函數(shù)思維在中學數(shù)學解題中的應用研究

沈秋雨

（蘇州大學數(shù)學科學學院，江蘇 蘇州 215006）

中學數(shù)學的學習難點在于“舉一反三”，該學科具有“高度抽象性、結論確定性與應用廣泛性的特點”。然而對于中學生來說，正是因為數(shù)學知識或定理的抽象性，所以一些規(guī)律性的已知條件通常都會在題干中以隱藏的形式體現(xiàn)，這顯然給中學生解題帶來了極大的困擾。部分學生在解題過程中發(fā)現(xiàn)，即使書本上的公式定理都已經(jīng)一字不差地背誦下來了，但在具體的實踐中還是難以做到活學活用，不懂得怎么將已知條件轉化為一種方便直觀理解的形式，這主要是因為學生的函數(shù)思維培養(yǎng)比較薄弱。對于中學生來說，應用函數(shù)思維是對所給問題深度觀察、分解、剖析的關鍵，當傳統(tǒng)代數(shù)法無法解決數(shù)學難題時，利用“構造函數(shù)”規(guī)定思想來提取已知條件或許是一條可行的解題捷徑。

1 研究背景

1.1 函數(shù)思維理念分析

函數(shù)思維是由函數(shù)問題引申出來的一種數(shù)學思想，近代函數(shù)定義認為，函數(shù)是建立在集合與映射的觀點上，對某個給定數(shù)集A中所有元素施加的一個客觀規(guī)律性法則，這個法則在數(shù)學上記作f（x）。那么任何一個函數(shù)都有如下三個特征，定義域，函數(shù)自變量x的取值范圍一定，只有x被A包含時函數(shù)才具有意義，所以定數(shù)集合A的取值范圍是明確的；值域，f（x）可以看做是x在特定規(guī)則下的映射值，那么如果元素x的定值范圍明確，f（x）的映射值范圍也應是明確的，若另一個定數(shù)集合D中任意元素y在數(shù)值上都與f（x）的輸出結果相同，那么f（x）=y時，D就是f（x）的函數(shù)值域。定義域與值域可以用來解釋或判斷同屬于數(shù)集A中任意元素在數(shù)值區(qū)間上的屬性特點；對應法則，指f（x）的數(shù)量變化關系，f（x）視為x元素經(jīng)過一系列規(guī)則轉化后的唯一映射值，因此若是可以理清f（x）具體所指代的數(shù)值處理規(guī)則，就可以直接推導出特定條件下自變量x的定值或f（x）的輸出值[1]。

在經(jīng)過前人的經(jīng)驗實踐與總結后得出這樣的結論，函數(shù)思維的性質(zhì)就是利用函數(shù)描述幾個變量之間映射關聯(lián)的性質(zhì)，將待解決的數(shù)學問題轉化為“已知+未知+規(guī)定法則”的形式，根據(jù)數(shù)學問題給出的既定規(guī)律，人為地構建一種客觀函數(shù)關系，使題目中的無限的變量被約束在函數(shù)規(guī)律內(nèi)，再去解決具體數(shù)學問題的一種思維策略。在具體的解題過程中，合理利用函數(shù)的解析式、定義域與值域的取值性質(zhì)來挖掘題目隱藏的已知條件，是函數(shù)思維應用的關鍵所在，建立在充分、全面、深入地了解觀察問題的基礎上，利用數(shù)學問題中已知條件與未知變量之間的映射關系來構造出函數(shù)的原型，就可以用來描述題干的關鍵線索或者直接輸出我們想解得的問題答案。

1.2 函數(shù)思維的特點

函數(shù)思維從性質(zhì)上來看，它是數(shù)學學科的核心素養(yǎng)中邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學應用與數(shù)據(jù)分析交叉形成的產(chǎn)物，是數(shù)學以“客觀唯物論”為辯證基礎的集中體現(xiàn)。函數(shù)思維在解題過程中應用，自然需要中學生不斷從多個動態(tài)角度來理解數(shù)學的知識定理，在對已知條件的梳理與轉化過程中找到利于答案輸出的解題方法。而函數(shù)思維的培養(yǎng)過程中，中學生鉆研數(shù)學的能力與獨立解決數(shù)學問題的能力都會得到綜合提升，久而久之就會形成一種靈敏的數(shù)學直覺與數(shù)學經(jīng)驗，使更加復雜多變的數(shù)學問題的解密變得游刃有余、得心應手了。在中學階段的數(shù)學解題中應用函數(shù)思維，主要是它如下兩個方面特點的體現(xiàn)：

