重視教材經(jīng)典問題，精心預(yù)設(shè)專題復(fù)習(xí)

摘要：教材上有很多經(jīng)典問題，但是常常分散在各冊(cè)、各章的例題或習(xí)題之中，在新授課期間往往是“零散”出現(xiàn)，不利于學(xué)生整體理解、對(duì)比分析、深度學(xué)習(xí)．本文中闡述了在復(fù)習(xí)課或?qū)ｎ}課時(shí)，圍繞教材上的經(jīng)典問題進(jìn)行“學(xué)材再建構(gòu)”，聚集主線，促進(jìn)學(xué)生學(xué)深、學(xué)活、學(xué)透．

關(guān)鍵詞：教材經(jīng)典問題；專題復(fù)習(xí)；籬笆圍矩形

1 從教材中“籬笆圍矩形問題”說起

人教版九年級(jí)上冊(cè)教材第49頁“實(shí)際問題與二次函數(shù)”安排了一個(gè)“探究1”：

探究用總長(zhǎng)為60 m的籬笆圍成矩形場(chǎng)地，矩形面積S隨矩形一邊長(zhǎng)l的變化而變化．當(dāng)l是多少時(shí)，場(chǎng)地的面積S最大？

這個(gè)問題運(yùn)用二次函數(shù)模型可以很快解決，作為這類問題的變式，教材在第57頁該章的復(fù)習(xí)題安排了以下一道習(xí)題：

習(xí)題如圖1，用長(zhǎng)為30 m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長(zhǎng)為18 m，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？

求解這道習(xí)題時(shí)只要設(shè)圍成的矩形菜園寬為x m，由面積公式寫出菜園面積S與x的二次函數(shù)解析式，即可求解出結(jié)果．整理解題過程時(shí)，教師一般都會(huì)提醒學(xué)生將得到的數(shù)據(jù)代入問題情境中進(jìn)行檢驗(yàn)，比如此時(shí)矩形菜園的長(zhǎng)是否超過墻長(zhǎng)，從而確認(rèn)是否符合情境，最終完成這道習(xí)題的解答．作為現(xiàn)實(shí)生活中的經(jīng)典問題，為了拓展學(xué)生的解題視野，促進(jìn)學(xué)生感悟“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想方法，筆者從教材中這兩道問題出發(fā)，設(shè)計(jì)了一節(jié)“籬笆圍矩形問題”專題課，取得了較好的教學(xué)效果.接下來先概述這節(jié)課的教學(xué)流程，再給出教學(xué)立意與教學(xué)思考，給大家提供專題課例的研討．

2 “籬笆圍矩形問題”專題課教學(xué)流程

教學(xué)環(huán)節(jié)一：再看教材問題.

提問：同學(xué)們前面都練習(xí)過教材上第49頁的“探究”（上文提及）和第57頁的“第7題”（上文提及），現(xiàn)在請(qǐng)大家再想想這兩道習(xí)題之間有怎樣的聯(lián)系，又有哪些不同？你們可以看出它們哪些地方體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的一致性？

預(yù)設(shè)：學(xué)生容易想到運(yùn)用二次函數(shù)模型來解決最值問題，先設(shè)出一個(gè)未知數(shù)x，然后將其余的未知量用含x的式子表示出來，列出面積S關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式，最終求出最值．不同點(diǎn)在于第57頁的第7題中，圍成的矩形有一邊靠墻，只要考慮三邊使用籬笆的長(zhǎng)度．

學(xué)生交流之后，可進(jìn)一步追問：教材第49頁的“探究”問題中圍成的矩形還有什么特殊之處嗎？（正方形）第57頁第7題中圍成矩形菜園的長(zhǎng)寬之比如何？圖2（長(zhǎng)寬之比正好是2∶1）如果將墻看成是一面鏡子，補(bǔ)出鏡子中的虛像（如圖2），這時(shí)的“兩個(gè)”矩形菜園拼成了什么圖形？（正方形）

設(shè)計(jì)意圖：安排學(xué)生再思考教材中的例習(xí)題，帶領(lǐng)學(xué)生回顧反思這兩道問題之間的聯(lián)系與不同，感悟“同與不同”，特別是從“正方形”的角度看出它們之間的一致性．為本節(jié)課中后續(xù)問題的解法探究做好鋪墊．

教學(xué)環(huán)節(jié)二：拾級(jí)而上，變式探究.

