一道解析幾何定點(diǎn)問題的雙向探究

四川省名山中學(xué)(625100) 高繼浩

一、試題呈現(xiàn)

(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)斜率不為0 的直線l與C交于M,N兩點(diǎn),若直線BM的斜率是直線AN斜率的兩倍,探究直線l是否過定點(diǎn)? 若過定點(diǎn),求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不過定點(diǎn),請說明理由.

答案: (Ⅰ)=1;(Ⅱ)直線l過定點(diǎn)(,0).

二、推廣探究

將試題第(Ⅱ)問進(jìn)行推廣得到:

命題1已知橢圓=1 (a >b >0)的左,右頂點(diǎn)分別為A,B,斜率不為0 的直線l與橢圓交于M,N(異于A,B)兩點(diǎn),若kBM=λkAN(1),則直線l過定點(diǎn)

將左,右頂點(diǎn)改為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn),則命題1進(jìn)一步推廣為:

命題4 的證明與命題2 類似,從略.

三、逆向探究