一是化無限為有限的特點，許多數(shù)學問題給出的已知條件中，某些變量的取值似乎是可以無限變換的，這也是代數(shù)法解題的局限性所在，當代數(shù)關系不足以描述“無限變化”的變量時，我們就需要用一個短小且有限長度的函數(shù)公式來為它們施加一個規(guī)定法則[2]。這樣不管題目中的變量條件如何取值，在數(shù)值輸出中總要滿足特定規(guī)則下的元素性質(zhì)，用函數(shù)思維解決無限變量的數(shù)學問題，其目的在于最大程度壓縮或優(yōu)化問題的復雜程度，始終控制已知或未知的變量條件保持基本的映射關系，就可以用“有限”規(guī)則來描述“無限”的變量條件了。

二是躍遷轉化的特點，函數(shù)思維雖然是從函數(shù)問題中引申出來的數(shù)學策略，但并不意味著它僅能解決函數(shù)問題。在“已知+未知+固定法則”的解題模板框架下，任何包含未知求解的數(shù)學型問題，都可以用函數(shù)思維來轉化解答。例如中學的方程式求解、不等式運算以及數(shù)列的規(guī)律推導等，只要用一個構造函數(shù)來為其中變量或未知量賦予一個固定的取值范圍，那么就可以用數(shù)與數(shù)的關系來描述數(shù)學問題中的抽象變化關系。所以函數(shù)思維的躍遷轉化特點，就是指可以用函數(shù)思維來解答非函數(shù)問題[3]。

2 函數(shù)思維在中學數(shù)學解題中的應用分析

2.1 在方程上的應用

函數(shù)與方程是數(shù)學學科的兩個不同研究范疇，方程是一組含有未知量的等式，它是表示兩個不同數(shù)學式之間數(shù)值相等的關系，方程式問題中使等式成立的條件就是未知數(shù)滿足某一個或多個定值，而推導出方程式未知數(shù)具體值的過程，就叫做方程式求解。函數(shù)與方程問題的聯(lián)系體現(xiàn)在它們的表達形式上，若有一個方程寫作y=0，那么它的解在f（x）=0的圖像與x軸的交點坐標上，而這樣函數(shù)y=f（x）也可以被視為二元一次方程f（x）-y=0的形式來進行解答。所以在方程問題上應用函數(shù)思維，關鍵就在于將方程式整個或某一部分來用函數(shù)關系式f（x）的方式來替代，先將方程式進行簡化處理，然后再具體分析其中f（x）的變化規(guī)律?？偟膩碚f，在中學方程問題上應用函數(shù)思想，就是將形式較為復雜或者計算量比較大的方程式兩邊分別構造為兩個固定規(guī)則相同的函數(shù)，再利用它們在同一個函數(shù)圖像上的性質(zhì)來判斷取值關系。

2.2 在不等式上的應用

不等式是指用“〉”“〈”“≥”“≤”或“≠”連接的兩個數(shù)學式，在中學階段的數(shù)學問題中，不等式左右兩邊成分的討論范疇均為實數(shù)，其中字母也代表實數(shù)。不等式也有它的定義域，左右兩邊均存在例如m與n等未知數(shù)的，若想要讓不等式成立必須在取值上滿足某些條件，而m所屬數(shù)集A與n所屬數(shù)集B就叫做不等式的公共定義域。不等式與函數(shù)的關聯(lián)在于它們定義域與解集的共性特征上，例如有這樣一個函數(shù)f（x），它的輸出值y恒定大于0的情況下，x的取值范圍正是不等式f（x）〉0中x的解集，若畫出f（x）的函數(shù)圖像，那么所有在x軸上方的點橫坐標都為不等式f（x）〉0的解集[4]。所以在不等式問題上應用函數(shù)思維，可以將函數(shù)增減區(qū)間性質(zhì)判斷不等式成分的輔助手段，為不等式關系證明或推導提供更多的已知信息。在不等式問題中應用函數(shù)思維，關鍵點就在于根據(jù)不等式的代數(shù)形式來構建函數(shù)規(guī)則，再利用構建函數(shù)的單調(diào)增減性質(zhì)或者值域特點，對不等式成分進行分析。

