei: Ifx3(t) isMi, Then

(7)

式中：Rulei為第i條模糊規(guī)則，i=1,2,…,r，r為模糊規(guī)則數(shù)；Mi為模糊集合；Bi為控制輸入?yún)?shù)矩陣；Ai為系統(tǒng)參數(shù)矩陣且有Ai=[-1di0; -di-1μ; 0σ-σ]；di受x3(t)取值影響；Aτi為時(shí)滯狀態(tài)參數(shù)矩陣；Ci，Cτi和Dwi為適當(dāng)維數(shù)的實(shí)數(shù)矩陣。

根據(jù)模糊理論，可得出具有狀態(tài)時(shí)滯和負(fù)載擾動(dòng)的分?jǐn)?shù)階永磁同步風(fēng)力發(fā)電機(jī)T-S模糊混沌模型為

(8)

式中，前件變量x3(t)在模糊集合Mi中的隸屬度函數(shù)為ξi[x3(t)]。

假設(shè)有以下公式成立

(9)

則系統(tǒng)式(9)的去模糊混沌模型為

(10)

2 知識(shí)準(zhǔn)備

為了研究分?jǐn)?shù)階永磁同步風(fēng)力發(fā)電機(jī)模糊混沌模型式(10)穩(wěn)定性，主要應(yīng)用以下引理。

引理2對(duì)于x(t)∈C1[0,T0]且T0>0，則有

引理3[22]假設(shè)存在適當(dāng)維數(shù)的任意向量m和n,則有不等式2mTn≤θmTm+θ-1nTn,?θ>0成立。

引理4[23](Schur補(bǔ)引理) 如果有適當(dāng)維數(shù)的給定矩陣N，P和Q>0，則有如下兩個(gè)不等式是等價(jià)的。

引理5[24]如果存在連續(xù)可微函數(shù)向量x(t)，P為正定對(duì)稱矩陣，則有

(11)

式中，?α∈(0,1]，?t≥0。

引理6[25]如果存在適當(dāng)維數(shù)的任意矩陣X和Y，則有以下不等式成立

XTY+YTX<ηXTX+η-1YTY, ?η>0

(12)

3 模糊記憶狀態(tài)反饋H∞魯棒控制器設(shè)計(jì)

通過(guò)PDC(parallel distributed compensation)技術(shù)，設(shè)計(jì)出具有模糊記憶狀態(tài)的狀態(tài)反饋H∞魯棒控制器為

Rulei: Ifx3(t) isMi, Then

u(t)=-Kix(t)-Kτix(t-τ)

(13)

式中：i=1,2,…,r；Ki和Kτi為控制器增益矩陣。

由式(13)可得出系統(tǒng)的全局模糊記憶狀態(tài)反饋H∞魯棒控制器為

(14)

將控制律式(14)代入系統(tǒng)式(10)，可得出含有狀態(tài)時(shí)滯和負(fù)載擾動(dòng)的分?jǐn)?shù)階永磁同步風(fēng)力發(fā)電機(jī)閉環(huán)模糊控制模型為

(15)

式中：hi=hi[x3(t)]；hj=hj[x3(t)]；Hij=Ai-BiKj；Hτij=Aτi-BiKτj。

定義1假設(shè)以下兩個(gè)條件能同時(shí)成立[26]。

(1) 當(dāng)外部擾動(dòng)和性能輸出為0時(shí)，分?jǐn)?shù)階模糊混沌模型式(15)是全局漸近穩(wěn)定的。

(2) 在零輸入條件下，如果以下不等式成立

式中，對(duì)于所有tf>0，γ為任意正實(shí)數(shù)。

則具有狀態(tài)時(shí)滯和負(fù)載擾動(dòng)的分?jǐn)?shù)階永磁同步風(fēng)力發(fā)電機(jī)閉環(huán)模糊混沌模型式(15)是漸近穩(wěn)定的。

定理1假設(shè)存在正定對(duì)稱矩陣P，任意矩陣Mi和Mτi，任意正實(shí)數(shù)εi，δτij，δτji和γ，使得以下LMIs(linear matrix inequalities)成立

(16)

和

(17)

即含有狀態(tài)時(shí)滯和負(fù)載擾動(dòng)的分?jǐn)?shù)階永磁同步風(fēng)力發(fā)電機(jī)閉環(huán)模糊混沌模型式(15)是漸近穩(wěn)定的且滿足H∞控制性能指標(biāo)γ。

證明首先證明在外部擾動(dòng)和性能輸出為0時(shí)，系統(tǒng)式(15)是漸近穩(wěn)定的，假設(shè)P為正定對(duì)稱矩陣，構(gòu)造出Lyapunov函數(shù)為

