分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運(yùn)用

摘要：分類討論是解決問題的一種邏輯方法，也是一種數(shù)學(xué)思想，這種思想對于簡化研究對象、發(fā)展學(xué)生思維有著重要作用．它依據(jù)數(shù)學(xué)研究對象本質(zhì)屬性的異同點，將數(shù)學(xué)對象分為不同種類，然后對劃分的每一類分別進(jìn)行研究和求解.

關(guān)鍵詞：分類討論;解題教學(xué);數(shù)學(xué)問題

初中各個階段都會出現(xiàn)應(yīng)用分類討論思想解題的題型，它可以有效拓寬初中生的學(xué)習(xí)思路，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，它是一種數(shù)量關(guān)系，也是一種空間關(guān)系，簡言之，就是一種思維的產(chǎn)物.分類討論思想能幫助初中生用更加系統(tǒng)的方式去認(rèn)識世界和感知世界，并結(jié)合自身的知識體系證明和總結(jié)世界中的數(shù)量關(guān)系；且它在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用率極高，代數(shù)和幾何中都有這種類型的思考模式，能有效、細(xì)化地解決問題，探究更多解題思路［1］.本文中將對初中數(shù)學(xué)教學(xué)中分類討論思想的現(xiàn)狀及發(fā)展策略展開具體論述.

1 初中數(shù)學(xué)教學(xué)中分類討論思想的步驟

1.1 提出數(shù)學(xué)問題

有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題在初中數(shù)學(xué)習(xí)題中的應(yīng)用比例是比較高的，將來在高考中也會占有較大的比重，同時，其具有邏輯性強(qiáng)、探索性強(qiáng)、可訓(xùn)練思維等特點，能有效培養(yǎng)初中生的數(shù)學(xué)綜合能力.但這部分內(nèi)容雖然重要，學(xué)生卻很容易忽視，因此，初中數(shù)學(xué)教師必須對學(xué)生有正向的引導(dǎo)和激勵，幫助學(xué)生建立正確的數(shù)學(xué)思維，端正數(shù)學(xué)態(tài)度，提高數(shù)學(xué)綜合能力.

1.2 分析數(shù)學(xué)問題

對于數(shù)學(xué)學(xué)科的練習(xí)題，初中生必須要對題目有所了解并進(jìn)行分析，通過正確讀題，將已知條件整理出來，并對已知條件進(jìn)行拆解和分析，將問題拆解為不同的可能，并對每一種可能都進(jìn)行探索和思考.

1.3 解答數(shù)學(xué)問題

數(shù)學(xué)習(xí)題的解答，一定都是嚴(yán)謹(jǐn)而有邏輯的一個過程，對于解答分類討論問題的方法和步驟，也具有相應(yīng)的策略.在解決數(shù)學(xué)問題時，首先要確定題目所考查的對象、出題人的目的、問題主要基于哪些知識點，學(xué)生在搞明白這些要素之后，再對所考查的問題進(jìn)行分類，將問題中的對象拆分出來，把所有出現(xiàn)的可能都一一列舉，之后再按照問題的要求進(jìn)行分類討論，并在討論中總結(jié)出每一步的詳細(xì)解答過程，最后，將所有的分類結(jié)論進(jìn)行總結(jié)，整理出對這一類題目的解題方法，這樣學(xué)生以后再遇到類似的題目，就能舉一反三［2］.

2 初中數(shù)學(xué)教學(xué)中分類討論思想的策略

初中生相較于小學(xué)生，具有更多的自我認(rèn)知和思想情感，對數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識存在著一定的自我傾向，因此對數(shù)學(xué)問題理解不夠完整，教師在課堂講解中，應(yīng)該幫助學(xué)生提高對數(shù)學(xué)問題的理解能力，并對題目進(jìn)行有效的剖析和整理，厘清解題思路，最終建立良好的分類討論解題步驟.教師在此過程中責(zé)任重大，下面就數(shù)學(xué)分類討論思想在幾何、函數(shù)和方程中的運(yùn)用展開具體論述.

2.1 在幾何中的運(yùn)用

在初中數(shù)學(xué)中，幾何題型占據(jù)的比例是比較大的，分類討論思想主要集中在幾何圖形規(guī)律、性質(zhì)的討論上.教師在對學(xué)生進(jìn)行分類討論思想的教學(xué)時，可以讓學(xué)生先回憶相關(guān)基礎(chǔ)知識，然后再讀題解題，這樣能將數(shù)學(xué)體系一項一項打通，形成一個完整的閉環(huán)，讓學(xué)生在閉環(huán)之中尋求解決問題的思路.

例1如圖1，在平行四邊形ABCD中，E是AD上一點，且點E將AD分為2∶3的兩部分，連接BE，AC相交于點F，請求出△AEF與△CBF的面積比.