問題利用一面墻，墻的長(zhǎng)度為l m，用60 m長(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，怎樣圍面積最大？最大面積是多少？

（1）當(dāng)l＝20時(shí)，有兩種可能的方案（如圖3、圖4），請(qǐng)分別按兩種方案計(jì)算圍成矩形菜園的面積的最大值；

（2）當(dāng)l＝18時(shí)，分析圍成矩形菜園的面積的最大值；

（3）當(dāng)l＝40時(shí)，分析圍成矩形菜園的面積的最大值；

（4）根據(jù)l不同的取值，分析圍成矩形菜園的面積的最大值．

教學(xué)預(yù)設(shè)：

（1）先來分析圖3的方案.設(shè)垂直于墻的矩形邊長(zhǎng)為x m，則平行于墻的矩形邊長(zhǎng)為（60－2x）m.由60－2x≤20，且60－2xgt;0，解得20≤xlt;30．設(shè)圍成矩形的面積為S，則有S＝x（60－2x）．整理，得S＝－2（x－15）2+450．當(dāng)20≤xlt;30時(shí)，S隨x的增大而減小，所以當(dāng)x＝20時(shí)，S有最大值400．

再來分析圖4的方案.設(shè)垂直于墻的矩形邊長(zhǎng)為x m，則平行于墻的矩形邊長(zhǎng)為（40－x）m，且0lt;x≤20．設(shè)圍成矩形的面積為S，則有S＝x（40－x）．整理，得S＝－（x－20）2+400．當(dāng)0lt;x≤20時(shí)，S隨x的增大而增大，所以當(dāng)x＝20時(shí)，S有最大值400．

（2）仍然借助圖3、圖4，“重復(fù)”（1）中的分析方法，分兩種情況計(jì)算出不同方案圍成矩形菜園面積的最大值分別為378 m2和380.25 m2．

（3）繼續(xù)借助圖3、圖4，“重復(fù)”（1）中的分析方法，分兩種情況計(jì)算出不同方案圍成矩形菜園面積的最大值分別為450 m2和400 m2．

（4）需要“分類討論”.

解后反思：可以發(fā)現(xiàn)，隨著墻長(zhǎng)度的變化，圍成矩形菜園面積的最大值也在發(fā)生變化.當(dāng)0lt;l≤20時(shí)，圍成正方形菜園的面積最大；當(dāng)20lt;llt;30時(shí)，“用足”墻長(zhǎng)l時(shí)（作為矩形菜園的一邊）時(shí)，圍成的矩形面積最大；當(dāng)l≥30時(shí)，圍成矩形鄰邊長(zhǎng)分別是30 m，15 m時(shí)，把墻想象成鏡面·[1·]，反射過去，與鏡前部分合成一個(gè)邊長(zhǎng)為30 m的正方形．

教學(xué)環(huán)節(jié)三：課堂小結(jié)，布置作業(yè).

