μ-b方程族柯西問(wèn)題的不適定性

嚴(yán)可欣,陳涵,付英

(1.寧波大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,浙江 寧波 315211;2.西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710127)

1 引言

考慮如下周期偏微分方程的柯西問(wèn)題:

在b>1情形下的不適定性,其中u(t,x)是實(shí)值空間周期函數(shù),S代表 R2上的單位圓,μ(u):= ∫Su(t,x)dx表示u在 S上的平均值.柯西問(wèn)題 (1)中的第一個(gè)方程是μ-Camassa-Holm(μ-CH)方程和μ-Degasperis-Procesi(μ-DP)方程的一個(gè)混合方程,被稱為μ-b方程族.

當(dāng)b=2時(shí),μ-b方程族變成μ-Hunter-Saxton方程(現(xiàn)在通常被稱為μ-CH方程):

該方程是著名的CH方程[1-2]和Hunter-Saxton[3]方程的“中間”方程.它是由Khesin,Lenells和Misio?lek[4]首先提出的,它描述了具有外部磁場(chǎng)和自相互作用的液晶中旋轉(zhuǎn)子的演化過(guò)程.關(guān)于μ-CH方程的幾何性質(zhì),可積性,尖峰孤子解的存在性和穩(wěn)定性,解的爆破行為,局部和全局適定性等可見(jiàn)文獻(xiàn)[4-6].

當(dāng)b=3時(shí),μ-b方程族變成μ-DP方程:

μ-DP 方程是由 Lenells,Misio?lek和 Ti?glay引入的[7].作為 DP 方程[8]和 Burgers方程[9]的“中間”方程,μ-DP方程可以視為圓S=R/Z的所有光滑且保向的微分同胚的Fréchet李群 Diff∞(S)上的右不變仿射聯(lián)絡(luò)?的測(cè)地線流.關(guān)于μ-DP方程的其他幾何性質(zhì),可積性,局部適定性,尖峰孤子解和沖擊波解的存在性,解的爆破和波浪破碎等結(jié)果可參考文獻(xiàn)[6-7].

μ-b方程族是b方程族的一個(gè)周期形式的推廣,它是由Lenells,Misio?lek和Ti?glay引入的[7].μ-b方程族解對(duì)初值的不一致依賴問(wèn)題在文獻(xiàn) [10]中被討論.值得一提的是,從文獻(xiàn) [7]的定理5.5可以知道,當(dāng)s>3/2時(shí),μ-b方程族的柯西問(wèn)題存在唯一解u∈C((?T,T),Hs(S))∩C1((?T,T),Hs?1(S)),且解對(duì)初值是連續(xù)依賴的.那么一個(gè)自然的問(wèn)題是:當(dāng)s<3/2時(shí),μ-b方程族是否適定?

關(guān)于多種方程定解問(wèn)題的不適定性已有許多工作.例如,2008年,在范數(shù)膨脹的意義下,Bourgain和Pavlovic[11]證明了三維Navier-Stokes方程在貝索夫空間的不適定性.2014年,Himonas,Holliman和Grayshan[12]研究了DP方程在索伯列夫空間Hs(R)與Hs(T)中的不適定性.2016年,Himonas,Grayshan和 Holliman[13]研究了b方程族在b>1時(shí),在線上和圓環(huán)上的不適定性.至于b方程族在b<1情形下的不適定性,它是由Novruzov[14]在2021年研究的.關(guān)于 Novikov方程,ab方程族,修正CH方程,廣義修正CH方程的不適定性研究的結(jié)果可參考文獻(xiàn)[15-18].受文獻(xiàn) [12-13]的啟發(fā),本文研究的是當(dāng)s<3/2,b>1時(shí),μ-b方程族的柯西問(wèn)題在空間Hs(S)中的不適定性.主要結(jié)論如下:

定理 1.1當(dāng)b>1,s<3/2時(shí),則μ-b方程族的柯西問(wèn)題 (1)在索伯列夫空間Hs(S)中,在哈達(dá)瑪意義下是不適定的.具體地講,當(dāng)

時(shí),解的范數(shù)發(fā)生膨脹;當(dāng) (b,s)∈{(1

2 預(yù)備知識(shí)

為了證明主要結(jié)論,給出如下基本定義和引理.

定義 2.1[12-13]稱μ-b方程族在索伯列夫空間Hs(S)中,在哈達(dá)瑪意義下是適定的,如果μ-b方程族滿足以下三個(gè)條件:

3 主要定理的證明