(18)

由引理1可知，以下不等式成立

(19)

從而可知Lyapunov函數(shù)式(18)為正定的，根據(jù)分?jǐn)?shù)階微積分理論，求Lyapunov函數(shù)V[x(t)]關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)為

(20)

令χ=τ+ν，則有

(21)

則又有

(22)

當(dāng)0<α≤1且t>ν時(shí)，有(t-ν)α-1>0，從而可以看出，只要有以下不等式(23)成立

(23)

則含有狀態(tài)時(shí)滯和負(fù)載干擾的分?jǐn)?shù)階永磁同步風(fēng)力發(fā)電機(jī)模糊混沌模型式(15)是漸近穩(wěn)定的。

(24)

其次，再證明分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)式(15)具有H∞魯棒控制性能指標(biāo)，有

(25)

因隸屬度函數(shù)小于等于1和引理3可得

(26)

由式(15)、式(24)和式(26)可得

(27)

式中：Bwij=Bwi+Bwj；Cij=Ci+Cj；Cτij=Cτi+Cτj；Dwij=Dwi+Dwj。

如果式(27)為負(fù)定的，則可以看成不等式式(27)左端每一部分都為負(fù)定的。

第一，先假設(shè)式(27)左端第一部分為負(fù)定的，則有

(28)

由引理6可知，當(dāng)且僅當(dāng)存在正常實(shí)數(shù)εi，將Hii和Hτii代入式(28)可等效為

(29)

式中：?T(t)=[xT(t),xT(t-τ),wT(t)]；

則有

(30)

對(duì)式(30)分別左乘和右乘對(duì)角矩陣diag[P-1,P-1,I]，并令Q=P-1，Mi=KiP-1和Mτi=KτiP-1，則有

(31)

由引理4可得，式(31)可等價(jià)為式(16)。

第二，再假設(shè)式(27)左端第二部分為負(fù)定的，則有

(32)

由引理6可知，當(dāng)且僅當(dāng)存在正常實(shí)數(shù)δτij和δτji，將Hii和Hτii代入式(32)可等效為

(33)

式中： ?T(t)=[xT(t),xT(t-τ),wT(t)]；

則有

(34)

對(duì)式(34)分別左乘和右乘對(duì)角矩陣diag[P-1,P-1,I]，并令Q=P-1，Mi=KiP-1和Mτi=KτiP-1可得

(35)

其中

由引理4可得，式(35)可等價(jià)為式(17)。

如果式(16)和式(17)都成立，則含有狀態(tài)時(shí)滯和負(fù)載擾動(dòng)的分?jǐn)?shù)階永磁同步風(fēng)力發(fā)電機(jī)閉環(huán)模糊系統(tǒng)式(15)是漸近穩(wěn)定的且滿足H∞控制性能指標(biāo)γ。證明完畢。

4 系統(tǒng)仿真

式中：M1,2為模糊集合；A1,2和Aτ1,2為系統(tǒng)參數(shù)矩陣；B1,2為控制輸入矩陣；Bw1,2為擾動(dòng)輸入矩陣。

當(dāng)u(t)=0時(shí)，可得出具有狀態(tài)時(shí)滯和負(fù)載擾動(dòng)的分?jǐn)?shù)階永磁同步風(fēng)力發(fā)電機(jī)開(kāi)環(huán)模糊混沌模型為

永磁同步風(fēng)力發(fā)電機(jī)參數(shù)選擇如參考楊國(guó)良等和王磊等的研究，取系統(tǒng)參數(shù)為σ=16，μ=45.92，則有A1=[-1 30 0; -30 -1 45.92; 0 16 -16]，A2=[-1 -30 0; 30 -1 45.92; 0 16 -16]。

假設(shè)永磁同步風(fēng)力發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速存在時(shí)滯，取延遲τ=0.5，且延遲參數(shù)矩陣為Aτ1=Aτ2=[0 0 0; 0 0 0; 0 0 -1]。

風(fēng)能隨機(jī)性使得風(fēng)力發(fā)電機(jī)將受到負(fù)載擾動(dòng)影響，并取擾動(dòng)轉(zhuǎn)矩和負(fù)載擾動(dòng)為Bw1=Bw2=[0; 0; 0.5]，w(t)=sin(2πt)e-0.5t。