小結(jié)：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對(duì)利用一面墻圍矩形問題，有了哪些新的認(rèn)識(shí)？可結(jié)合本節(jié)課所練習(xí)的習(xí)題交流解題心得．

布置作業(yè)：根據(jù)學(xué)情選編1～3道同類問題，供學(xué)生進(jìn)一步鞏固訓(xùn)練，限于篇幅，本文不再贅述．

3 關(guān)于教材經(jīng)典問題變式教學(xué)的一些思考

（1）重視教材經(jīng)典問題的整理與對(duì)比分析

我們常常見到很多教師在進(jìn)行新授課的備課時(shí)，十分重視研究教材，深入解讀教材上概念的引入方式，探究教材上例習(xí)題的教學(xué)功能，充分體現(xiàn)了“用教材教”的教材加工轉(zhuǎn)化能力;然而在上一些習(xí)題課或復(fù)習(xí)課時(shí)，卻常常將教材置之一邊，摘編一些各地考題、熱點(diǎn)問題作為復(fù)習(xí)課或習(xí)題講評(píng)時(shí)的“學(xué)材”．筆者認(rèn)為，不論是章末復(fù)習(xí)課、單元復(fù)習(xí)課、期中（末）復(fù)習(xí)課，還是中考復(fù)習(xí)課，都要十分重視對(duì)教材的研究，特別是對(duì)教材上經(jīng)典問題的整理和對(duì)比分析.具體來說，有些經(jīng)典問題會(huì)在不同教材的分冊(cè)上多次（反復(fù)）出現(xiàn)，這時(shí)教師要將它們挑選出來，進(jìn)行對(duì)比分析，厘清在不同復(fù)習(xí)階段對(duì)這類經(jīng)典問題的變式與拓展方法，體會(huì)“螺旋上升”的教學(xué)要求．順便指出，除了上文關(guān)注的“籬笆圍矩形問題”之外，教材上的經(jīng)典問題有很多（詳見文·[2·]），比如“分段收費(fèi)”問題，分別出現(xiàn)在七年級(jí)“一元一次方程”“一元一次不等式”的學(xué)習(xí)中，在八年級(jí)“一次函數(shù)”中還會(huì)繼續(xù)研究．

（2）圍繞教材經(jīng)典問題預(yù)設(shè)專題復(fù)習(xí)課

在整理、對(duì)比分析教材上的一些經(jīng)典問題之后，教師可圍繞這些經(jīng)典問題預(yù)設(shè)專題復(fù)習(xí)課，體現(xiàn)回歸教材、聚焦主線的設(shè)計(jì)理念．在設(shè)計(jì)這類專題復(fù)習(xí)課時(shí)，除了“找齊”教材上同一類經(jīng)典問題的不同出處，還需要適當(dāng)關(guān)注各地中考試卷中對(duì)這些經(jīng)典問題的變式考查，這樣可以豐富專題課的選題來源．在預(yù)設(shè)專題復(fù)習(xí)課時(shí)，還要注意按由易到難、漸次展開的方式推進(jìn)教學(xué)進(jìn)程．考慮到上復(fù)習(xí)課時(shí)，學(xué)生對(duì)有些經(jīng)典問題已練習(xí)過，對(duì)于簡(jiǎn)單的設(shè)問可以采用留白的方式，讓學(xué)生參與問題設(shè)計(jì)與解答，體現(xiàn)開放式教學(xué)．而在變式與拓展的教學(xué)環(huán)節(jié)，教師要進(jìn)行必要的干預(yù)和引導(dǎo)，使變式與拓展圍繞本節(jié)課主線展開．比如，復(fù)習(xí)二次函數(shù)的有關(guān)經(jīng)典問題時(shí)，如果學(xué)生參與設(shè)計(jì)的問題偏離了本課復(fù)習(xí)主線，設(shè)計(jì)出與平面幾何綜合的較難問題時(shí)，可以提醒學(xué)生“這不是本課關(guān)注的重點(diǎn)”，以避免出現(xiàn)“踩著西瓜皮，滑到哪里是哪里”的情況．

參考文獻(xiàn)：

·[1·]單墫.代數(shù)的魅力與技巧·[M·].中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2020：296.

·[2·]王小林．關(guān)注經(jīng)典問題教學(xué)：值得重視的教研主題——從李大潛院士“懷念徐質(zhì)夫老師”說起·[J·]．中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2019（8）：19-20．