教師引導(dǎo)學(xué)生帶著題目去讀圖，并將已知線段的數(shù)量關(guān)系標(biāo)注在圖形之中，比如AD的2∶3兩個部分就可以在AE段標(biāo)注2，在ED段標(biāo)注3，根據(jù)三角形面積比等于相似比的平方以及△AEF∽△CBF，可以求出二者之間的面積比為4∶25.但到此題目并未完成，因為AD段的2∶3也可能是AE為3，ED為2，因此，必須通過分類討論進(jìn)行解答，最終得出4∶25和9∶25兩個答案.

對于這道幾何題目，如果學(xué)生只是對圖形產(chǎn)生固化的思維，就會忽略掉第二個答案.因此，需要教師幫助學(xué)生突破被圖形固化的思維領(lǐng)域，只有學(xué)生對圖形產(chǎn)生質(zhì)疑，才能對幾何類問題有分類討論的想法.想要強(qiáng)化學(xué)生運(yùn)用分類討論思想的能力，一定要讓學(xué)生進(jìn)行多次練習(xí)，同時要讓學(xué)生明白，認(rèn)真讀題、提取其中模糊信息是解題過程中極為重要的環(huán)節(jié)［3］.

2.2 在函數(shù)中的運(yùn)用

函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)乃至高中數(shù)學(xué)的重點學(xué)習(xí)內(nèi)容，不管函數(shù)具有什么樣的特性，教師在課堂教學(xué)中都應(yīng)該鼓勵學(xué)生對相關(guān)問題進(jìn)行思考.相較于幾何題型，函數(shù)題目更具有抽象性和迷惑性，教師在講授時，應(yīng)對學(xué)生的思維方向進(jìn)行整合，并展開有效的課堂討論.

2.3 在方程中的運(yùn)用

方程最早出現(xiàn)在小學(xué)四年級，是為了解決較為困難的問題而產(chǎn)生的.因此，對于方程的題型，初中生大多會覺得具有一定的難度.基于此，教師應(yīng)考慮到學(xué)生的身心發(fā)展，同時在課堂上對學(xué)生進(jìn)行有效引導(dǎo)，讓學(xué)生不要忽略任何一個可以進(jìn)行分類討論的點，同時讓學(xué)生不要對方程產(chǎn)生混亂和遺忘.

例3等腰三角形一條邊的長為3，它的另兩條邊的邊長是關(guān)于x的一元二次方程x2-12x+k=0的兩個實數(shù)根，求k的值及等腰三角形三邊長.

對于例3，審題十分重要，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生先了解出題人的意圖.首先，等腰三角形一條邊長為3，那么這條邊可能為腰，也可能為底，因此，此題需要進(jìn)行分類討論：

（1）若邊長為3的邊是腰，那么將3代入方程就可將方程化簡為9-36+k=0，計算出k=27.之后將k的值代入方程求得一元二次方程的兩個實數(shù)根為3和9，那么等腰三角形的三條邊分別為3，3，9.但因為3+3＜9，無法構(gòu)成三角形，因此，這種結(jié)論是不對的.

（2）若邊長為3的邊是底，那么一元二次方程的兩個實數(shù)根應(yīng)該相等，即x1=x2.由Δ=144-4k=0，得k=36，再將k=36代入到原方程中，得x1=x2=6，那么三角形的三條邊為3，6，6，這就是題目中所要求得的等腰三角形三邊的長度.

初中數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅要建立在初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之上，同時要為學(xué)生打造更加全面系統(tǒng)化的認(rèn)知體系，讓學(xué)生擁有對問題的綜合考查能力和解決能力，還應(yīng)在課堂上加大對初中生的引導(dǎo)，讓學(xué)生明白問題的解決存在多種情況，而只有將分類進(jìn)行通盤考慮，才能在多次重復(fù)練習(xí)的過程中，養(yǎng)成分類討論的良好習(xí)慣.同時，學(xué)生在進(jìn)行分類討論思想建構(gòu)的過程中，還能培養(yǎng)出對待人、事、物更為周全的能力，提高其在事情處理過程中的統(tǒng)籌能力，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和日常生活中互相促進(jìn)，最終讓初中生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，能正確、有效地運(yùn)用分類討論思想［4］.

參考文獻(xiàn)：

·[1·]張福生.初中數(shù)學(xué)分類討論思想的教學(xué)建議·[J·].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016（33）：28-29.

·[2·]付軍.初中數(shù)學(xué)教學(xué)滲透數(shù)學(xué)思想的策略·[J·].中學(xué)教學(xué)參考，2020（26）：11-12.

·[3·]張雪梅.關(guān)注幾何圖形的多樣性 凸顯分類討論思想——分類討論思想在解題中的應(yīng)用及思考·[J·].中學(xué)數(shù)學(xué)，2014（8）：52-53.

·[4·]姬文鵬.基于“對分課堂”與高階思維培育融合的教學(xué)實踐研究——以“分類討論思想在等腰三角形中的運(yùn)用”為例·[J·].中學(xué)數(shù)學(xué)，2021（24）：3-4.