2.3 在數(shù)列上的應用

數(shù)列與方程和不等式不同，它本身就是數(shù)學函數(shù)問題中的一個分支，但它的表達形式與一般函數(shù)表達式有所差異，數(shù)列與一般函數(shù)表達式的特殊點在于它的定義域與值域上，它可被看做是定義域為正整數(shù)集的函數(shù)式，這樣有序列的數(shù)字在函數(shù)圖像上表現(xiàn)為彼此分割離散的點坐標。數(shù)列中的子項必須是實數(shù)或負數(shù)，假如有數(shù)列{an}，它的定義域為函數(shù)f（x）的正整數(shù)解集，那么f（x）輸出值y與x的關系，就可以視為數(shù)列{an}的通項公式。因此函數(shù)思維在數(shù)列問題中應用，需要學生透徹理解二者之間的關聯(lián)，即f（x）的輸出值y，可以視為數(shù)列中第x項的ax的數(shù)值。

在中學學習階段，數(shù)列的最值問題是最常見到的題型，此類問題主要是考查學生對數(shù)列通項公式以及數(shù)列定義域、值域等知識點的掌握理解程度。而解決此類數(shù)列最值問題，最便捷的方法就是構建其函數(shù)與數(shù)列之間的邏輯關聯(lián)，從函數(shù)在不同定義域區(qū)間的增減單調(diào)性上來進行子項作差，從而得到問題所求的最大值子項或最小值子項結果。

3 函數(shù)思維在中學數(shù)學解題中的應用案例分析

3.1 方程問題中應用函數(shù)思想的實例

我們以下列一組例題的解法來說明方程式問題中的函數(shù)思維體現(xiàn)：已知 m，n兩個未知數(shù)，滿足方程m3-3m2+5m=1；n3-3n2+5n=5的關系，求m+n的值。

根據(jù)題干來看，學生可能會認為最優(yōu)解法是利用代數(shù)法分別解出兩個方程的未知數(shù)解，接著再將兩個方程式的解相加得到問題答案。但在實際操作中會發(fā)現(xiàn)單獨解任何一個方程都存在計算上的障礙，問題中的一元三次方程不易在不借助任何計算設備輔助的情況下直接手算得出結果。所以不妨在該題中應用函數(shù)思維來優(yōu)化兩個方程式的表達形式，首先將方程式按照如下方法變形：

已知m3-3m2+5m=1，那么則有m3-3m2+5m-1=0[5]。再將其進行因式分解得到新的方程式，（m-1）3+2（m-1）+2=0；同理已知n3-3n2+5n=5，n3-3n2+5n-5=0，因式分解得到（1-n）3+2（1-n）+2=0。我們會發(fā)現(xiàn)經(jīng)過因式分解后得到的兩個變形方程左右兩邊的成分形式已經(jīng)完全相同了，所以可以構造一個函數(shù) f（x），使 f（x）=x3+2x+2，那么方程式 1就可以寫作f（m-1）=0，方程式2就可以寫作f（1-n）=0。由于兩個方程式的輸出值完全相等，有f（m-1）=f（1-n）的關系。此時只需要分析構造函數(shù)f（x）=y，當y輸出值一定時x是否存在多個解，就可以判斷m-1與1-n之間是否存在數(shù)值相等的關系了。而根據(jù)y=x3+2x+2的性質(zhì)來看，它在定義域x∈R上為單調(diào)遞增函數(shù)，因此兩個自變量不可能同時輸出同一個y值。所以m-1與1-n一定為同一個數(shù)值，最后將m-1=1-n方程式的未知數(shù)與已知數(shù)分別變號調(diào)換到等號的同一側，得到m+n=1+1=2。

