賞析2022 年新高考I 卷三角函數(shù)大題

廣東省中山市桂山中學(528463) 蔡曉波

一、試題與答卷分析

題目(2022 年新高考I 卷第18 題) 記?ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

筆者有幸參與了今年的高考閱卷,閱卷的題目就是該題.該題屬于中等難度題目,滿分12 分,然而閱卷時查看到的平均分卻不到3 分.為何平均分如此之低呢? 從考生的答題情況分析,主要原因有兩個: (i) 對題目中的條件感到無從下手,從而第一問都未能拿到分數(shù);(ii)有些考生能夠使用題目的條件解答第一問,但是第二問不會.

二、題目探源

此題關鍵與難點之一在于對條件(?)的分析,而從該條件的結構,不難發(fā)現(xiàn)此題與新教材人教版必修一第183 頁例7[1]極其類似,系同根同源.該例題是一個經(jīng)典例題,在舊教材人教版必修四第19 頁[2]也有該例題.因此,可見在日常教學中,教師要重視課本的例題與練習題.

三、題目的分析與解法探討

3.1.條件(?)的多角度分析

本題的難度之一來自于題目中條件(?)的分析,那么我們下邊就來看看可以從哪些角度來分析這個條件.

角度2 (倍角+同構思想)從角度1 分析過程可知=tanB,也就是條件等號的右邊可化為正切,左邊也有類似的結構,那么能否也利用倍角公式化為正切的結構呢,由此可得如下思路.

至此,我們得到A,B的關系,結合A+B+C=π,那么此題不但第一問迎刃而解,第二問的思路也觸手可及.

角度3 (誘導公式+同構思想)從角度2 的思路我們可知,該思路抓住的是條件等號的左右兩邊嘗試化為正切,而在轉化等式的左邊時,利用了倍角公式,過程略顯繁瑣,如果我們進一步觀察,我們不難發(fā)現(xiàn)左右兩邊的結構實際上有一定類似之處,不同之處在于條件中等號左邊分子分母的函數(shù)名與等號右邊不一致,而通過誘導公式我們是可以化為一致的,于是可得如下思路.

角度5 (溯源類比得思路)在[1]中的第183 頁例7 的證法2 中,實際是采用了分析法得到的思路,也就是把等式進行交叉相乘變形,既然此題的條件與之極其類似,我們不妨也采用交叉相乘進行嘗試,于是可得如下思路.

由(?)可得:cosA+cosAcos 2B=sin 2B+sin 2BsinA.故cosA+cos(A+2B)=sin 2B.即cos((A+B)?B)+cos((A+B)+B)=2 sinBcosB.展開可得: cos(A+B)cosB=2 sinBcosB.依題意可得:,故可得:cos(A+B)=sinB.故sinB=?cosC.

由此得到的結論與角度1 得到的結論相同,此思路關鍵在于首先要熟悉并聯(lián)想到教材的題例,并且會對其方法進行類比運用;其次,變形之后能找到角與角之間的關系,即A=(A+B)?B,A+2B=(A+B)+B.合而歸一,殊途同歸.

3.2.第二問的思路分析

思路1(利用三角函數(shù)關系消元) 根據(jù)對題目條件的分析思路,我們不難發(fā)現(xiàn),角度1 和角度5 得到了sinB=?cosC的結論,由此我們不難得到如下思路.

由sinB=?cosC可知C為鈍角,B為銳角,且不難得出: sinC=cosB,故sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=sin2C ?cos2C,故

思路2(利用角度關系消元)根據(jù)對題目條件的分析思路可知,角度2,角度3,角度4 得到了=A+2B的結論,再結合A+B+C=π,我們便可輕而易舉的對角度進行消元,由此我們不難得到如下思路.

思路2 利用了角度之間的關系進行了消元,把A,B均表示為C,從而達到消元的目的,讀者可以嘗試把B,C均表示為A或者把A,C均表示為B的消元方法.

根據(jù)我們對題目條件的多角度分析,以及對第二問的兩種思路分析,讀者可以自己去整理出本題的多種做法,這里不再贅述.

四、發(fā)散性探究,發(fā)現(xiàn)數(shù)學美

4.1. =A+2B 的幾何意義的探索

從前面對題目的條件的分析可知由(?)可得出=A+2B的結論,它的幾何意義為直角三角形ABD中(如圖1),∠D為直角,∠ABD的平分線BC交AD于C,則?ABC即為滿足要求的三角形.

圖1

顯然,不失一般性地,我們可以認為|AB|=2r是一個定值,A,B為定點,則此時D在以AB為直徑,AB中點E為圓心的圓上運動,利用幾何畫板的軌跡跟蹤功能,我們可以得出C的運動軌跡的形狀大致為如圖2 中呈樹葉型狀的曲線,十分優(yōu)美,那么該軌跡(下面我們稱為曲線M)的方程是什么呢?

圖2

圖3

根據(jù)以上分析,我們可得如下結論:

圖4

結論1A,B為平面內(nèi)兩個定點,且|AB|=2r,平面內(nèi)動點C滿足=0,設∠ABC的角平分線BP交AC邊于P,我們稱動點P的軌跡為曲線M,若以B為極點,射線BA為極軸建立極坐標系,設P(ρ,θ),則曲線M的方程為:

曲線M的形狀十分優(yōu)美,呈樹葉狀.|AB|顯然為曲線M上任意兩點距離的最大值,故可稱AB為曲線M的長軸.

4.2. 的等價幾何意義的探究

五、教學建議

至此,我們完成了對2022 年新高考I 卷第18 題的解法探究與發(fā)散性探究,不但發(fā)現(xiàn)了數(shù)學美,而且為我們?nèi)蘸蟮慕虒W工作提供了一些參考建議.

1.重視課本,學會類比遷移.有時我們往往有一種錯覺,覺得課本的例題、練習題太過基礎,然而,課本的例題、練習題是經(jīng)編寫組專家們精挑細選得到的,它往往具有很強的代表性,是很多高考經(jīng)典題目的母題和根源所在,因此在日常教學中,我們要重視課本的例題與練習題,讓學生吃透,弄透課本的題目.

2.教學中要注重學生核心素養(yǎng)的培養(yǎng).在新課標,新高考的背景下,我們教學要注重學生核心素養(yǎng)的培養(yǎng).比如本題對題目中條件的分析就充分的考查了一個學生的邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析等方面的學生素養(yǎng).如果學生在平常的學習中,僅僅是題海戰(zhàn)術,僅僅是記住了一些常規(guī)套路題目,那么這樣的學生在面對這樣的高考題就很可能束手無策.

3.健全學生心理健康教育.高考的題目往往會讓考生有一種“新”的感覺,而學生容易見“新”生“慌”.因此,在日常數(shù)學教學過程中,要加強心理健康教育,讓學生遇到“新”問題能夠冷靜思考,仔細分析.比如本題很多學生不會做的一個主要原因就是考試時候未能靜下心來仔細思考題目中的條件.

4.善于探究,深度貫徹核心素養(yǎng)培養(yǎng),挖掘數(shù)學美.對一個題目的推廣探究或者發(fā)散性探究,往往能夠讓一個學生的數(shù)學核心素養(yǎng)得到全方位的提高,還可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學美,讓學生更加覺得數(shù)學好玩,更加愛上數(shù)學.

比如本題在對“=A+2B的幾何意義的探索”就能讓學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象方面的核心素養(yǎng)能力得到很好的鍛煉.而通過探究得出的曲線M的形狀又能讓學生深刻的體會到數(shù)學美.