圓錐曲線中“焦頂三角形”三邊斜率的探究

貴州師范大學數(shù)學科學學院(550025) 劉遠桃

過焦點的直線與圓錐曲線交于兩點(異于頂點),圓錐曲線的一個頂點(頂點與焦點處于同一坐標軸上)與這兩個交點連接,構(gòu)成的三角形稱為焦頂三角形.關于焦頂三角形的題型多樣,比較經(jīng)典的是三邊斜率問題,此類問題構(gòu)思巧妙,內(nèi)涵豐富,具有一定的研究價值.下面以2023 屆江蘇省南通市高三上學期第一次質(zhì)檢考試中的圓錐曲線試題為例,探究試題的本質(zhì),從而得到幾個一般性的結(jié)論.

1 試題呈現(xiàn)

分析我們知道,圓錐曲線中很多試題都可以進行不同程度的一般性探究,尤其是涉及到三角形問題和斜率問題.此題難度適中,而試題第(2)問中的幾何結(jié)構(gòu)比較特殊,正是標準的焦頂三角形,為此,下面探究在一般情形下是否有相關結(jié)論成立.約定: 以下探究中用e表示圓錐曲線的離心率.

2 結(jié)論推廣

結(jié)論1已知橢圓C:=1(a>b>0),A(λa,0),F(μc,0) 分別是橢圓C的頂點和焦點,過點F做直線l(斜率存在且與x軸不重合)與橢圓C交于M,N兩點,設直線AM,AN的斜率分別為k1,k2,則當λμ=1 時,k1k2=?(1+e)2;當λμ=?1 時,k1k2=?(1?e)2.

評注結(jié)論3 是通過觀察歸納得到的,證明從略.以上結(jié)論都是基于橢圓模型,那么,在雙曲線和拋物線中是否也有類似結(jié)論? 下面進一步探究.

評注結(jié)論4 是將兩直線AM,AN的斜率之積為定值、三條直線AM,AN,l的兩個斜率關系共三個結(jié)論統(tǒng)一進行敘述,其證明思路與結(jié)論1 完全一致.另外,通過觀察以上結(jié)論可以發(fā)現(xiàn),橢圓和雙曲線模型的結(jié)論具有統(tǒng)一性.

結(jié)論5 已知拋物線C:y2=2px(0),O,F分別是拋物線C的頂點和焦點,過點F做直線l(斜率存在且與x軸不重合) 與拋物線C交于M,N兩點,設直線OM,ON,l的斜率分別為k1,k2,k,則當p >0 時,k1k2=?4,k1+k2=?;當p <0 時,k1k2=4,k1+k2=

評注前面我們總結(jié)了橢圓和雙曲線模型結(jié)論的統(tǒng)一性,但拋物線模型的結(jié)論與橢圓和雙曲線模型的結(jié)論從形式上看并不統(tǒng)一.為此,能否將結(jié)論5 改寫成關于離心率的式子? 結(jié)合橢圓和雙曲線模型結(jié)論式子特點,發(fā)現(xiàn)通過拋物線離心率為常數(shù)1 恰好可以達到目的,可以將結(jié)論5 寫成“當p >0 時,k1k2=?(1+e)2,k1+k2=?且;當p <0 時,k1k2=(1+e)2,k1+k2=

以上所有結(jié)論中圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)的方程形式都是焦點位于x軸上,當焦點位于y軸上時,同樣有類似結(jié)論成立,大家不妨類比探究.另外,基于以上結(jié)論的探究,我們可以自己編制相關的題目.

3 題目編制

題目1設雙曲線C:=1(a>0,b>0)的右焦點為F(2,0),漸近線方程為y=±(1)求雙曲線C的方程;(2)A為雙曲線C的右頂點,過點F做直線l(斜率存在且與x軸不重合)與雙曲線C交于M,N兩點,設直線AM,AN,l的斜率分別為k1,k2,k,求證:k1k2為定值,并判斷k1,k2,k三者之間的關系.

題目2設拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,點D(p,0),過點F的直線l與拋物線C交于M,N兩點,當直線MD垂直于x軸時,|MF|=3.(1)求拋物線C的方程;(2)設直線l的斜率存在且與x軸不重合,直線OM,ON,l的斜率分別為k1,k2,k,求證:k1k2為定值,并判斷k1,k2,k三者之間的關系.

評注這兩道題目的命題思路正是雙曲線和拋物線模型中焦頂三角形的三邊斜率問題,證明思路與前面結(jié)論的探究相同.

4 結(jié)束語

一個有意義的題目的求解和由此得到的結(jié)論和見解,不僅可以加深對問題本身的認識和理解,而且可以在探究中產(chǎn)生新問題和新方法,以及最重要的獲得發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力,進而提高探究意識、促進思維發(fā)展[1].通過以上探究,我們得到了焦頂三角形中兩直線斜率之積為定值和三條直線的斜率關系,并且得到的結(jié)論證明思路完全相同.這給我們以啟發(fā),圓錐曲線的解題教學必須要學會歸納題型,剖析命題思路,掌握解決此類題型的一般性方法,達到“做一題,歸一類,得一法”的效果;同時,應注重變式教學和多題歸一,挖掘問題間的本質(zhì)和內(nèi)在關系,做到將同種題型、變式題型和創(chuàng)新題型熔于一爐.這樣,即使面對沒有做過的類似題目,甚至是陌生的題目,我們?nèi)匀粫兴伎己鸵娊?而不至于毫無頭緒.