3.2 不等式問題中應用函數(shù)思想的實例

用如下例題來說明函數(shù)思維在不等式問題中的應用：有三個常數(shù) a、b、c，滿足{a、b、c}∈R 的關系，試證明由 a、b、c構成的不等式“”恒成立。

該不等式問題比較棘手的地方在于不明確a、b、c三者之間數(shù)值的大小關系，因此難以判斷“a+b+c”的值是否大于或小于a、b、c當中任意個體。且由于|a|恒大于0，但若a〈0還需要考慮到|a|=-a的問題，所以無法直接通過比較分母或分子的大小來判斷不等式兩邊的關系。那么解決該問題，就需要將不等式中的某些特定成分進行函數(shù)化轉變。首先我們構造一個新的函數(shù)為，那么從函數(shù)實際意義成立的角度來判斷，定義域為x≠1，那么從函數(shù)圖像的性質(zhì)來看，若當輸入值滿足x∈[0，+∞]的關系時，若x2〉x1，由于函數(shù)在該區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，所以總有輸出值 y2〉y1。而原不等式中，一定有 a≤|a|、b≤|b|、c≤|c|的數(shù)值關系，所以a、b、c三者之和一定小于|a|+|b|+|c|。那么根據(jù)我們構造函數(shù)f（x）的規(guī)則，原不等式等號左右兩邊的成分就可以被轉化為如下形式：

3.3 數(shù)列問題中應用函數(shù)思想的實例

以如下例題來說明函數(shù)思維在中學數(shù)列問題中的應用：有一個數(shù)列的表達形式為“”，試求出該數(shù)列通項的最大值。

該問題中的難點在于無法通過手算來將 x=1、x=2、x=3...x=n等數(shù)值逐一帶入到數(shù)列通項公式中求得數(shù)值結果，且在這樣一系列的實數(shù)串子項中，最大值的數(shù)項位置也難以明確。因此我們需要利用數(shù)列與函數(shù)之間的表達關聯(lián)，構建一個與數(shù)列通項公式規(guī)則相同的函數(shù)表達式，將數(shù)列子項之間數(shù)值大小的問題，遷移引申到函數(shù)在[1,+∞]區(qū)間中極值討論問題。將函數(shù)式解析為的形式，那么將f（x）=0作為推導條件，可以輕易地分析出f（x）在[1,+∞]區(qū)間里有一個唯一穩(wěn)定點k，此時x=k。因此雖然無法根據(jù)已知條件繪制得知f（x）函數(shù)的圖像情況，但可以得出如下結論，當x〉k時，f（x）的輸出結果恒小于0，而當x〈k時，f（x）的輸出結果恒大于0，也就是說在函數(shù)f（x）中存在一個最大值條件，此時。將k的值回代入，不用計算其結果就可以知道其數(shù)值介于2與3之間，因此我們只要對比數(shù)列中a2與a3之間在數(shù)值上的大小關系，較大的那個就是該數(shù)列的最大項，經(jīng)過計算可知大于，所以該數(shù)列的最大項數(shù)值為a3，具體數(shù)值為。

4 結論

綜上所述，中學數(shù)學的學習難點在于書中的公式定理的靈活應用，學生當接觸到與課本表達形式完全不同的試題時，難以與已學過的知識脈絡產(chǎn)生關聯(lián)。尤其是在未知數(shù)求解過程比較繁雜的應用題中，傳統(tǒng)代數(shù)法的解題思路由于難以化解或計算對應數(shù)值，容易導致學生思維陷入囹圄。因此需要在日常教學中注重學生函數(shù)思維的培養(yǎng)，只有這樣學生才能夠從多個角度去觀察分析問題，找到潛在的數(shù)值關系規(guī)律。在解決數(shù)學問題的過程中應用函數(shù)思維，就是利用函數(shù)建模的方法來為無限的變化形式未知量定義一個固定的規(guī)則，實現(xiàn)復雜數(shù)學式的“化繁為簡、化整為零”，利用構建函數(shù)的某種規(guī)則表達形式、定義域、值域以及區(qū)間單調(diào)性、增減性等特點來輔助解題，找到便捷、易于理解的全新解題思路。