取性能輸出參數(shù)矩陣為C1=C2=[10 10 20]，Cτ1=Cτ2=[1 1 2]和D1=D2=1。

取模糊隸屬度函數(shù)為

含有狀態(tài)時(shí)滯和負(fù)載擾動(dòng)的分?jǐn)?shù)階永磁同步風(fēng)力發(fā)電機(jī)在無(wú)控制作用下的混沌特性，如圖1所示。由圖1可知，當(dāng)分?jǐn)?shù)階次在0.95<α≤1.00，系統(tǒng)存在混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，此時(shí)風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩會(huì)出現(xiàn)不規(guī)則振蕩行為。但隨著分?jǐn)?shù)階階次進(jìn)入α<0.95時(shí)，系統(tǒng)在無(wú)控制作用下也能進(jìn)入穩(wěn)定運(yùn)行，從而可以看出分?jǐn)?shù)階階次對(duì)風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)的混沌特性影響不容忽略。

圖1 當(dāng)u(t)=0時(shí)，受擾時(shí)滯系統(tǒng)混沌特性Fig.1 Chaotic characteristics without u(t)

為了快速抑制風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)的混沌振蕩運(yùn)動(dòng)，依據(jù)模糊PDC控制技術(shù)設(shè)計(jì)出具有模糊記憶的狀態(tài)反饋H∞魯棒控制器為

u(t)=-K1x(t)-Kτ1x(t-τ)；

u(t)=-K2x(t)-Kτ2x(t-τ)。

式中，K1,2和Kτ1,2為控制器參數(shù)矩陣。

則模糊控制器總輸出可描述為

從而得出具有狀態(tài)時(shí)滯和負(fù)載擾動(dòng)的分?jǐn)?shù)階永磁同步風(fēng)力發(fā)電機(jī)模糊控制模型如下

對(duì)q軸電壓和發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速施加控制量，并取輸入?yún)?shù)矩陣為B1=B2=[0;1;1]。系統(tǒng)狀態(tài)曲線，如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)狀態(tài)曲線Fig.2 The system state curve

采用所給出的定理1，利用MATLAB軟件中的LMIs工具箱可解出具有模糊記憶的狀態(tài)反饋H∞魯棒控制器參數(shù)矩陣為

K1=[46.104 2,60.979 6,-0.805 8]，
K2=[-41.571 7,67.151 3,-7.126 0]
Kτ1=[0.101 3,0.158 1,-0.010 2]，
Kτ2=[-0.100 5,0.189 1,-0.008 9]

無(wú)狀態(tài)記憶的反饋控制器參數(shù)矩陣為K11=[2.178 6,58.564 1,15.868 9]，K22=[-2.178 6,58.564 1,15.868 9]。系統(tǒng)控制曲線，如圖3所示。

圖3 系統(tǒng)控制曲線Fig.3 The system control curve

由圖2和圖3可知，在分?jǐn)?shù)階階次發(fā)生變化、含有狀態(tài)時(shí)滯延遲和外界負(fù)載擾動(dòng)情況下，定理1所推出的控制方法能有效抑制永磁同步風(fēng)力發(fā)電機(jī)組中的混沌振蕩運(yùn)動(dòng)。相對(duì)于無(wú)狀態(tài)記憶控制方法，具有狀態(tài)記憶的模糊H∞魯棒控制器具有更良好的控制性能。隨著分?jǐn)?shù)階階次的降低，控制性能更好。

5 結(jié) 論

針對(duì)含有狀態(tài)時(shí)滯和外界負(fù)載擾動(dòng)情況下的分?jǐn)?shù)階永磁同步風(fēng)力發(fā)電機(jī)組混沌振蕩運(yùn)動(dòng)行為的控制問(wèn)題，利用T-S模糊理論與分?jǐn)?shù)階微積分算法，建立含有狀態(tài)時(shí)滯和負(fù)載擾動(dòng)的分?jǐn)?shù)階模糊混沌模型，通過(guò)PDC控制方法和H∞魯棒控制算法設(shè)計(jì)出具有狀態(tài)記憶的模糊狀態(tài)反饋H∞魯棒控制器。利用Lyapunov函數(shù)直接法，根據(jù)分?jǐn)?shù)階微積分性質(zhì)，采用Cauchy矩陣不等式和合同變換，通過(guò)LMI形式得出滿足H∞控制指標(biāo)的系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性條件。通過(guò)數(shù)值模擬仿真可以看出，系統(tǒng)在具有狀態(tài)時(shí)滯、外界隨機(jī)負(fù)載擾動(dòng)和分?jǐn)?shù)階階次變化的復(fù)雜運(yùn)行情況下，通過(guò)定理1所推出的模糊記憶H∞魯棒控制器能使得系統(tǒng)快速擺脫混沌振蕩運(yùn)動(dòng)，具有良好的控制性能。